什么是先验/后验概率 我们先给出一些符号定义，令 表示模型参数， 表示数据。 先验概率比较好理解，比如 就表示数据的先验概率（prior probability）。...所以，要根据语境去判断哪个才是后验概率。 似然概率 下面介绍一下贝叶斯公式这个老朋友了，或者说是熟悉的陌生人。...它就是本文的另一个主角：似然概率 （likelihood probability）,顾名思义是给定参数 ，求数据是 的概率是多少。...一般来说 是不知道的或者说很难求解，但是我们可以知道后验概率和 （似然概率乘以先验概率）呈正相关关系，所以 即使不知道也不影响对后验概率的求解。...极大似然估计 与 最大后验概率估计 极大似然估计 （Maximum Likelihood Estimate, MLE）和最大后验概率估计（Maximum A Posteriori (MAP) estimation
贝叶斯方法 步骤 3 : 比较假设的概率 VI . 先验概率 P(H_1) 和 P(H_0) VII . 似然概率 P(D|H_1) 和 P(D|H_0) I ....引入贝叶斯公式 : ① 逆向概率 ( 似然概率 | 条件概率 ) : 收到垃圾邮件后 , 该邮件是 D 的概率 ; 这个概率可以由训练学习得到 , 数据量足够大 , 是可以知道的 ; ② 先验概率...引入贝叶斯公式 : ① 逆向概率 ( 似然概率 | 条件概率 ) : 收到正常邮件 H_1 后 , 该邮件是 D 的概率 ; 这个概率可以由训练学习得到 , 数据量足够大 , 是可以知道的 ;...② 先验概率 : 收到 H_1 邮件的概率是已知的 ; ③ 后验概率 : 贝叶斯公式计算该邮件 D 是正常邮件的概率 : P(H_1 | D) = \frac{P(D|H_1)P(H_1)}{P...获取这两个概率 : 从系统后台服务器中的邮件库中获取垃圾邮件 和 正常邮件比例即可 ; VII . 似然概率 P(D|H_1) 和 P(D|H_0) ---- 1 .
我们今天继续来聊聊概率，今天来聊聊两个非常容易混淆的概念——极大似然估计和最大后验概率。 本来这两个概念都不是非常直观，加上这两个概念看起来又非常相似。...贝叶斯学派不会直接对于事件本身建模，而是从旁观者的角度来说。因此对于同一个事件，掌握不同先验的人会得到不同的结果。 在贝叶斯学派看来，模型的参数源自某种分布，希望从数据当中推导出该分布。...没有关系，我们继续往下，我们先来分别看看极大似然估计和最大后验概率是如何计算的。 极大似然估计 我们在之前的文章当中讲过似然的概念，它也表示几率，不过表示的是事件背后参数的几率。...，就叫做极大似然估计，写成： \theta_{MLE} = \mathop{\arg\max}\limits_{\theta} P(X|\theta) 最大后验概率 图片 到这个时候我们再回过头看下频率学派和贝叶斯学派的差别...频率学派是直接针对事件本身建模，计算概率，而贝叶斯学派则认为对事件有一个预先的估计，模型的参数源自某个潜在的分布，这个潜在的分布就是先验。
最大似然估计 一种方法是找到能最大化观测数据的似然函数（即 P(D;h)）的参数 h 的值。...对于大多数的硬币来说，还是存在反面朝上的结果的可能性，因此我们通常希望得到像 h=0.5 这样的结果。 先验和后验 如何将这种直觉数学化地表述出来呢？...我们需要得到后验分布 p（h|D），但是目前只有分布 P(D|h) 和 p(h)。这时候，你需要贝叶斯公式来帮忙!...贝叶斯参数估计 有了最大后验估计，可以通过先验分布来引入我们的直觉，并且忽略归一化积分，从而得到后验分布模式下的关于 h 的点估计。 但是如果我们试着用近似方法求积分呢？...注意，存在两个关于概率分布的重要任务： 推断：给定已知参数的联合分布，通过其它变量的边缘概率和条件概率估计一个变量子集上的概率分布。
