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投影矩阵的推导_分块矩阵的行列式公式

看了好几篇关于投影矩阵的文章，在z坐标的推导上，没有提到为什么z’和1/z成线性关系，而是通过结论中的投影矩阵，即已知z’= （zA + B）/w，并且x和x’,y和y’关系式中分母都有-z，所以w为-...这是用结论去反推过程，过程再得到结论，这样的逻辑我觉得不对，我认为，应该是先得到x,y,z各自的关系式，才去构造出投影矩阵。...关键在于3，在这篇文章（https://learnopengl-cn.github.io/04%20Advanced%20OpenGL/01%20Depth%20testing/#_3）中的深度精度部分有提到...这里我认为，不只是z’ = A*1/z + B可以达到我们的需求，z’ = A*1/z² + B也可以，还可以构造很多关系式都可以达到我们的需求，但是我们的最终目标是构造一个投影矩阵，投影矩阵*向量/齐次坐标.../2009/03/16/1413821.html或《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》第3版，第5.4章节），所以z'(NDC) = A*1/z(观察空间) + B，另外，如果z'(NDC)直接保存为

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Python递归求矩阵的行列式

为了感受Python的列表生成器的威力，写了个简单的程序——递归求矩阵的行列式，效率可能没numpy高，欢迎各位指正。...i] * det(n) else: s -= m[0][i] * det(n) return s 使用列表生成器使得求剩余矩阵变得异常简单

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关于矩阵之行列式、方阵、逆矩阵的理解

性质5：若矩阵中有一行为全0行，则行列式为0.利用性质3，全0行，提出一个因子0，行列式肯定为0. 性质6：从一行中减去其它行的几倍，行列式不变。...性质7：若矩阵A为三角阵，则行列式等于对角元上元素的乘积。性质8：A是奇异阵且不可逆，行列式为0；反之，行列式不为0。...性质9：矩阵AB的行列式等于A的行列式乘以B的行列式行列式的含义是面积（体积）的放大倍数，AB可以看成是级联系统，级联系统的放大倍数等于分别每一级放大倍数的乘积。...假设为3*3的方阵 A = a13a21a32 + a12a23a31 + a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31 代数余子式求法具体推导如下：...A的逆矩阵的逆矩阵还是A，记作(A-1)-1=A 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律，即AB=AC => B=C 矩阵A可逆的充要条件是行列式

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雅可比矩阵和行列式_雅可比行列式的意义

1，Jacobian matrix and determinant 在向量微积分学中，雅可比矩阵是向量对应的函数（就是多变量函数，多个变量可以理解为一个向量，因此多变量函数就是向量函数）的一阶偏微分以一定方式排列形成的矩阵...如果这个矩阵为方阵，那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。...,fm) 3，例子 3.1 设函数f为二维空间到二维空间的变换 3.2 极坐标到笛卡尔坐标的变换 3.3 球坐标到笛卡尔坐标的变换 3.4 三维空间到四维空间的变换...3.5 三维空间到三维空间的变换 4，雅可比矩阵意义雅可比矩阵 J f ( p ) J_f(p) Jf(p)就是函数f在n维空间某点p处的导数，它是一个线性映射（因为它是一个矩阵，矩阵本身代表着线性变换...Note: 微分的本质就是线性化，在局部用线性变化代替非线性变化。 5，雅可比行列式意义代表经过变换后的空间与原空间的面积（2维）、体积（3维）等等的比例，也有人称缩放因子。

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线性代数行列式方程求解(正交矩阵的行列式)

行列式求值的基本思路行列式求值主要有以下这几种思路：行列式等于它的任意列（或行）各个元素与其对应代数余子式乘积的和。...直接利用行列式的定义（逆序数）求解利用行列式的性质做初等变换在求解：性质1：互换行列式的两列（或两行），行列式仅改变符号。...1的i+j次方（ij为行列式的行和列） **我们可以看到行列式展开得到的代数余子式又是一个行列式，这是一个逐步求精的过程。...= m) { cout的矩阵不是方阵！求么子行列式！"...实现线代其它操作的参考链接线性代数行列式求值/矩阵相乘/求矩阵的逆，一个c++程序全部解决线性代数矩阵乘法用C++代码实现让c++程序助你轻松求矩阵的逆发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https

