· 短的向量操作数将会被循环使用以达到其他操作数的长度。 · 有且只有短的向量和数组在一起，数组必须有一样的属性dim，否则返回一个错误。 · 向量操作数比矩阵或者数组操作数长时会引起错误。...如果a和b是两个数值数组，它们的外积将是这样的一个数组：维度向量通过连接两个操作数的维度向量得到；数据向量则由a的数据向量元素和b的数据向量元素的所有可能乘积得到。...> x<-c(1,2,3);y<-c(2,3,4) > f <- function(x, y)cos(y)/(1 + x^2) > z <- outer(x, y, f) 两个常规向量的外积是一个双下标的数组...5.数组的广义转置 函数aperm(a, perm) 可以用来重排一个数组a B <- aperm(z,c(2,1)) 等价操作 t(z) 二、矩阵 矩阵是一个双下标的数组。...除了用设定一个向量dim属性的方法来构建数组，它还可直接通过函数array将向量转换得到，outer()可以做外积运算，aperm()可以做数组的广义转置，等价于t()，%%可以做矩阵的相乘，crossprod
哈达马积（Hadamard product） 哈达马积（Hadamard product）指两个矩阵对应位置上的元素进行相乘。...点积（dot product） 点积是指两个矩阵之间的相乘，矩阵相乘的标准方法不是将一个元素的每个元素与另一个元素的每个元素相乘（这是逐个元素的乘积），而是计算行与列之间的乘积之和。...得到的矩阵如下： 在公式推导中，一般习惯把图的度矩阵用符号来表示。 图中的邻接矩阵是一个6行6列的矩阵。矩阵的行和列都代表1～6这6个点，其中第i行j列的元素，代表第i号点和第j号点之间的边。...例如：第1行第2列的元素为1，代表1号点和2号点之间有一条边。 在公式推导中，一般习惯把图的邻接矩阵用符号来表示。 7 TensorFlow中点积操作总结 点积指的是矩阵相乘。...1. tf.multiply函数 tf.multiply函数可以实现两个矩阵对应元素相乘（哈达玛积），并不是真正的点积运算。它要求两个矩阵的维度必须匹配。
MxK 矩阵 A 与 KxN 矩阵 B 相乘得到 MxN 矩阵 C。C 中的每个元素都可以认为是 A 行与对应 B 列的点积。 在点积基元上实现整个矩阵相乘是可能的，但这样的实现过于低效。...在一个点积中，每一个乘-加运算需要上传两个元素，在当前的处理器上，这一实现会受到内存和缓存带宽，而不是乘-加单元计算力的限制。...这些指令加载、存储或者计算小型的固定大小元素向量，而不是单个标量（scalar）。在矩阵相乘中，充分利用向量指令达到高性能很重要。...假设向量相乘（vector multiply）和向量成对相加命令的调度完美，则双发射微内核每个周期可输出 8 个乘加结果，是默认微内核的 2 倍。...在高端 Cortex-A 内核上实际利用双发射能力较为复杂，原因如下：一，在高端 Cortex-A 内核上的双发射能力并不完美，可以维持两个周期内执行三个命令的速度；二，NEON 不支持 8-bit 整数向量的
向量相加 相同维度的两个向量可以进行相加，结果向量的维度与原向量相同且每个维度数值为两个相加向量对应维度数值之和，如下： ? 向量加法满足三角形法则和交换律，如下： ?...向量相减 相同维度的两个向量还可以进行相减，结果向量的维度依然和原向量相同，但是每个维度数值为两个相减向量对应维度数值之差，如下： ?...向量点乘就是相乘向量每个维度数值乘积的和，那么 OA 向量和 OB 向量的点乘（一般使用点符号 · 来标识这种运算）结果如下： ?...另外从几何意义上来说向量点乘等于两个向量的大小与向量夹角的 cos 值的积，那么 OA 向量和 OB 向量的点乘结果又等于： ? 上述两个结果是相等的，证明如下： ?...但是平移变换矩阵为 3 X 3 矩阵，根据矩阵乘以矩阵需要满足前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数这一原则，它们之间是不能相乘的；解决的办法是其它线性变换也引入齐次坐标，最终得到的变换矩阵就可以相乘了。
() 创建随机行向量 horcat C=[A,B]，水平聚合矩阵，还可以用cat(1,A,B) vercat C=[A;B]，垂直聚合矩阵...（3）QR（正交）分解是将一矩阵表示为一正交矩阵和一上三角矩阵之积，A＝Q×R[Q,R]=chol(A), X=Q\(U\b) （4）cholesky分解类似。...求多项式的根（返回所有根组成的向量） 注：用ploy（A）求出矩阵的特征多项式，然后再求其根，即为矩阵的特征值。...五、图像绘制： 1、基本绘图函数 plot 绘制二维线性图形和两个坐标轴 plot3 绘制三维线性图形和两个坐标轴 fplot 在制定区间绘制某函数的图像...操作系统命令提示符 .^ 向量乘方 矩阵转置 kron 矩阵kron积 .