、求解方程组和后处理极大似然估计 Maximum Likelihood Estimation, MLE通过最大化似然函数来估计模型参数：在给定观测数据的情况下，找到一组参数值，使得模型产生这些数据的概率最大联合概率...：两个或多个事件同时发生的概率，条件概率：在已知一个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率极大似然估计法估计高斯分布示例：通过极大似然估计法估计高斯分布的均值和标准差高斯分布的概率密度函数（PDF）...Maximum a posteriori probability estimate，MAP在已知先验分布的情况下，通过最大化后验概率来估计模型参数在似然函数的基础上，乘以参数的先验分布，然后最大化后验概率来估计参数...，P(B|A) ) 表示似然函数，P(A) 是先验概率，P(B)是事件B的边际概率后验 Posterior：基于先验概率和似然函数计算得出，反映给定观测数据后对假设或参数的信念程度。...举例：贝叶斯分类器中计算后验概率来分类，贝叶斯网络中后验用于推理和预测似然Likelihood：给定假设下观测数据出现的概率，反映观测数据与假设或参数之间的一致性程度举例：MLE寻找能够最大化似然函数的参数值作为最优估计先验
后验概率 = 似然函数*先验概率/证据 下一段我们将介绍不同的参数估计方法，首先是最大似然估计，然后是最大后验估计（如何利用最大化后验合并参数中的先验知识），最后是贝叶斯估计（使用贝叶斯规则推断一个完整的后验分布...来实现，与公式6类似，给定观测到的样本数据 ? ，一个新的样本值 ? 发生的概率是： ? 与最大似然估计相比，现在需要多加上一个先验分布概率的对数。...的值，而贝叶斯推断则不是，贝叶斯推断扩展了极大后验概率估计MAP方法，它根据参数的先验分布 ? 和一系列观测数据 ? ，求出参数 ? 的后验分布 ? ，然后可以用后验分布 ?...举个例子，N次伯努利实验，参数p（即正面的概率）的先验分布是参数为（5,5）的beta分布，然后接下来，我们根据参数p的先验分布和N次伯努利实验结果来求p的后验分布。...可以看出此时估计的参数p对应的后验分布的期望和最大似然估计（MLE），最大后验估计（MAP）中得到的估计值都不同，此时如果仍然是做20次实验，12次正面，8次反面，那么我们根据贝叶斯估计得到的参数p满足参数为
给定两个事件A和B，贝叶斯定理可以表示为： [ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} ] 其中： ( P(A|B) ) 是事件B发生后事件A发生的概率，即后验概率（posterior...然后，根据观察到的数据，我们使用贝叶斯定理更新先验分布，得到后验分布（posterior distribution）。后验分布综合了先验信息和数据信息，反映了在观察数据后对参数的信念。...,xN}估计未知参数 θ，其中未知参数 θ视为随机变量，先验分布为p(θ)，而在一直样本集X(N)出现的条件下的后验概率为p(θ∣X(N))，最大后验概率估计（Maximum a posteriori...3.贝叶斯估计的基本步骤 设定先验分布：根据对未知参数的先验知识或假设，设定一个先验分布。 计算似然函数：根据观察到的数据和参数，计算似然函数。似然函数描述了给定参数时数据出现的概率。...计算后验分布：使用贝叶斯定理，将先验分布和似然函数结合，计算后验分布。后验分布是参数在给定数据下的条件概率分布。 提取估计值：从后验分布中提取参数的估计值。
本文介绍极大似然估计（MLE，Maximum Likelihood Estimation）和最大后验概率估计（MAP，Maximum A Posteriori Estimation）。...贝叶斯派认为参数是随机变量，其符合某种潜在先验概率分布prior。根据获取的信息（likelihood/evidence）去不断调整先验分布，从而得到后验概率分布....极大似然估计MLE 极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。...最大后验概率估计MAP MAP的思想类似，但是加入了参数的先验分布的假设。估计的过程就是根据样本的信息对参数的先验概率分布进行调整的过程，进而得到参数相对于样本的后验概率分布。...为了满足事件发生即合理，即参数的后验概率应尽可能大，从而保证这些事件出现的情况更加合理，因此通过最大化后验概率来确定最终的参数的概率分布。
