计算圆与圆的交点，需要用到余弦定理 步骤如下： 求出两个圆的圆心距d 求出向量c2.c-c1.c与c1.c到某交点的向量夹角a 求出向量c2.c-c1.c与x轴的夹角t 那么，两个交点就分别是以c1....c为起点，大小为c1.r，角度为t+a、t-a的两个向量 题目：CGL_7_E AC代码： #include #include #include ...cos(angle), length * sin(angle)); } pair get_Cross_Points(Circle c1, Circle c2) //求圆与圆的交点...((c1.r * c1.r + d * d - c2.r * c2.r) / (2.0 * c1.r * d)); //vec12与（c1与一个交点）的夹角 double t = atan2(...vec12.y, vec12.x); //vec12与x轴的夹角 return make_pair(c1.o + polar(c1.r, t + a), c1.o + polar(c1.r,
求圆与直线的交点的方法是： 求圆心c在直线l上的投影点pr 求出直线l上的单位向量e 根据r和pr的长度来计算出圆内线段部分的一半base 用pr±base*e即得到答案 题目：CGL_7_D AC代码....r = r; } Circle(double cx, double cy, double r) { (*this).o.x = cx; (*this...* c.r - (pr-c.o).sqr()); if (base <= EPS) //只有一个交点 { return make_pair(pr, pr); }...//有两个交点 Point e = (l.vec) / l.vec.abs(); return make_pair(pr + e * base, pr - e...* base); } int main() { double cx, cy, r; cin >> cx >> cy >> r; Circle c(cx, cy, r);
当两条线段有交点的时候，交点坐标可以用叉乘来求。 思路就是连接线段的端点，构造向量，从而构造出相似三角形，然后求出交点在一条线段上的位置（用比例t来表示），然后再加到线段端点上就可以了。
计算直线的交点数 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission...Output 每个测试实例对应一行输出，从小到大列出所有相交方案，其中每个数为可能的交点数,每行的整数之间用一个空格隔开。...* f(n)为其交点方案， * 假设有r条非互相平行线，则 * f[n] = (n-r) * r (n-r条互相平行线和其它r条线的交点) + f[r] 【刘春英PPT有讲，可百度 搜】... * 用dp[i][j]表示i条直线，是否有会有j个交点，如果有j个交点，则置为1，否则为0； * 根据上面的方程：只要dp[r][j]=1（r条直线有j个交点是成立的），那么肯定有dp[i][(i-r...)*r+j]=1; * 记录i条直线所有可能的方案数 * n条直线最多有 n*(n-1)/2 个交点，n最大为20，交点数最多为190 */ 代码： 1 #include
画出经过上方交点的直径，以及经过直径与圆相交的另一端点的切线，切线的交点位于竖轴 (live). 上方的交点和切点正好是我们需要的五个端点中的三个。...与圆弧近似的三次曲线的控制点在切线 NP 和 QP 上，与端点的距离为 C·R ，其中 C 是之前介绍的文章中所计算出的常量 .551915 。...因此我们得到了底部曲线两个相似控制点的坐标 (0,3∙R/√2). 为了获得其它曲线控制点的坐标，我们需要画出经过端点的切线，它们的交点是 Dk 和 Ek 。 ?...正方形 TOₖAₖDₖ 和 AₖOₖBₖEₖ 上新计算的点的坐标 (live). 但是，这些切线交点并不是我们想要获得的近似圆弧的控制点。...然后是三次曲线的端点坐标 ( T, Ak, Bk 点)，沿水平方轴方向的绝对值。最后计算通过端点的切线交点坐标 ( C, Dk, Ek 点)。
