我们的质数（又称素数）、合数一般是对正整数来讲，质数就是只有1和本身两个的正整数，合数至少有3个约数，而1既不是合数也不是质数。 ...质数有无穷多个，这个早在古希腊时期就被证明了，使用反证法很容易证明：假设质数只有有限多，分别为a1.....an，则a1*a1.......找质数的第一个门槛还是靠随机，上述公式，可以推导出质数的密度ρ (n)（因为∏ (n)并非连续函数，此处密度只是概率上的密度）为 lim ρ (n)/(n/ln(n))‘ = 1 n→∞ (n/...涉及到密钥的生成，随机算法要小心了，用时间种子与伪随机算法一起当然是不安全的，最好以硬件随机为基础的随机数，这样无规律，难以从密钥生成机制直接下手破解。 接下来就需要质数判定算法。 ...，则ap-1%p=1 费马小定理虽然没有给出一个质数的鉴定方法，但告诉了我们，如果右边等号不成立，则p一定是合数，而基于概率的判定方法一般都会以费马小定理作为基础零件。
Halton序列 在统计学中，Halton序列是用于生成空间中的点的序列，如Monte Carlo模拟的数值方法，虽然这些序列是确定性的，但它们的差异性很低，也就是说，在许多方面看起来是随机的。...它们在1960年首次提出，是准随机数列的一个例子。...尽管标准的Halton序列在低维情况下表现的很好，但由高质数生成的序列之间存在相关问题。...另一个解决方案是leaped Halton，它会在标准序列中跳过点(例如，只有每409个点(也可以是其他没有在Halton核心序列中使用的质数)，才能取得显著的改进)。...generator function （Python）中给出了另一种实现方式，它可以产生以bb为基数的Halton序列的后续数字。
我们再来看 find_p_q函数： 这个函数很长，但是大部分是在验证生成的 p 和 q 是否符合要求（不能相等，并且要相差足够大），如果不符合要求就重试。所以真正核心的代码只有第613行和第615行。...如果不是质数，继续随机生成一个 nbit 的奇数，再判断它是不是质数。 这 TM 在逗我？在死循环里面随机生成奇数，然后判断是不是质数，不是就重试直到随机到一个质数为止？...在 到 这么大的范围里面随机选奇数？这要选多少年才碰得上两个质数啊？ 为了解决这个疑惑，我们来看一下素数定理[2]。 对于正实数 ，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于x的素数个数。...那么随机选一个数字，不是质数的概率是99.86%。我们来计算一下，如果随机选10000个数字，即使在不考虑奇偶性的情况下： 也就是说，在随机10000个数字里面，不出现质数的概率是一千万分之一。...出现质数的概率超过99.9999% 而用 Python 循环10000次，并不需要多长时间。所以，rsa 库里面的这个算法，竟然没什么问题！！
故事背景：判断一个正整数是不是质数。 逻辑很简单，对于一个数 n，只有从 2 到 n 做个循环，来检查 n 是不是被每个数能整除，如果是，那么 n 不是质数；如果不是，n 是质数。...对，生成器（generator）！ 生成器是按需求调用 (call-by-need) 的，你需要调用一个值，我就 yield 一个值，然后用 next() 更新内部状态，等待你下次调用。...= 0 for i in range(2, n))) 例子 1：我找了个比较大的质数 131071，用 %timeit 魔法指令来显示运行时间。 ?...哈哈哈哈，傻眼了吧，生成器运行的时间 (13.6ms) 比列表解析式运行的时间 (13.1ms) 长。...只要你见到下图左边的代码样子，你就可以用 any() + 生成器。 ?