是似然函数， p(θ) 是先验分布， p(X) 是归一化常数，也称为证据或边缘似然 动机示例 我们将使用一个示例来估计一枚硬币的偏倚，给定一个由n次投掷组成的样本，以说明一些方法。...分析解决方案 如果我们将贝塔分布作为先验分布，那么后验分布有一个闭合形式的解。 python .........为了计算后验分布，我们找到每个θ值的先验和似然函数，并且对于边际似然，我们用等价的求和替换积分。...所有代码都将从头开始构建，以说明拟合MCMC模型所涉及的内容，但只展示了玩具示例，因为目标是概念理解。 在贝叶斯统计中，我们希望估计后验分布，但由于分母中的高维积分（边际似然）通常难以处理。...对于普通蒙特卡洛积分，我们需要样本是来自后验分布的独立抽取，如果我们实际上不知道后验分布是什么（因为我们无法计算边际似然），这就是一个问题。
上面的公式表示，给定参数后数据的概率等于给定数据后参数的似然度。但是，尽管这两个值是相等的，但是似然度和概率从根本上是提出了两个不同的问题——一个是关于数据的，另一个是关于参数值的。...而 P(data| Θ) 和似然度分布类似。 因此我们可以使用 P(data|Θ) 更新先验信度以计算参数的后验分布。 等等，为什么忽略了 P(data)？...氢键长度的先验分布（蓝线），和由 5 个数据点导出的似然度分布（黄线）。 现在我们有两个高斯分布。由于忽略了归一化常数，因此已经可以计算非归一化的后验分布了。高斯分布的一般定义如下： ?...你可以通过计算后验分布更新你的信念，就像上面我们做的那样。随后，甚至有更多的数据进来。因此我们的后验成为新的先验。我们可以通过从新数据中获得的似然更新的新的先验，并再次获得一个新后验。...颜色与上面一样，蓝色表征先验分布，黄色表征似然分布，粉红表征后验分布。左图中我们看到蓝线不如黄线那么延展。因此后验要远比似然更相似于先验。右图中则情况相反。 ?
其中，p(yi|x)是后验概率。p(x|yi)是条件概率，或者说似然概率，这个概率一般都可以通过历史数据统计得出。...而p(yi)是先验概率，一般也是根据历史数据统计得出或者认为给定的，贝叶斯里的先验概率，就是指p(yi)。...那么在贝叶斯估计中除了类条件概率密度p(x|w)符合一定的先验分布，参数θ也符合一定的先验分布。我们通过贝叶斯规则将参数的先验分布转化成后验分布进行求解！...在公式上，贝叶斯推断还引入了先验，通过先验和似然来求解后验分布，而最大似然直接使用似然函数，通过最大化其来求解。...参考资料 全概率公式 贝叶斯公式的直观理解(先验概率/后验概率) 最大似然估计MLE与贝叶斯估计 贝叶斯估计和极大似然估计到底有何区别
有了主题模型和相应的模型参数，我们可以有很多重要的应用，比如文本特征降维、文本主题分析等等。本文主要介绍文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。...1、最大似然估计MLE 首先回顾一下贝叶斯公式 这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即 最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做...下面求似然函数的极值点，有 得到参数p的最大似然估计值为 可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。...2、最大后验估计MAP 最大后验估计与最大似然估计相似，不同点在于估计 的函数中允许加入一个先验 ，也就是说此时不是要求似然函数最大，而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大，即 注意这里P（...下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数 我们取 ,这样先验分布在0.5处取得最大值，现在我们来求解MAP估计函数的极值点，同样对p求导数我们有 得到参数p的的最大后验估计值为 和最大似然估计的结果对比可以发现结果中多了
