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鞍点

关于“鞍点”的说法网上讲的乱七八糟,因此我特地上维基百科探查了鞍点的真相。 首先在高等数学里可能大家都还记得一个平面叫马鞍面,图形如下(粘贴自维基百科),那个红点就是三维空间中的鞍点。...值得注意的是,鞍点无论对各个方向求导(偏导),其导数(偏导数)都是0,但是它又不是极值点。 而在二维图像(曲线、曲面、超曲面)上,鞍点就是其驻点,所谓驻点也就是一阶导数为0的点。...关于二维空间中鞍点的举例,就可以拿y=x^3在x=0那一点来说了,下图同样摘自wiki。 包含一个或以上鞍点的面就叫做Saddle surface。...对于鞍点更数学一点的解释就是: 对某函数f,若其在某一点的Hessian matrix的值是indefinite的,那么它就是鞍点(我也不懂,原文如下) ---- 了解了鞍点的概念,就要说到鞍点对...Gradient Descent的影响了,在许多深度学习实验中,往往会有存在鞍点的可能,而若是鞍点较多,则会严重影响Gradient Descent的性能与正确率,而事实上即便在其他算法中,鞍点往往比Local

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    算法优化之道:避开鞍点

    这样的算法可能会陷入鞍点之中。 在文章的剩下部分,我们首先会介绍,收敛于鞍点的可能性是很大的,因为大多数自然目标函数都有指数级的鞍点。然后,我们会讨论如何对算法进行优化,让它能够尝试去避开鞍点。...避开鞍点 为了优化这些存在许多鞍点的非凸函数,优化算法在鞍点处(或者附近)也需要向最优解前进。最简单的方法就是使用二阶泰勒展开式: ?...严格鞍函数 通常寻找局部最小值也属于NP-hard问题,许多算法都可能陷入鞍点之中。那么避开一个鞍点需要多少步呢?这与鞍点的表现良好性密切相关。...这似乎很困难,因为在鞍点处梯度为零向量,并且没有给我们提供任何信息。然而,关键在于鞍点本身是非常不稳定的(unstable):如果我们把一个球放在鞍点处,然后轻微地抖动,球就可能会掉下去!...复杂鞍点 通过上文的介绍,我们知道算法可以处理(简单)的鞍点。然而,非凸问题的外形更加复杂,含有退化鞍点(degeneratesaddle points)——Hessian矩阵是半正定的,有0特征值。

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    每日一问之鞍点(saddle point)

    结合自己的情况并针对这道问题,整理出了以下概念: 什么是鞍点? 什么是 Hessian 矩阵? 如何证明一个点为鞍点? 局部最小值和鞍点的区别?...如何证明一个点为鞍点 Hessian 矩阵是一个凸函数,并且是正半定的。通过这一属性,我们可以测试临界点 x 是局部最大值,或者是局部最小值还是鞍点。...局部极小值和鞍点 局部极小值和鞍点的相同点是,在该点处的梯度(导数)都为零。从上面可以看出,局部极小值和鞍点的区别就在于,在该点处的 Hessian 矩阵的特性。...如果 Hessian 矩阵在该点处是正定的,则为局部极小值;如果为不定的,则为鞍点鞍点通常是神经网络训练的困难之处。...事实上,建立的神经网络包含大量的参数,造成局部最优的困惑不是这些极小值点,而是零梯度点,通常为鞍点。 ? 为什么说鞍点是训练神经网络的困难之处呢?

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    深度学习为何起作用——关键解析和鞍点

    对深度学习,包括分布式表示,深度架构和易避免鞍点的理论驱动力的讨论。...“上图展示了一个鞍点。在全局或局部最小区域,所有方向都上升,在全局或局部最大区域,所有方向都下降。” 鞍点 “我们来考虑低维度和高维度下的优化问题。在低维度中,确实存在许多局部最小。...当我们优化神经网络或任何高维度函数的时候,对于我们大多数优化的轨迹,临界点(点的导数是0或接近0)都是鞍点鞍点,不像局部最小,很容易退避。”...这一切都表明,事实上因为鞍点的存在,局部最小可能不是问题。 Boney继续他关于鞍点的讨论,提出了一些与深度分布式表示工作的其他先验;类人学习(human learning),半监督学习,多任务学习。...然后他列出了一些关于鞍点的论文。 Rinu Boney写了篇文章详细阐述深度学习的驱动力,包括对鞍点的讨论,所有的这些都很难通过简单的引用和总结来公正说明。