1.素数的定义 素数又名质数，指除了 1 和本身外不再有其他因数的自然数。 特别规定 0 和 1 既不是质数也不是合数。最小的质数是 2，最小的合数是 4。...下面给出常见判断方法，效率依次提升，以 Golang 为例给出实现。...那么，就只有 6x+1 和 6x+5 (即等同于6x-1) 可能是质数了。...Miller-Rabin 的理论基础来源于费马小定理，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。关于 Miller-Rabin 算法原理这里不详细展开。...对于 n 次测试，对于随机选择的非素数，返回 true 的概率最多为 (1/4)^n。
六、Java进行 RSA 加解密时不得不考虑到的那些事儿： 1、质数的选择： 首先要使用概率算法来验证随机产生的大的整数是否是质数，这样的算法比较快而且可以消除掉大多数非质数。...尤其产生随机数的软件必须非常好。要求是随机和不可预测。这两个要求并不相同。一个随机过程可能可以产生一个不相关的数的系列，但假如有人能够预测出（或部分地预测出）这个系列的话，那么它就已经不可靠了。...比如有一些非常好的随机数算法，但它们都已经被发表，因此它们不能被使用，因为假如一个攻击者可以猜出p和q一半的位的话，那么他们就已经可以轻而易举地推算出另一半。...但是明文长度不能超过密钥长度。 比如 Java 默认的 RSA 加密实现不允许明文长度超过密钥长度减去 11(单位是字节，也就是 byte)。...而且是线程不安全的： javax.crypto.Cipher 是有状态的，不要把 Cipher 当做一个静态变量，除非你的程序是单线程的，也就是说你能够保证同一时刻只有一个线程在调用 Cipher。
如何选择E和N是一个复杂的数学过程，我们会在后面讲到。 RSA的解密 先看一下RSA解密的公式： ? 通过公式可以看到，明文是通过密文的D次方，再和N取模得到的。这里的N和加密的N是同一个数字。...生成N 生成N的公式如下： ? p和q是两个很大的质数，太小的话容易被破译，太大的话会影响计算速度。通常p和q的大小为1024比特。这两个数是通过伪随机数生成器生成的。...伪随机数生成器不能直接生成质数，它是通过不断的重试得到的。 2. 求L L是一个中间数，它和p，q一样，不会出现在RSA的加密和解密过程。 L的计算公式如下： ?...L是p-1和q-1的最小公倍数 3. 求E E就是用来加密的公钥了，E是一个比1大，比L小的数。并且E和L必须互质。只有E和L互质才能计算出D值。 ? ? 这里E也是通过伪随机数生成器来生成的。...因为 N= p * q ， 而p和q都是质数， N又是已知的，那么我们可不可以通过质因数分解来得到 p和q呢？
log = 0 while w: b = a//w#首位 a %= w#为下次循环变量改为余数 w //= 10#降权 print(b,end=' ') ## 13.给出随机...,给一个随机数,如果该数能整除质数,那该数就为合数 li = [2] x = int(input()) for i in range(2,x): a = 1 for n in li:...'2': print('True') break else: print( 'False') c = c-1 ## 17.输入随机数字列出所有能整除它的数字...= l1[n]:#如果输入值能整除当前质数且不为当前质数,分解输入值并把质数加入列表 l2.append(l1[n]) cc = cc / l1[n] elif...) log = 0 elif cc > l1[n]: n = n + 1 print('质因数:',l2) ## 22.球从100米高处下落,每次反弹上次距离的一半
摘要 本文分析GO语言包中的"crypto/rand"和"math/rand"，芯链HPB系统的区块链随机数，并给出了权衡效率和随机性，并给出了一款区块链摇号抽奖系统如何实现随机数的算法和流程。...可以通过密码学安全伪随机数生成器计算得出 真随机数 -同时满足三个条件的随机数 2.2 GO语言包的随机函数包介绍 2.2.1 math/rand 包 math/rand 包实现了伪随机数生成器，就是如果使用相同的种子来生成两个...比如说，时钟，IO 请求的响应时间，特定硬件中断的时间间隔，键盘敲击速度，鼠标位置变化，甚至周围的电磁波等等……直观地讲，你每按一次键盘，动一下鼠标，邻居家 wifi 信号强度变化，磁盘写入速度等等信号...的数字，该数字具有很高可能性是质数(除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数)。...当且仅当err == nil时，返回值n == len(b) 2.2.2.2 应用场景 （1）生成随机加密串 2.3 HPB区块链系统的随机数介绍 2.3.1 HPB 随机数生成器 HPB 随机数生成器是架构在区块链的一种基础服务