标量和矩阵相加或者相乘时，只需将其与矩阵的每个元素相加或者相乘。...乘法运算 矩阵乘法是矩阵运算中总最重要的操作之一，当矩阵A与矩阵B相乘得到C时，矩阵乘法需要满足矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，若矩阵A为m*n，则矩阵B的形状需要是n*p，则C的形状为m*p ?...两个元素标准乘积不是指两个矩阵中对应元素的乘积，当两个相同位数的向量x和y相乘可看作点积。...矩阵乘积分配律： A(B+C)=AB+AC 矩阵乘积结合律： A(BC)=(AB)C 标量乘积符合交换律，但矩阵乘积不满足，当两个向量相乘时满足交换律。...---- 迹运算 迹运算返回的是矩阵对角元素的和，若不使用求和符号，有些矩阵运算很难描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号，可以清楚地表示。 ?
索引向量元素，定义包含元素索引集合，集合写在脚标处。用符号-表示集合补集索引。 矩阵(matrix)。一个二维数组。每个元素由两个索引确定。粗体大写变量名称。...C=A+B，Ci,j=Ai,j+Bi,j。标量和矩阵相乘或相加，与矩阵每个元素相乘或相加，D=aB+C，Di,j=aBi,j+c。...隐式复制向量b到很多位置方式，称广播(broadcasting)。 矩阵、向量相乘。 两个矩阵A、B矩阵乘积(matrix product)是第三个矩阵C。矩阵A列数必须和矩阵B行数相等。...如果矩阵A的形状mn，矩阵B的形状是np，矩阵C的形状是mp。两个或多个矩阵并列放置书写矩阵乘法。C=AB。Ci,j=Sumk(Ai,kBk,j)。列乘行。...两个相同维数向量x、y点积(dot product)，矩阵乘积x⫟y。矩阵乘积C=AB计算Ci,j步骤看作A第i行和B的第j列间点积。
下边的写法意思相同 ? 对于非常数的标量我们可以省略符号 ? 2. 向量乘法: 表示向量和标量之间相乘，或两向量的逐元素相乘，我们不用点·或叉×符号，一般使用空心点来表示 ?...有时作者可能会显式定义一个不同的符号，例如圆中点⊙或实心圈● 3. 点乘： 点符号·可用来表示两向量之间的点乘。由于其值是一个标量，通常被叫做标量积（scalar product）。 4....叉乘： 叉乘符号×可以用来表示两向量的叉乘，由于其值是一个向量，又叫做向量积。 5. 西格玛（sigma） 大写希腊字母Σ(Sigma) 用来表示总和， 换句话说就是对一些数字求和。 ?...行列式 对于一个矩阵，对于一个矩阵A，|A|表示矩阵A的行列式，也可以表示它的1范数，这两个值不相同，需要根据上下文考虑。 8. 帽子 在几何里，字母上的 “帽子” 符号用来表示一个单位向量。...向上取整是天花板(ceiling)那两个小横线在上面，得到的是大的值。 13. 箭头 ⇒和→优势被用作表示蕴涵（material implication）逻辑。
向量乘法 向量的乘法有两种类型：一种是点积，另一种是 Hadamard 积。 点积 两个向量的点积结果是一个标量。向量和矩阵（矩阵乘法）的点积在深度学习中是最重要的运算之一。...Hadamard 积 Hadamard 积是元素之间的乘积，并得出一个向量。从下图可以看出来 Hadamard 积就是将向量对应元素相乘积。 ?...规则 并不是所有矩阵都能进行矩阵乘法运算的，如果两个矩阵能相乘，那么它需要满足以下条件： 1....在下图中，A 矩阵左乘 B 矩阵得到 C 矩阵。A 矩阵行向量与 B 矩阵列向量点积就等于 C 矩阵的元素，具体可以通过下图 C 矩阵内部元素的构成来了解。 ?...因为不可能预期在改变向量的部分后还能得到相同的结果，而且第一个矩阵的列数必须要和第二个矩阵的行数相同，也可以看出为什么矩阵相乘的顺序会影响其结果。