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读懂矩阵的秩和行列式的意义

当然这么做还是取决于我们是把矢量写成行向量还是列向量的形式表达. 3:行列式的性质的计算在上述的推理中,我们可以很容易的发现,行列式的值是把与行列式的矢量写成列向量的横排还是行向量的竖排的方式是无关的...,矩阵的行列式对应的面积或者是体积.这样的推广证明相信在任意一本的线性代数书中都会看到,我只是说了人话而已. 5:行列式和矩阵的逆我们知道很多定理,比如行列式为0的矩阵,不可逆,行列式不为0的矩阵,可逆...变换前，N维体的体积是：变换之后，N维体的体积是（注意到，第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的，也就是N*N矩阵A和另外一个N个列向量组成的N*N矩阵的乘法）： A的行列式如果不为零，则代表这个变换后...因此我们就建立了A的行列式与其是否可逆的几何关系。举例说明，我们假设A是一个3维的矩阵。...为3*3的矩阵A,因为秩小于3,那么任何一个3维六面体经过他的变化后,体积变为0,退化一个面,但是仍然存在一个面积不为0的面,在变换以后还是一个非零面积的面所以说所谓的一个线性变换的秩,无非就是变化后

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矩阵的行列式的几何意义_行列式的几何意义图

，也就是矩阵A的行列式。...把行列式的一行的k倍加到另一行，则行列式值不变，即矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式（根据行列式的定义可证）总结：（1）用一个数k乘以向量a,b中之一的a，则平行四边形的面积就相应地增大了...k倍；（2）把向量a,b中的一个乘以数k之后加到另一个上，则平行四边形的面积不变；（3）以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。...三阶行列式的几何意义：一个3×3阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。...矩阵A的行列式等于矩阵A转置的行列式行列式化为对角形的几何解释：一个行列式的第i行加上j行的K倍，可以使第i行的某一个元素变为0，而这个行列式的值不变。这个性质在化简行列式时非常有用。

1.2K2 0

实对称矩阵_对称矩阵怎么快速求行列式

实对称矩阵有着很好的性质，如果用一句话概括，就是： n阶实对称矩阵必有n个两两正交的实特征向量。百度百科对实对称矩阵的性质描述如下： 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。...2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。 3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。...4.若A具有k重特征值\(\lambda_0\)，则\(\lambda_0\)必对应k个线性无关的特征向量，或者说秩 \(r(\lambda_0E-A)\) 必为n-k，其中E为单位矩阵。...5.实对称矩阵A一定可正交相似对角化。发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/168061.html原文链接：https://javaforall.cn

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3-2 矩阵的子集

> x 3) > x [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 5 [2,] 2 4 6 > x...[1,2] [1] 3 > x[2,3] [1] 6 > x[1,] #第一行的内容 [1] 1 3 5 > x[,1] #第一列的内容 [1] 1 2 > x[2,c(2,3)] #第二行的第...2和第3个元素 [1] 4 6 > class(x[1,2]) [1] "integer" > x[1,2,drop=FALSE] 　　[,1] [1,] 3 > x[1,2,drop...6 > class(x[1,2]) [1] "integer" > x[1,2,drop=FALSE] 　　[,1] [1,] 3 > x[1,2,drop=TRUE] [1] 3

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使用c语言计算3阶行列式

很多学线性代数的小伙伴在计算3阶行列式的时候总会感到很麻烦，数据量大而且容易看错。...我们在知道计算方法后就可以使用c语言写出计算3阶行列式的代码： #include int main() { while(true) { int i,a[3][3],j,sum1,sum2,sum; for...*a[1][0]+a[2][1]*a[1][2]*a[0][0]+a[0][2]*a[1][1]*a[2][0]; sum=sum1-sum2; printf("%d",sum); } } 在进行计算的时候只需要将输入行列式就可以直接计算出结果...：这样就可以很方便很快捷计算3阶行列式了。...小编给大家推荐一个学习氛围超好的地方，C/C++交流企鹅裙：870963251！适合在校大学生，小白，想转行，想通过这个找工作的加入。裙里有大量学习资料，有大神解答交流问题，每晚都有免费的直播课程