RSA算法原理 RSA算法的基于这样的数学事实：两个大质数相乘得到的大数难以被因式分解。...如：有很大质数p跟q，很容易算出N，使得 N = p * q， 但给出N, 比较难找p q（没有很好的方式， 只有不停的尝试） 这其实也是单向函数的概念 下面来看看数学演算过程： 选取两个大质数p，q，...假设m为明文，加密就是算出密文c: m^e mod N = c (明文m用公钥e加密并和随机数N取余得到密文c) 解密则是： c^d mod N = m (密文c用密钥解密并和随机数N取余得到明文m)...Alice 随机取大质数P1=53，P2=59，那N=53*59=3127，φ(N)=3016 取一个e=3，计算出d=2011。...只有知道e和φ(n)，才能算出d。 φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。 n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
0.前言 给你一个能生成随机整数1-7的函数，就叫他生成器get7吧，用它来生成一个1-11的随机整数，不能使用random，而且要等概率。...当然我们最终目标很明确，目标随机数生成器get11，它的每一个随机数都会等概率映射到get7的扩展序列里面： ?...get11():~~((n-1) / 4)+1 } 复制代码 2.二进制法 对小随机数函数进行二进制划分，一半表示1一半表示0，然后用二进制表示大随机数，再去除多余的 get7到get11，8<11<16...我们知道等概率生成某个范围的随机数，想通过这个函数生成一个更小范围的随机数，就应该这样子：超过预期范围，重新抽取，所以叫做拒绝采样。...刚刚好就是最完美的，如果目标生成器是质数，就让拒绝采样次数尽量少，也就是尽量靠近目标。这种随机数扩展， 套路就是超过的拒绝采样，不足的利用加法和乘法使得刚刚好到目标范围或者超过目标
0.前言 给你一个能生成随机整数1-7的函数，就叫他生成器get7吧，用它来生成一个1-11的随机整数，不能使用random，而且要等概率。...喂，说get7() 乘以11/7的那个，你确定没问题？ 1.1 扩展 既然是小范围随机扩展到大范围，那么肯定离不开小范围随机数生成器get7的多次调用。...get11():~~((n-1) / 4)+1 } 2.二进制法 对小随机数函数进行二进制划分，一半表示1一半表示0，然后用二进制表示大随机数，再去除多余的 get7到get11，8<11<16，我们取...我们知道等概率生成某个范围的随机数，想通过这个函数生成一个更小范围的随机数，就应该这样子：超过预期范围，重新抽取，所以叫做拒绝采样。...刚刚好就是最完美的，如果目标生成器是质数，就让拒绝采样次数尽量少，也就是尽量靠近目标。这种随机数扩展， 套路就是超过的拒绝采样，不足的利用加法和乘法使得刚刚好到目标范围或者超过目标
一个参数量只有1.3B的大模型，为何引发了全网热议？ 原来虽然参数量不大，但效果已经超过了拥有7B参数的Llama2。...这个“四两拨千斤”的模型，是来自微软最新的研究成果，核心在于只使用少量高质数据。 微软这次发布的开源模型叫phi-1.5，在只支持代码的1.0版本之上加入了一般场景对话。...phi团队一直认为，数据的质量远比数量更重要，甚至论文标题就叫“Textbooks are All You Need”，其中的“教科书”就象征着优质数据。...Llama的训练花费了超过8万GPU时，注意这还是第一代所用的时间，而phi只用了1500个GPU时。 推理时，phi每个token花费的时间还不到3毫秒，内存占用也不到Llama的五分之一。...但phi系列还不是微软规模最小的模型。 之前微软还推出过一个名为TinyStories的训练数据集，它的参数量少的更夸张，只有一百万。
- [1,2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同的质数 2 和 3 的乘积。 - [1,3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。 - [2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。...一个显然的突破口是 1 <= nums[i] <= 30 ，再加上题目对于「好子集」的定义，我们可以进一步缩减可选数的数量，不超过 30 的质数个数包括 [2, 3, 5, 7, 11, 13,...for (int i = 0; i < cnts[1]; i++) ans = ans * 2 % MOD; return (int) ans; } } 时间复杂度...我们有显然的初始化条件： f[1][0] = 1 ，代表当只有数值 1 的话，只有空集为合法方案。...在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