今天来实现计算两条线段的交点的解析几何算法。 我们要实现 getLineSegIntersection 方法：提供两条线段，计算它们的交点。 每条线段会用两个点坐标表示。...变体1：两线段是否有交点。 返回值换成布尔值即可。 判断两线段是否有交点，我之前还写了另一种解法，感兴趣可以看看： 《几何算法：判断两条线段是否相交》 变体2：计算两直线的交点。...把判断直线交点是否在线段上的逻辑去掉，然后直接返回点坐标即可。 优化点 1、重叠但却只有一个交点的情况。...线段的两个端点的距离非常小，计算出的结果也会非常小，可能会进入了 0 的绝对误差范围了，考虑改成相对误差。 3、溢出风险。数值很大时有溢出风险，可以考虑计算一个缩放值，缩小后计算，计算完再放大回去。...结尾 总结一下，求两线段的交点，本质就是解方程，需要用到克莱姆法则，计算出来的交点是直线交点，不一定是线段交点，需要再判断点是否在线段范围内。 不复杂，就是有一点点小细节。
题目链接 LeetCode 69. x 的平方根[1] 题目描述 实现 int sqrt(int n) 函数。 计算并返回 的平方根，其中 是非负整数。...牛顿法 求 的根可以采用牛顿法。 首先选取一个初值 ，然后在函数 处作切线，求出切线与 轴交点 。接着将交点坐标作为新的 ，然后重复上面步骤，直到 和 差值小于某个阈值。...直接给出计算得到的更新公式吧，大家也可以自己通过切线方程推导一下： 还可以通过泰勒展开得到这个公式，这里就不详细阐述了。 梯度下降法 求 的极小值点可以采用梯度下降法。...: https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/ 作者简介：godweiyang，知乎同名，华东师范大学计算机系硕士在读，方向自然语言处理与深度学习。...喜欢与人分享技术与知识，期待与你的进一步交流~
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根 附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。...设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值， 过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f’(x0)(x-x0)， 求出L与x轴交点的横坐标 x1...= x0-f(x0)/f’(x0)， 称x1为r的一次近似值。...过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f’(x1)， 称x2为r的二次近似值。...重复以上过程，得r的近似值序列， 其中x(n+1)=x(n)－f(x(n)) /f’(x(n))， 称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
当n = 4 时，我们可以按如下分类方法，逐步计算。 1. 四条直线全部平行，无交点。 2. 其中三条平行，交点数: 3*(n-3)+0 = 3； 3...., 6个不同的交点数.所以有5种可能。...从上述n=4的分析过程中，发现： m条直线的交点数=r条平行线与m-r条直线交叉的交点数+ m-r条直线本身的交点数 =r*(m-r) + m-r条直线之间的交点数。...(1<=r<=m) {m条直线的交点数集合} = U { r条平行线与m-r条直线交叉的交点数 + {m-r条直线本身的交点数集合} } = U { r*(m-r) + {m-r条直线之间的交点数集合...(1<=r<=m) 注意：数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。 如何编写程序？