（3）QR（正交）分解是将一矩阵表示为一正交矩阵和一上三角矩阵之积，A＝Q×R[Q,R]=chol(A), X=Q/(U/b) （4）cholesky分解类似。...操作系统命令提示符 .^ 向量乘方 矩阵转置 kron 矩阵kron积 ....dlinmod 离散系统的线性化模型 dmperm 矩阵Dulmage-Mendelsohn 分解 dos 执行DOS 指令并返回结果 double 把其他类型对象转换为双精度数值 drawnow...极或柱坐标变为直角坐标 polar 极坐标图 poly 矩阵的特征多项式、根集对应的多项式 poly2str 以习惯方式显示多项式 poly2sym 双精度多项式系数转变为向量符号多项式 polyder...多分支结构 sym2poly 符号多项式转变为双精度多项式系数向量 symmmd 对称最小度排序 symrcm 反向Cuthill-McKee排序 syms 创建多个符号对象 T t tan
参考链接： C++程序使用多维数组将两个矩阵相乘 知乎专栏：[代码家园工作室分享]收藏可了解更多的编程案例及实战经验。...NumPy提供了array与matrix两个类用于矩阵运算。array类可以用来处理各种n维数组的数学运算，而matrix类则是专用来进行二位矩阵运算的。这两种类只有以下几个微小的差异。...array √实现元素智能相乘更容易：A*B x执行矩阵点积运算需要使用@：A@B √对于一维array数组，在执行矩阵点积运算时，一维数组会视需要自动调整成所需的1xN或Nx1的矩阵，非常方便...√array是NumPy的默认类，在程序编写中得到了最多的测试，使用第三方代码时输入输出也多为此类。 ...x进行智能元素相乘时相对复杂，需要写成multiply(A,B)代码. x进行智能元素计算时逻辑有点混乱，”/”执行智能元素计算，而星号执行向量点积。
与vector_b相乘，结果为20 np.dot(vector_a,vector_b.T) ''' 将一个行向量与一个列向量叉乘的结果相当于将两个行向量求点积，在这里我们测试了dot()方法。...其中array类型的T()方法表示转置。 测试结果表明： dot()方法对于两个向量默认求其点积。对于符合叉乘格式的矩阵，自动进行叉乘。...(matrix_a) # 求矩阵的秩，结果为2 vector_a * vector_b # 使用*符号将两个向量相乘，是将两个向量中的元素分别相乘，也就是前面我们所讲到的哈达马乘积，结果为array(...1) PCA算法中得到样本的协方差矩阵是经过零均值化处理的，将其去掉常数部分，则也可表示为： C = XTX 其中，X是经过中心化处理后的样本矩阵X....观察到协方差矩阵C便是一个对称矩阵，那么将其进行奇异值分解后则可以表示为： C = V∑VT 2) 将经过中心化的样本矩阵X进行奇异值分解，可以得到： X = U∑VT 因此，我们可以得到： XTX
叉积的几何意义： 对两个矢量进行叉积的结果，会得到同时垂直于这两个矢量的新矢量。...，两个矢量的叉积，会得到垂直于两个矢量的新矢量，但是与其垂直的有两个向量。...一个rxn的矩阵A和一个nxc的矩阵B相乘后，得到的结果AB是一个rxc大小的矩阵。需要注意，第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相等，才能相乘。...矩阵乘法的表达式： 假设有rxn的矩阵A和nxc的矩阵B，相乘后得到一个rxc的矩阵C = AB，那么C中的每个元素Cij等于A的第i行所对应的矢量和B的第j列所对应的矢量进行点乘的结果，即： 简单解释为...因为： 所以： 于是可以得到以下结论： 矩阵的每一行，即c1、c2、c3是单位矢量；（因为他们与自己的点积是1） 矩阵的每一行，即c1、c2、c3之间相互垂直；（因为他们的点积是0） 上述两条，对矩阵的每一列同样适用
0;叉乘叉乘和点乘有两点不同,首先向量叉乘运算的结果不是标量，而是一个向量；其次，两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直，以二维空间为例，向量 a 和 b 的叉积，就相当于向量 a（蓝色带箭头线段...3D点 McGePoint3d这是最常使用的一个类[McGePoint3d]代表3D空间中的一个点的构造类，由`x`、`y`、`z` 三个双精度数值组成的结构, 当然 McGePoint3d 本质上也是一个向量...我们通过向量运算的方式, 得到如何旋转和缩放的方式，只是旋转和缩放, 我们选择用矩阵的形式表示，通过矩阵与向量相乘形式的变换就叫做线性变换。...矩阵的乘法矩阵的乘法其实对应的就是上面讲述的线性变换可以叠加的这一特性，我们希望通过一个一个的矩阵组合形成一个复杂的仿射变换, 本质是通过矩阵一个一个的相乘得到的最终的矩阵，组合形成的复杂的仿射变换，其中两个...来左乘矩阵A，如下图:因此矩阵B左乘矩阵A得到的新矩阵的每一行都是矩阵A的行向量的线性组合，同理,矩阵B右乘矩阵A得到的新矩阵的每一列都是矩阵A的列向量的线性组合下面列举一些McGeMatrix3d提供的方法