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矩阵行列式、伴随矩阵、逆矩阵计算方法与Python实现

2阶方阵的行列式表示每列向量围成的平行四边形的面积，3阶方阵的行列式表示每列向量围成的平行六面积的体积。在多重积分的换元法中，行列式起到了关键作用。...另外，行列式还可以用来检测是否产生了退化，表示压缩扁平化（把多个点映射到同一个点）的矩阵的行列式为0，行列式为0的矩阵表示的必然是压缩扁平化，这样的矩阵肯定不存在逆矩阵。...把矩阵的某一行（或列）乘以一个标量然后加到另一行（或列）上，矩阵的行列式不变，交换任意两行（或列）后行列式的值变为相反数。...上三角矩阵和下三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，可以使用高斯消元法把任意矩阵转换成上三角矩阵然后计算行列式。...一种计算矩阵行列式的方法为，参考代码：运行结果：在上面的程序中，使用标准库itertools中的函数permutations()生成全排列。

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Python求逆矩阵_3x3下三角矩阵求逆矩阵

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。...1：导入包numpy from numpy import * 2: 定义初始化矩阵 a1 = mat([[3,4],[2,16]]) //这是一个2×2的矩阵 3：求a1的逆矩阵 a2

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线性代数——(3)矩阵

线性变换 1 直线依旧是直线 2 原点必须保持固定矩阵定义Matrix 方阵 image.png 上三角和下三角 image.png 对角矩阵 image.png 矩阵相等 image.png 矩阵的加法...image.png 矩阵加法的运算规律 image.png 数与矩阵相乘 image.png 矩阵与矩阵相乘 image.png 将两列分别于x和y相乘后加和的结果定义为矩阵向量的乘积 image.png...首先应用右侧矩阵所描述的矩阵，然后在应用左侧矩阵所描述的变换 image.png 矩阵乘积不满足交换律 image.png 矩阵乘积的运算规律 image.png 可交换矩阵 image.png...线性方程组的矩阵表示 image.png 方阵的幂 image.png 矩阵多项式矩阵的转置 image.png image.png 对称阵 image.png 单位矩阵 image.png 逆矩阵...image.png image.png image.png image.png image.png 基变换 image.png 逆矩阵的集合表示 image.png 矩阵可逆的判断

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SciPy 稀疏矩阵（3）：DOK

当然，构造实例的方法主要有 3 种： dok_matrix(D)：D 是一个普通矩阵（二维数组）。 dok_matrix(S)：S 是一个稀疏矩阵。...索引操作和切片操作： >>> mtx[1, 1] 0.0 >>> mtx[1, 1:3] '...with 1 stored elements in Dictionary Of Keys format> >>> mtx[1, 1:3].todense() matrix([[0., 1.]]) >>>...mtx[[2, 1], 1:3].todense() matrix([[1., 0.], [0., 1.]])...然而，无论是 COO 格式的稀疏矩阵还是 DOK 格式的稀疏矩阵，进行线性代数的矩阵运算的操作效率都非常低。

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OpenCV - 矩阵操作 Part 3

简介 OpenCV 矩阵类的成员函数可以进行很多基本的矩阵操作，本文基于《学习 OpenCV3 》中第五章的内容整理 Python OpenCV 矩阵操作函数。...内容列表序号函数描述 1 cv2.phase() 计算二维向量的方向 2 cv2.polarToCart() 已知角度和幅度，求出对应的二维向量 3 cv2.pow() 对矩阵内的每个元素求幂 4...计算矩阵逐元素的平方根 17 cv2.subtract() 实现两个矩阵逐元素相减 18 cv2.trace() 计算一个矩阵的迹 19 cv2.transform() 在矩阵的每个元素上应用矩阵变换...该矢量场是由两个独立的单通道矩阵组成。当然这两个输入矩阵的尺寸相同。（如果你有一个二通道的矩阵，那么调用cv2.phase()将会做你所需要的。）...., 1.], [2., 3., 2., 3., 2., 3.]], dtype=float32) 9. cv2.setIdentity() 将矩阵中对角线上的元素设为1，其他置0

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CSS3矩阵变换

function(){ var obox=document.getElementById("div1"); obox.onclick=function(){ //matrix(a,b,c,d,x轴的位移...px,y轴的位移px) //obox.style.webkitTransform="matrix(1,0,0,1,20,20)" // matrix(A:x轴的缩放0-1默认为1, // B:y轴的斜切度数的正切...c=Math.tan(xdeg/180*Math.PI), // C:x轴的斜切度数的正切d=Math.tan(xdeg/180*Math.PI), // D:y轴的缩放默认为1, // E:x轴的位移...px默认为0, // F:y轴的位移px默认为0) //obox.style.webkitTransform="matrix(0.3,0,0,0.3,20,20)" //obox.style.webkitTransform...="matrix(0.3,0.3,0,0.3,20,20)" //如果要利用矩阵进行旋转，则同时改变四个参数， // a:Math.cos(x/180*Math.PI); // b:Math.sin(

