看完前面四篇关于背包问题的文章，你会发现背包问题其实也不过如此，而且它们之间有很多相似的地方，本篇文章就来揭开它们面纱，将背包问题彻底搞定。
但其实「多重背包」并没有这么常见，以至于在 LeetCode 上我都没找到与「多重背包」相关的题目。
这是 LeetCode 上的「1049. 最后一块石头的重量 II」，难度为「中等」。
但对于「组内」物品而言，由于最多只能选一件物品，因此对于成本相同的多件物品，我们应当只保留价值最大的物品，从而让总的物品数量变少。
如果你还没看过，我十分建议你抽时间去学习一下。因为 路径问题 里教到的「经验解法」和「技巧解法」将会贯穿我们之后的所有「动态规划专题」系列。
从状态定义我们发现，常规的分组背包问题对物品组的考虑是“线性“的（从前往后考虑每个物品组）。
这是 LeetCode 上的「1449. 数位成本和为目标值的最大数字」，难度为 「困难」。
背包问题是计算机科学中一个重要的组合优化问题，动态规划是解决该问题的高效算法技术。本篇博客将重点介绍背包问题的动态规划解法，包括状态定义、状态转移方程、边界条件和状态转移过程，并通过实例代码演示动态规划算法的实现，每行代码都配有详细的注释。
在使用一维数组解决 0-1 背包问题的基础上，讲解如何解决完全背包、多重背包、分组背包、背包具体方案 和 有依赖的背包问题 ...
背包问题是在给定的一组物品中选择物品放入背包，使得物品的总价值最大化，同时限制背包的容量。
由于 LeetCode 没有与「分组背包求最大价值」相关的题目，因此我们使用「分组背包求方案数」来作为练习篇。
在 上一讲 中我们说到，多重背包问题无法像完全背包那样，通过一维空间优化来降低时间复杂度。
在最开始讲解 多重背包 时，我们就提到了「多重背包」的一维空间优化，无法优化时间复杂度。
在众多背包问题中「01 背包问题」是最为核心的，因此我建议你先精读过 背包问题 第一讲 之后再阅读本文。
将每个任务看作一个「物品」，完成任务所需要的人数看作「成本」，完成任务得到的利润看作「价值」。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
高级0-1背包问题：已知n个物品，每种物品对应有重量 weight和价值 value两个属性，给定一个背包可以装入物品的最大重量为 maxWeight，求满足最大重量限制的情况下，背包中装入物品的总价值最大是多少？
本文内容基本涵盖了 dd_engi 的背包九讲，在此基础上加上了自己的理解和代码实现
今天将练习「树形背包」问题，今天的练习题是一道学习「树形背包/有依赖的背包」问题必做的入门题。
由于每个字符串只能被选一次，且每个字符串的选与否对应了「价值」和「成本」，求解的问题也是「最大价值」是多少。
动态规划的主要思想：将问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策。记录每一个阶段可达的状态集合（去掉重复的），然后通过当前阶段的状态集合来推导下一个阶段的状态集合，动态地往前推进。
01背包问题是所有背包问题的基础，之后的问题都可以在此基础之上变化，所以一定要理解清楚。尤其是对待不同问题，找出状态转移方程是解题的关键。
其实就是在 0-1 背包问题的基础上，增加了每件物品可以选择「有限次数」的特点（在容量允许的情况下）。
分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）是一个优化问题，其中每个物品都有一个重量和价值，目标是选择一些物品装入背包中，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制。与0-1背包问题不同，分数背包问题允许选择物品的一部分。
背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的pdf。
零钱兑换 2 是另一种典型背包问题的变体，我们前文已经讲了 经典动态规划：0-1 背包问题 和 背包问题变体：相等子集分割。
东哥带你手把手撕力扣~ 作者：labuladong 公众号：labuladong 若已授权白名单也必须保留以上来源信息
动态规划问题是学习算法时一个尤为重要的内容，在讲解什么是动态规划之前，首先来讲一下分而治之。
回溯算法是一种灵活且高效的算法技术，用于解决组合、排列、子集和图问题等。在本篇博客中，我们将重点探讨回溯算法在典型问题中的应用，包括八皇后问题和 0/1 背包问题，并通过实例代码演示回溯算法的解决过程，每行代码都配有详细的注释。
分数背包问题允许我们选择物品的部分重量，目标是最大化背包内物品的总价值，同时不超过背包的总容量。
本篇我们继续完成与 完全背包 相关的练习题，共三篇。本篇是第二篇，第一篇在 这里。
顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。希望贪心算法得到的最终结果是整体最优的。贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。 在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