： 还有一种是有两个交点，这种情况又分为两种情形，分别为： 这种情形是直线与x轴平行，还有一种情形如下： 这种情形为直线为椭圆曲线的切线。...(None, None, self.a, self.b) ''' 如果当前点与给定点形成的直线与椭圆曲线有三个交点，首先我们要计算A(x1,y1),B(x2,y2)所形成直线的斜率...，这时 我们要计算切线与曲线的另一个交点。...在计算椭圆曲线两点相加时，总共有四种情况要考虑，分别为两点形成的直线与曲线相交于第3点；两点在同一条竖直线上；两点其实是同一点，这种情况计算改点切线与曲线相交的另一点；两点都是同一点，而且y坐标为0，这种情况如下图所示...： 我们测试完成的代码看看情况： #曲线上一点的切线与曲线交点 a = EllipticPoint(-1, -1, 5, 7) print(a + a) #曲线上两点形成的连线与曲线相交于第3点
，若这两点均不是切点，则曲线上必有第三点与那条直线相交 过曲线上任意一点的非垂直切线与该曲线必有且仅有另一个交点。...“异点相加”, P + Q = r, 定义为：r为r’基于x轴的反射点（对称点）。其中，R’为包含P和Q的直线与曲线的第三个交点,如图上所示。...同样，“同点加倍”，P + P = r, 定义为：作一条过P点的切线，先求出该切线与曲线的另一交点R’,再计算r‘基于x轴的反射点r。 求r 坐标,得到一个非常美的结果 当p!..., 24] 签名过程如下： 1、选择一条椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G； 2、选择私有密钥k（k<n，n为G的阶），利用基点G计算公开密钥K=kG； 3、产生一个随机整数r（r<n），计算点...R=rG； 4、将原数据和点R的坐标值x,y作为参数，计算SHA1做为hash，即Hash=SHA1(原数据,x,y)； 5、计算s≡r - Hash * k (mod n) 6、r和s做为签名值
图1-1绘制了方程V的曲线和曲线上A点的切线，观察图1-1可知，切线在曲线的A点处非常靠近曲线，在A点处，当方程变量x取得很小变化dx时，曲线和切线几乎很难区分。...因此可以说在曲线A点处的切线是方程V的线性逼近。 图1-1中红色直线与曲线的交点B点是方程V的正根，A点距离B点还有一段距离，我们希望A点继续沿曲线移动到B点，B点就是方程的解。 如何移动A点呢？...这就用到了切线方程，A点的切线方程为(n=8)： 由A点的切线方程推出： x1是过A点切线方程与X轴交点的横坐标，过点（x1，f(x1)）继续做方程V的切线，由过点（x1，f(x1)）的切线方程计算得到...依次类推，直至A点移动到B点或x1与x2差的绝对值小于指定的一个非常小的数，整个迭代结束。 注意要点 使用牛顿迭代法要找到方程的近似根，必要条件是函数在定义域内是连续的，且存在二阶导数。...% 通过切线方程计算y数据 y1 = k*(x1-x)+y % 绘制切线 plot(x1,y1) End 公众号.jpg
即f(x)=0,但是多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法就提出利用曲线的切线通过多次迭代来逼近精确值。...设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 =...x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。...过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。...重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。很乱但没办法，数学公式就是这样难阅读。不过整体逻辑不难理解。
牛顿法是一种用于找到实数函数的根的近似值的方法，是求根算法中的一个代表。下面以一个例子来具体说明用牛顿法求根的过程。...，该点对应的函数值为 ? 。然后在该点的函数值附近画切线，切线与 ? 轴的交点为 ? 。假设 ? ，在由切线，x 轴及函数值 ? 形成的三角形中，可以求得斜率 ? ，化解可得 ?...处的导数，所以有 ? ，最后代入得 ? 。后面在 ? 对应的函数值处取切线，然后开始新一轮的迭代。之后再循环这个过程，直到达到足够准确的值，这就是牛顿法求根的过程。...: return mid return low - 1 """ # 采用牛顿迭代法 r...= x while r*r > x: r = int((r + x/r) / 2) return r 参考 [1].