我将按照以下顺序讨论每个矩阵操作。 内积 点积 转置 迹 秩 行列式 逆 伪逆 扁平化 特征值和特征向量 内积 Inner product 内积接收两个大小相等的向量，并返回一个数字(标量)。...这是通过将每个向量中相应的元素相乘并将所有这些乘积相加来计算的。在numpy中，向量被定义为一维numpy数组。 为了得到内积，我们可以使用np.inner()。...点积 Dot product 点积是为矩阵定义的。它是两个矩阵中相应元素的乘积的和。为了得到点积，第一个矩阵的列数应该等于第二个矩阵的行数。 有两种方法可以在numpy中创建矩阵。...当使用*操作符将两个ndarray对象相乘时，结果是逐元素相乘。另一方面，当使用*操作符将两个矩阵对象相乘时，结果是点(矩阵)乘积，相当于前面的np.dot()。...如果你试图计算一个奇异矩阵(行列式为0的方阵)的真逆，你会得到一个错误。
乘法规则是，第一个矩阵第m行的元素与对应的第二个矩阵第n列的元素相乘，他们的结果再相加，得到了相乘后矩阵的第m行第n列元素(因此相乘的结果是一个m行n列的矩阵)。...从规则很快可以看出来，两个矩阵的位置是不能交换的，因此矩阵乘法不满足交换律；再结合矩阵加法的规则，模拟一下过程，可以看出来矩阵乘法满足分配律和结合律。矩阵乘法的规则可以从线性方程组的角度解释推导。...内积与外积 向量的乘法产生内积与外积，其中外积是一个矩阵，内积是一个实数。 外积 m*1的列向量与1*n的行向量相乘，最终得到m*n矩阵，而这个矩阵上i行j列的值等于列向量第i行乘以行向量第j列。...内积 也叫点积，或者数量积，如果m=n，可以得到内积，高中数学就已经做过这样的计算。...例如(a,b)*(c,d)=ac+bd element-wise multiplication & matrix multiplication 前者相乘的规则是：对应位置上的元素分别相乘，因此两个矩阵大小应一致
第三个部分为操作的对象名及数据类型，_ps表示操作向量中所有的单精度数据。_pd表示操作向量中所有的双精度数据。_pixx表示操作向量中所有的xx位的有符号整型数据，向量寄存器长度为64位。...16位数相乘得到32位数 _mm256_div_ps/pd 对两个float类型的向量进行相除 ?...（res[0]=a[0]*b[0]-c[0]) (2)_mm_fnmadd_ps/pd (2)_mm256_fnmadd_ps/pd 将两个向量相乘，并将负积加到第三个。...c) (2)_mm_fnmadd_ss/sd 将两个向量的低位相乘，并将负积加到第三个向量的低位。...(res[0] = -(a[0] * b[0]) + c[0]) (2)_mm_fnmsub_ss/sd 将最低的元素相乘，并从求反的积中减去第三个向量的最低元素。
4、矩阵乘法与线性变换复合 两个2*2矩阵a和b相乘，可以看作是对原始空间连续做了两次线性变换，而得到的计算结果c也是一个2*2的矩阵。...使用c对原始空间进行一次线性变换，和连续使用a和b对原始空间进行两次线性变换的效果相同。 ? 矩阵的计算就不细讲了，我们只需要知道，矩阵相乘的几何意义是将两次单独的变换变为一次组合变换即可。 ?...7、点积 点积的标准观点 如果我们有两个维数相同的向量，他们的点积就是对应位置的数相乘，然后再相加： ?...当两个向量的夹角小于90度时，点积后结果为正，如果两个向量垂直，点积结果为0，如果两个向量夹角大于90度，点积结果为负。 一个有趣的发现是，你把w投影到v上面，或者把v投影到w上面，结果是相同的。...接下来看看叉积的具体计算，求行列式得到的是叉积后向量的长度，叉积得到的向量的坐标是下图中的三个“某些数”。 ? 接下来，深入理解叉积的含义，我们通过线性变换的眼光来看叉积。
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