在上一篇《9.动态规划（2）——子集和问题》中，谈到了什么是子集和问题，以及实现。背包问题实际也是子集和问题的一种，不过背包问题不是“判断问题”而是一个“最优问题”。而背包问题实际上又分为“0-1背包”，“完全背包”，本文对“0-1背包”进行讲解。 问题：有n个物品，每个物品的重量为weigh[i]，每个物品所对应的价值为price[i]，现在有一个背包，背包所能承受的重量为W，问背包能装下的物品总价值最大是多少？ 定义s[i, j]表示前i个物品的总价值，j为背包的承重量。当j = W或者最接
动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题 动态规划思想大致上为：若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。 由于通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。
在上一题 322. 零钱兑换 中，我们求的是「取得特定价值所需要的最小物品个数」。
背包问题其实有很多细节，如果了解个大概，然后也能一气呵成把代码写出来，但稍稍变变花样可能会陷入迷茫了。
因为这个优化十分简单，代码实现不难，且优化的时间只是常数级别的，故不给出我的理解和代码。
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法–动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。举例:线性动规:拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等;区域动规:石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等;树形动规:贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等;背包问题:01背包问题，完全背包问题，多重背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶(同济ACM第1132题)等;
背包问题是一类比较 特殊的动态规划 问题，这篇文章的侧重点会在答案的推导过程上，我们还是会使用之前提到的解动态规划问题的四个步骤来思考这类问题。
动态规划篇——背包问题 本次我们介绍动态规划篇的背包问题，我们会从下面几个角度来介绍： 背包问题概述 零一背包问题 完全背包问题 多重背包问题 分组背包问题 背包问题概述 背包问题算是很经典的动态规划问题，我们在面试中也经常出现 首先我们给出动态规划的思想： 📷 然后我们简单介绍一下背包问题： /*背包问题*/ 有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。 第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。 求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。 /*输入格式
想象你是一个小偷，你想从房间里偷东西。 您有一个可以处理最大重量W的背包，并且您想把它装满 它的价值是最大的。 作为一个聪明的小偷，您知道房间里每个物品的重量和价值。 您将如何填充背包，从而使容量为W的背包得到最大可能的值。
在上一篇中，我们对01背包问题进行了比较深入的研究，这一篇里，我们来聊聊另一个背包问题：完全背包。
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
在前面的文章中（js算法初窥02（排序算法02-归并、快速以及堆排）我们学习了如何用分治法来实现归并排序，那么动态规划跟分治法有点类似，但是分治法是把问题分解成互相独立的子问题，最后组合它们的结果，而动态规划则是把问题分解成互相依赖的子问题。 那么我还有一个疑问，前面讲了递归，那么递归呢？分治法和动态规划像是一种手段或者方法，而递归则是具体的做操作的工具或执行者。无论是分治法还是动态规划或者其他什么有趣的方法，都可以使用递归这种工具来“执行”代码。 用动态规划来解决问题主要分为三个步骤：1、定义
01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？
0-1 背包问题是一个典型的动态规划问题，其目标是在给定的重量限制下最大化背包中物品的总价值。每个物品可以选择放入背包或不放入背包（0-1表示），并且每种物品只有一个。
背包问题中我们常见的就是 01背包和 完全背包。在leetcode的题库中主要就是这两种类型的题目。而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。所以背包问题的基础就是01背包问题。完全背包问题请参考 动态规划之背包问题——完全背包。
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