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3D 数学（1）-矩阵

然后用矩阵 M 作用于图形的顶点坐标，就能一步完成所有变换与线性代数理论紧密结合理论支持：计算机图形学基于线性代数理论，矩阵是线性代数的核心工具高效算法实现：线性代数为矩阵运算提供了丰富且成熟的算法...，如矩阵求逆、行列式计算等硬件加速支持图形硬件优化：现代GPU对矩阵运算有专门优化提高渲染效率：将空间变换用矩阵表示，利用 GPU 硬件加速，可在短时间内处理大量图形数据，实现复杂场景的实时渲染...向量与矩阵，矩阵与矩阵的乘法不满足交换率 M_S = \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix} M_T = \begin{bmatrix}1&0&...{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\6&6&1\end{bmatrix} \therefore M_{ST} \neq M_{TS} 平移、缩放、旋转（三维空间）平移矩阵 T = \begin...对于n 阶单位矩阵，记为I_n ，其主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素都为1，其余元素均为0。如：图片性质：乘法特性：单位矩阵在矩阵乘法中类似于实数乘法中的数字。

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3 数学运算矩阵操作

这里说一下向量运算，跟MATLAB的操作完全相同，比如向量的点乘,就是说对向量的元素一一操作 [1,2,3].*3 >>3-element Array{Int64,1}: 3 6 9 比较运算，...既然是做科学计算，那肯定是少不了矩阵,先从简单的向量说起首先定义一个简单的矩阵，在REPL中看返回的类型 a = [1,2,3,4] >>4-element Array{Int64,1}: 1...}: 1 2 3 4 c = [1 2 3 4] >>1×4 Array{Int64,2}: 1 2 3 4 再来看矩阵拼接中的空格 , ;的区别 x = ones(2,3) y =...#表示把矩阵内部的Array作拼接 # 矩阵索引，从1开始 x[1] >>1 x[6] >>1 size(x) >>(2,3) length(x) >>6 sum(x) >>6 矩阵运算 a = collect...(a, [10,11,12]) arr = reshape(1:6, 2, 3) circshift(arr, (0,1)) circshift(arr, (1,-2)) 对于矩阵的基本操作中，很多

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python3存储numpy格式的矩阵

函数直接加载刚才保存的数据： In [6]: print (np.load('test_arr.npy')) [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] 类似的可以测试一下多个维度的随机数组： In [...，还可以直接保存python本身的数组格式的数据： In [11]: normal_arr = [1,3,5,7,9] In [12]: np.save('normal_arr', normal_arr...) In [13]: print (np.load('normal_arr.npy')) [1 3 5 7 9] 甚至还可以保存一些非列表格式的数据，比如python中的tuple，但是保存后重新加载的数据格式...[16]: print (np.load('tuple_arr.npy')) [[1 2] [2 3] [3 4]] npz结构的数据存储上面介绍的npy数据结构存储下来是一个二进制的文件，仅用于单个列表数据结构的存储...，这里的npz数据结构可以存储多个列表结构的对象，可以直接参考一个使用案例： In [17]: multi_arr1 = 3 In [18]: multi_arr2 = [1,2,3] In [19

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化三角矩阵计算行列式的算法实现

Introduction 行列式(Determinant) 是矩阵的重要属性。在手动计算行列式时，我们常常使用两种方法：按行/列进行拉普拉斯展开。...利用矩阵在任意行/列加减其他行列的任意倍后行列式不变的性质，化为三角矩阵后，计算主对角线元乘积求解。前者的复杂度是 O(n!)...这样计算行列式的效率显然是极低的。而通过化三角矩阵，我们可以用 O(n^3) 的复杂度完成行列式的求解。对于同样的矩阵，我们只需要进行 1 \times 10^9 的运算。...\tag{3} \text{矩阵中某行或某列全为零时，行列式为零。} \tag{4} 如果你了解高斯消元相关的内容，那再好不过了。...Theory 通过性质 1，我们可以对矩阵进行变换，将其化为三角矩阵，从而通过性质 2 的方法求解行列式。先从一个具体的例子入手。

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