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    C语言 | 找出二维数组中的鞍点

    例64:C语言实现找出一个二维数组中的鞍点,即该位置上的元素在该行上最大、在该列上最小。也可能没有鞍点。...解析:读者看着道题的时候,首先要了解什么是鞍点,先找出一行中值最大的元素,然后检查它是否为该列中最小值,如果是,则是鞍点,输出该鞍点;如果不是,则再找下一行的最大数......如果每一行的最大数都不是鞍点...,则此数组无鞍点。...flag)   {      printf("鞍点不存在!...以上,如果你看了觉得对你有所帮助,就给小林点个赞,分享给身边的人叭,这样小林也有更新下去的动力,跪谢各位父老乡亲啦~ C语言 | 找出二维数组中的鞍点 更多案例可以go公众号:C语言入门到精通

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    二维数组之查找鞍点的有无

    鞍点的定义:如果某位置上的元素在该行上最大,在该列上最小,则称这个位置为鞍点 两组测试数据:          为了方便输入,程序应能处理任意行数和列数的数组,理论上数组的大小必须是一个常量,但在C99...=0) printf("无鞍点\n"); 这里的flag的变化很重要,是用来确定鞍点有无的关键,当我们跳出for循环时,这个flag就用来判断鞍点.当我们走完一遍循环后,如果上一次的循环使...flag=1,再次循环不将flag重新赋值成0,那将永远得不到鞍点,除非你第一遍就找到了鞍点,但这显然不符合题目的意思,所以每次重新使flag=0就很重要。...为了更直观的理解,我们来看看没有flag=0的情况:  输入了有鞍点的测试用例后,却输出无鞍点。...鞍点的查找就到这儿了,如有错误,欢迎指出。         谢谢你的阅读。         拜拜~

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    深度学习为何起作用——关键解析和鞍点

    对深度学习,包括分布式表示,深度架构和易避免鞍点的理论驱动力的讨论。...“上图展示了一个鞍点。在全局或局部最小区域,所有方向都上升,在全局或局部最大区域,所有方向都下降。” 鞍点 “我们来考虑低维度和高维度下的优化问题。在低维度中,确实存在许多局部最小。...当我们优化神经网络或任何高维度函数的时候,对于我们大多数优化的轨迹,临界点(点的导数是0或接近0)都是鞍点鞍点,不像局部最小,很容易退避。”...这一切都表明,事实上因为鞍点的存在,局部最小可能不是问题。 Boney继续他关于鞍点的讨论,提出了一些与深度分布式表示工作的其他先验;类人学习(human learning),半监督学习,多任务学习。...然后他列出了一些关于鞍点的论文。 Rinu Boney写了篇文章详细阐述深度学习的驱动力,包括对鞍点的讨论,所有的这些都很难通过简单的引用和总结来公正说明。

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    「如何跳出鞍点?」NeurIPS 2018优化相关论文提前看

    结论 本文着重关注优化的一些非常实用的问题,即如何跳出鞍点。例如,在神经网络中进行优化时,多层架构中误差表面的统计特性已经显示出鞍点占据的优势。因此,本文提供了如何潜在地克服鞍点的深刻见解。...现在,我们已经知道了在非线性优化问题中跳出鞍点的一种方法,那么如何才能更快地跳出鞍点呢?接下来的这篇论文将讨论这个问题。...因此,这个问题就变成了:我们如何达到局部最小值而不陷入鞍点?如果我们被陷入鞍点,我们怎么才能跳出鞍点呢? 预备知识 本文的目标是利用目标函数的三阶平滑度来避开鞍点。...至此,我们已经讨论了以下问题: 随着神经网络变大、变深,其损失函数往往会陷入鞍点鞍点的误差大于局部和全局最小值,因此,我们希望避免算法陷入鞍点。 如果算法到达了一个驻点,我们希望 a....判断该点是局部最小值还是鞍点 b. 如果该点是鞍点,我们需要跳出该鞍点 目前我们看到的论文都关注如何解决上述问题。然而,到达鞍点并跳出鞍点还只是这个方向的研究的冰山一角。

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    学界 | Michael Jordan新研究官方解读:如何有效地避开鞍点