POINT LLitesct; //直线与直线的交点 //返回交点个数 ll LineLineIntersection(LINE L1, LINE L2, POINT &p) { if(sgn...vector LCitesct; //直线与圆的交点 //解方程：(at+b)^2+(ct+d)^2 = r^2; //化简得：et^2+ft+g = 0 //返回交点个数 ll...delta))/(2*e); p[0] = L.point(t1); p[1] = L.point(t2); return 2; } } //圆与圆的交点数组...POINT LLitesct; //直线与直线的交点 //返回交点个数 ll LineLineIntersection(LINE L1, LINE L2, POINT &p) { if(sgn...= 1) return 0; //空集 LineLineIntersection(q[last],q[first],p[last]); //计算首尾两个半平面交的交点
题目大意 求一个数的平方根。结果返回整数，舍去小数，不是四舍五入 解题思路 二分搜索：值得注意的是右边可以直接设置为j=x/2+1，因为在(x/2+1)^2 > x。...+ay=x2+a y=x^2+a 的解。...接单介绍一下牛顿迭代法，如下图，求方程曲线与y轴的交点就是方程的解。...随意取一个值 X0X0 X0 ，找出曲线在 XX X 处的切线，该切线与y轴的交点为 X1X1 X1 ，再求 X1X1 X1 处的切线的交点，可以看出来交点会不断的向目标值靠近，现在确定一个阈值就可以找出近似解了...7 我的标准输出 result + x , result 8.0 1.0 11.0 4.0 9.875 2.875 我的答案 2 总结
题解 image.png 反演的性质： 不通过O的直线反演后为通过O的圆 不通过O的圆反演后变成不通过O的圆 圆C与其反演后的圆C'的切线再反演成的圆C1相切 于是这题就可以 以P为反演中心，反演半径为...1，将两个圆反演变换为新的两个圆，将新的两个圆的外公切线求出来，其中 P与圆心 都在该切线同侧的切线 关于P反演变换的圆 就是符合题意的。...因为如果是在切线两侧就是内切，如下图的黑色切线，P点和两个新的圆的圆心在其两侧，则它的反演的圆将内切C1,C2，题目要我们求的是外切的。红色的切线反演的圆就是C3。 ?...（顺便，画图工具扔一下：Desmos） 现在的问题是如何求反演和外公切线。...a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y)); } cir cross(dd a1,dd b1,dd c1,dd a2,dd b2,dd c2){//a1X+b1Y+c1=0和a2X+b2Y+c2=0的交点
分析： 解法1：牛顿迭代法(牛顿切线法) Newton's Method(牛顿切线法)是由艾萨克·牛顿在《流数法》(Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿死后的1736...首先随便找一个初始值 ，如果 不是解，做一个经过( 这个点的切线，与轴的交点为 。同理，如果 不是解，做一个经过(x_1,f( x_1))这个点的切线，与轴的交点为 。 以此类推......以这样的方式得到的会无限趋近于f(x)=0的解。 判断 是否是f(x)=0的解有两种方法：1. 直接计算的值判断 是否为0；2. 判断f(x)=0前后紧邻的两个解是否无限接近。 ...经过这个点 的切线方程为 其中， 为f(x)的导数，本题中导数为2x。...上图可在浏览器的新标签中打开，高清的 由于int sqrt(int x)接受的参数与返回值均为int型，故⌊√x⌋ ≤ (⌊x/2⌋+1)即等价于强数据类型语言(比如：C++、C、Java等)中的√x(
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。 由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。...2.初次尝试 这道题很明显不是让我们调用 Math.sqrt() 方法来计算，而是自己实现一个求平方根的算法。第一反应想到的方法是暴力循环求解！...基于这种思想，牛顿尝试用切线来研究曲线的问题，例如用切线的根近似的求出曲线的根。...然后他观察到一个现象，当在曲线上取某一点作切线时，以该切线的根作垂线，在垂线和曲线的交点处再作切线，以此循环往复，切线的根逐渐会逼近曲线的根。如图所示（A点时第一个取的点）。 ?...，"_x" 是二次方程的横坐标，"_y" 是方程的纵坐标，"a" 是切线与 x 轴的交点处的横坐标。
欢迎关注R语言数据分析指南 ❝本节来回答VIP会员群中两位观众老爷的问题，「R中计算效应值及如何无缝拼图」，下面通过两个案例来进行展示，结果仅供参考，希望各位观众老爷能够喜欢。...❞加载R包 library(tidyverse) library(magrittr) library(patchwork) library(aplot) library(cowplot) R种计算效应值大小..."pre"]) + var(data$outcome[data$treatment == "post"])) / 2) d <- (mean_A - mean_B) / sd_pooled # 计算组间平方和...（SST） SST <- sum((data$outcome - mean(data$outcome))^2) # 计算Eta-squared eta_squared <- SSB / SST ❝R...中用于拼图的包有很多，小编常用的主要有「patchwork」，「cowplot」两款，当然「aplot」也属于拼图包的范畴，但是要实现无缝隙的拼图显然「cowplot」更胜一筹。
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
ICP备案
实时音视频
即时通信 IM
对象存储