通过观察似然函数u与(1-u)乘积的形式，我们选用了Beta分布作为u的先验分布，因为根据贝叶斯理论，后验=似然函数*先验，我们发现当后验与先验同时具有相同的分布时具有一些优秀的性质，能使我们方便的进行...现在，参数的u的后验分布可以通过似然函数（2.9）乘以先验分布（2.13）来得到，得到的结果只保留与参数u相关的项得： （2.17）其中l=N-m。...是时候和频率学派做参数估计的方法做比较了： 1 贝叶斯学派采用给参数赋予先验分布，并使得先验与后验共轭，通过求后验均值来得到参数的估计，频率学派通过某个优化准则比如最大化似然函数来求得参数的估计；不管是哪个学派思想...个数据分配到K组， 和二项式分布作为似然函数一样，多项式分布也作为在贝叶斯学派下的似然函数 2）Dirichlet分布 为求得参数向量u的值，根据贝叶斯学派的观点，我们要引入u的先验，同时使得先验和后验共轭...乘以先验和多项式分布似然函数，可得参数{uk}的后验分布： 可看出后验也是Dirichlet分布，即后验与先验是关于多项式分布的共轭。
一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。 显然，对于最大似然估计，最大后验估计，贝叶斯估计来说，都属于统计的范畴。...后验概率分布（正⽐于先验和似然函数的乘积）拥有与先验分布相同的函数形式。这个性质被叫做共轭性（Conjugacy）。共轭先验（conjugate prior）有着很重要的作⽤。...总的来说，对于给定的概率分布 p ( X ∣ θ ) p(X|\theta) p(X∣θ)，我们可以寻求一个与该似然函数 p ( X ∣ θ ) p(X|\theta) p(X∣θ)共轭的先验分布 p...直观讲，它表征了最有可能值的任何先验知识的匮乏。在这一情况中，所有权重分配到似然函数，因此当我们把先验与似然相乘，由此得到的后验极其类似于似然。因此，最大似然方法可被看作一种特殊的 MAP。...随着数据的增加，先验的作用越来越弱，数据的作用越来越强，参数的分布会向着最大似然估计靠拢。而且可以证明，最大后验估计的结果是先验和最大似然估计的凸组合。
通常，在已知K种颜色的未知参数的情况下，观察长度为N的独立试验的序列k 1，k 2，…的可能性计算为： ? K的最大似然估计（MLE）使该似然最大化： ?...选择超参数λ，使其最符合我们对K的先验，而后验分布则是在观察到证据后对我们对参数的知识进行建模。范式从惯常论转向贝叶斯论：我们已经从想象K作为具有未知但确定性值的参数转移到K作为随机变量。...虚线表示泊松先验λ = 35的MAP估计。即使先验代表了一个最初的实际高估，仅经过几次试验，最大似然和后验分布有效地吻合。另一方面，实线显示了对这种影响更强的鲁棒性。...但是，我们可以从先验分布中计算出该参数值的估计值，该估计值可以取代真实参数值，从而得出偏差的估计值: ? 这使我们可以按先验偏差校正的可能性写出后验分布，如下所示： ?...总结 对于这个简单的示例，我们已经表明，通过使用先验信息来校正贝叶斯参数估计中似然性的偏差，可能意味着对小样本量的估计的准确性和鲁棒性进行了改进。
因此贝叶斯公式可表示为：后验概率=似然函数*先验概率/标准化常量=标准似然比*先验概率。...2.11 共轭先验 在贝叶斯统计中，如果后验分布与先验分布属于同类，则先验分布与后验分布被称为共轭分布，而先验分布被称为似然函数的共轭先验。...： 最大后验概率估计的求解步骤： 确定参数的先验分布以及似然函数 确定参数的后验分布函数 将后验分布函数转换为对数函数 求对数函数的最大值（求导，解方程） 6....： 确定参数的似然函数 确定参数的先验分布，应是后验分布的共轭先验 确定参数的后验分布函数 根据贝叶斯公式求解参数的后验分布 7....**注：**最大后验概率估计和贝叶斯估计都采用Beta分布作为先验分布。