    GD 能快速避开鞍点吗,还是会在鞍点附近显著减速?避开鞍点的速率又会随着参数个数(维度)的变化而怎样变化?...严格鞍点和二阶驻点 后文中讨论的“鞍点”同时指代了一般定义中的鞍点,和局部最大点。这些点是在至少一个方向上为局部最大值的驻点。鞍点和局部最小值可以根据 Hessian 的最小特征值分类: ? 。...更进一步,我们将最后一类鞍点称为严格鞍点(strict saddle points),他们满足 ? 。 ? 尽管非严格鞍点在谷底可能是平坦的,但严格鞍点要求至少有一个方向的曲率是严格为负的。...应用 在实际应用中,一大类非凸问题都可以被证明具有以下性质:所有的鞍点都是严格鞍点。...当 GD 在一系列鞍点附近前进时,它可能会与后面的鞍点越来越近,因此避开鞍点就需要越来越长的时间。实际上,避开第i个鞍点所需的时间会按 e^i 的速度增长。

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    吴恩达导师Michael I.Jordan学术演讲:如何有效避开鞍点(视频+PPT)

    梯度下降法(GD,Gradient Descent)一般可以渐近地逃离鞍点,但是还有一个未解决的问题——效率,即梯度下降法是否可以加速逃离鞍点。 加州大学伯克利分校教授Michael I....如果一个回路的局部最大值不是问题,它的鞍点是剩下需要解决的。 鞍点在这些体系结构中大量存在,不论是在简单的模型还是在神经网络中。它们会导致学习曲线变平。...这就是靠近鞍点的表现。最终你会逃离鞍点。继续下去,你可能会碰到另一个鞍点。你会看到一个学习曲线,它这样上升和下降。某种意义上,这不是问题,如果你最终得到正确答案。...让我给你们看一张鞍点的图片。在左边我们有一个“严格”的鞍点。有一个负曲率的方向,这个负曲率是严格小于零的。在右边,它是个非严格鞍点,但第二个特征值严格为零。 如何逃离鞍点?...但它可以是局部极小值或局部最大值或鞍点。当前最让我们困扰的是鞍点,我们到达和逃脱鞍点的速度。 现在最流行深层神经网络,在某种意义上是非凸的。

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    如何在黎曼流形上避开鞍点?本文带你了解优化背后的数学知识

    「陷入鞍点」问题就出现在基于梯度的优化方法中。优化问题旨在寻找能使目标函数达到局部极小值的驻点,而鞍点是不能达到局部极小值的驻点。因此,了解如何识别并避开鞍点至关重要。...在抵达驻点时,作者引入一种方法来识别该驻点是鞍点还是局部极小值。此外,作者提出一种方法来避开鞍点,并尝试将目标函数收敛至局部极小值。...图 1:鞍点位于球面上的函数 f。 函数 f 的定义是:f(x) = (x_1)^2 − (x_2)^2 + 4(x_3)^2,如图 1 所示。该算法在 x_0 处进行初始化,x_0 是鞍点。...这样算法就没用了,因为该算法仅希望稍微离开鞍点到达另一个点,以便避开鞍点,向另一个驻点前进。 主定理 主定理如下所示。本质上,该定理确保目标函数(向驻点收敛)的下降速率。...该论文的证明策略是,经过特定次数的迭代后,当逼近鞍点时,该函数的值大概率会下降。作者进一步证明,完成扰动和执行算法的 T 步后,如果迭代仍然远离鞍点,则函数会下降。

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    深度 | SGD过程中的噪声如何帮助避免局部极小值和鞍点

    然而,假的局部最小值和鞍点的存在使得分析工作更加复杂。理解当去除经典的凸性假设时,我们关于随机梯度下降(SGD)动态的直觉会怎样变化是十分关键的。...长期关注点:逃离鞍点 虽然泛化能力下降「generalization gap」最近已经成为了一个热门话题,但之前仍有很多工作研究鞍点的影响。...而且尽管大的批量尺寸似乎会更易于产生更尖锐的最小值,但真正大的批量尺寸会将我们引导到确定的轨迹上,这个轨迹被固定在鞍点附近。...一项研究(https://arxiv.org/abs/1503.02101)表明,注入足够大的各项同性噪声可以帮助我们逃离鞍点。...进一步的工作 目前提出的大多数处理尖锐的最小值/鞍点的解决方案都是围绕(a)注入各向同性噪声,或(b)保持特定的「学习率和批量尺寸」。我认为从长远来看,这还不够。

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