大数分解： RSA的安全性基于大数分解问题的困难性。具体而言，RSA的安全性取决于将两个大质数相乘得到的结果难以分解为这两个质数的乘积。...函数API概述 AutoSeededRandomPool 类 用于提供安全的伪随机数生成器。这个类会根据系统的熵源自动初始化，以确保生成的随机数足够安全。...在 Crypto++ 库中，伪随机数生成器是通过 RandomNumberGenerator 接口实现的。...这个方法接受待加密的数据块和一个随机数生成器作为参数，并返回加密后的数据块。...这个方法接受待解密的数据块和一个随机数生成器作为参数，并返回解密后的数据块。
欧几里得给出过一个很漂亮的反证法的证明，相信很多人都看到过，我不再赘述。知道质数有无穷多个后，我们可以追问：质数的分布情况如何？而这其中最基础的问题就是前n个整数里，有多少个质数呢？ ...因为如果只有有限多个质数，就不可能相乘到任意大。 第二个是：这个级数左边是相乘，右边是加法级数，这种形式的级数等式是很罕见的。更妙的是，乘法级数是关于全体质数的，右边是关于全体自然数的级数。...当高斯有了一些发现，但没时间继续研究给出完整证明时，他就不会公布他的想法或猜想。总之，这是个性使然。 ...1955又Skews又给出一个不依赖黎曼假设的结论， 说这个翻转会在 ，约 之前发生。 ...所以现在所知的就是， 与 的第一个大小翻转点就在 到 方之间的某个位置，但看上去还是远超过计算机暴力计算可以找到的位置。
几十年来，数学家们一直猜测整数中有一半可以写成这种形式，就像奇数和偶数一样。 但是没有人能够证明这一点，甚至没有人能够估计属于每个阵营的整数比例。...BSD 猜想是该领域的核心问题，克雷数学研究所曾在 2000 年为破解这一难题设置 100 万美金的奖励，但至今无人能给出完整的理论证明。...除每个质数，找到余数为 3 的质数，查看其指数，如果指数都是偶数，那么这个整数就能够分解成两个分数的平方之和；反之不能。...需要注意的是，绝大多数整数都未能通过 Albert Girard 和 Pierre de Fermat 提出的偶数指数测试。 如果你随机选择一个整数，它是两个分数平方和的概率基本上为零。...证明了完整猜想——恰好一半的整数是两个立方体的综合，最终将需要处理具有多个关联矩阵的数字集。
一维数组部分 上课时间与安排 时间20231808 18:10-20:10 一维数组的应用 模拟法与开关门 上课内容 课程链接： C++等级考试一点通 /C++中级 （20）一维布尔数组的应用 + 回顾...：20231208 代码名称：判断是否是质数： 知识点：循环的使用，if判断的使用，break的使用，质数的理解。...质数的分布较为稀疏，对于一个足够大的数S，不超过S的质数大约有 \frac{N}{InN} 个，也就是说每 InN 个数约有一个质数，这点读者了解即可。...质数的判断（试除法） 对于质数的判断，最简单也最容易想到的方法就是一个一个的筛选，也叫试除法。 如果要判断一个数N，那么我们要对2~N-1的所有数都筛选一遍吗，显然不用。...我先给出答案：2~sqrt(N) 代码如下： #include bool isprime(int num){ if(num==2) return true; if(num%
而数学家正是借助这种方式，来定义曲线的「秩」。 曲线的秩反映了它拥有的有理数解的数量：秩为0的曲线只有有限个解，而那些秩较高的曲线，则有无限个解。 而这些解之间的加法运算关系，就是用秩来描述的。...我们可以把有限域想象成一个时钟，其「小时数」就等同于该质数：到达这个质数时如果你继续往后数，数字就会从0开始。 例如，在质数7构成的有限域中，5加2的结果是0，5加3的结果是1。...他们认为，椭圆曲线的秩与a_p序列之间存在特定的关系。 谁要是能证明他们的猜想是正确的，不仅能赢得一百万美元的奖金，还将在数学史上青史留名。...何教授本科学的是物理，然后在MIT取得了数学物理博士学位。 但随着时间的推移，他对数论的兴趣与日俱增，并且开始考虑用AI来探索数字中的未知规律。...其中，有大约一半的秩为0，另一半的秩为1（更高秩的曲线极其罕见）。 接着，Pozdnyakov分别计算了秩为0和秩为1的曲线的a_p值的平均数，并将这些数据绘制成图。
GenerateKey func GenerateKey(random io.Reader, bits int) (priv *PrivateKey, err error) GenerateKey函数使用随机数据生成器...虽然公钥可以和二质数情况下的公钥兼容（事实上，不能区分两种公钥），私钥却不行。因此有可能无法生成特定格式的多质数的密钥对，或不能将生成的密钥用在其他（语言的）代码里。...1说明了给定字位数的密钥可以接受的质数最大数量。...数据不能超过((公共模数的长度)-2*( hash长度)+2)字节。...本函数的目的是让程序的使用者事先生成一个随机的会话密钥，并用运行时的值继续协议。这样可以避免任何攻击者从明文窃取信息的可能性。
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