本文讲解了如何用贝叶斯解决回归问题，首先介绍了相关术语（先验、似然、后验）和相应的公式，并详细介绍了如何计算似然，文中通过实例辅助理解，内容比较详细适合初学者入门！ ?...因为你必须依赖好的先验。也就是说，先验与后验越接近，你会更快得到真正的后验。如果你取的先验分布和后验分布一致，那么当你从先验分布中抽样时，你实际上是从后验中取样（这是我们需要的）。...换句话说， 后验仅仅是一个加权的先验，其中权重是给定参数值的数据的似然大写。 计算后验分布，有两种解决方法： • 得到后验分布的解析解。...• 通过对后验分布进行采样，得到许多β1和β0的值，然后近似这个后验分布。 我们将要使用采样 我们感兴趣的是后验的行为与似然和先验的关系。我们通过抽样来计算。...Z起的是归一化的作用，所以后面的累加和就是1（这你是知道的，因为它是一个概率分布）。 先验，似然，后验，的一个例子 ---- ---- 下面我们用一个例子展示先验，似然和后验。 ? 图表说什么？
这两个接口都支持基于采样和基于优化的推断，并带有诊断和后验分析。 在本文中，简要展示了Stan的主要特性。...最大似然估计（MLE）用于惩罚最大似然估计。 Stan计算什么？ 得出后验分布 。 MCMC采样。 绘制顺序 ? ，其中每个绘制 ? 都按后验概率 ? 的边缘分布。...Stan的贝叶斯示例：重复试验模型 我们解决一个小例子，其中的目标是给定从伯努利分布中抽取的随机样本，以估计缺失参数的后验分布 ? （成功的机会）。...，即试验n的结果 （已知的建模数据）。 参数： ? 先验分布 ? 概率 ? 后验分布 ? 步骤2：Stan 我们创建Stan程序，我们将从R中调用它。...(0, 1); // 先验y ~ bernoulli(theta); // 似然} 步骤3：数据 在这种情况下，我们将使用示例随机模拟一个随机样本，而不是使用给定的数据集
老是容易把先验概率,后验概率,似然概率混淆，所以下面记录下来以备日后查阅。...后验概率 维基百科定义: 在贝叶斯统计中，一个随机事件或者一个不确定事件的后验概率是在考虑和给出相关证据或数据后所得到的条件概率。...同样，后验概率分布是一个未知量（视为随机变量）基于试验和调查后得到的概率分布。...简单的理解就是这个概率需要机遇观测数据才能得到，例如我们需要对一个神经网络建模，我们需要基于给定的数据集X才能得到网络参数θ的分布，所以后验概率表示为 P(θ|X) 似然概率 百度百科定义: 统计学中...给定输出x时，关于参数θ的似然函数L(θ|x)（在数值上）等于给定参数θ后变量X的概率：L(θ|x)=P(X=x|θ)。
将这一概率拆分成一个似然部分和一个先验部分，运用贝叶斯定理可得： ? 这里P(D=i)指最终目的地为i的先验概率，计算时被作为假设的一个加权和，我们将在下个部分对此作以展示。...P(D=i|X=x)指已知观测到的特性X的情况下，最终目的地为i的似然（可能性）。这一概率由下客点与最终目的地之间距离的分布和行程时间的影响计算得到。 建立先验 乘客先验 乘客先验 ?...我们利用一个高斯分布 ? 对其进行建模，将 ? 和 ? 取其极大使然估计 ? 和 ? 。一个高斯分布参数的极大似然估计MLE恰好为数据的样本均值和方差，于是 ? 同时还需要考虑卸客点落入临域的情况。...我们指定P(T=t|D=i)为一个分类分布，它的事件概率由在时刻t到达地点i行程的归一化系数计算得到（我们使用的时间增量是一个小时）。 推导后验 在之前的章节中，我们介绍了先验和似然部分。...图3：正确预测测试实例的一个后验分布示例：三藩市萨克拉门托街1348号 结论 我们采用经典的机器学习技术评估我们的模型，将数据分拆为测试集和训练集，以确保我们的模型不是被恰好设定为我们数据集中一组特定的片段
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