* * Class template of Cholesky decomposition. * * For a symmetric, positive definite matrix A, this...function computes the * Cholesky factorization, i.e. it computes a lower triangular matrix L such * that...#define CHOLESKY_H #include namespace splab { template class Cholesky { public: Cholesky(); ~Cholesky...#include } // namespace splab #endif // CHOLESKY_H 实现文件： /* * Copyright (c) 2008-2011 Zhang Ming (M...::Cholesky() : spd(true) { } template Cholesky::~Cholesky() { } /** * return true, if original matrix
本文介绍正定矩阵和半正定矩阵。...此时，若A为对称方阵，则称A为对称半正定矩阵。 可以看到半正定矩阵包含了正定矩阵，仅多出了等于零的一种情况，类似于正数和非负数的关系。...性质 以正定矩阵为例，半正定矩阵仅多了等于零的情况。...{X}，对其进行SVD分解： {\Sigma_X} = U \Sigma {V ^ T } 由于 \Sigma_{X} 是对称矩阵，可以得到： U=V 而且U是正交矩阵，有： image.png 令...，是半正定矩阵。
乍看正定和半正定会被吓得虎躯一震，因为名字取得不知所以，所以老是很排斥去理解这个东西是干嘛用的，下面根据自己和结合别人的观点解释一下什么是正定矩阵(positive definite, PD) 和半正定矩阵...>0 恒成立，则矩阵 A 是一个正定矩阵。...半正定矩阵(PSD) 给定一个大小为 n\times n 的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 X ，有 X^TAX≥0 恒成立，则矩阵 A 是一个半正定矩阵。...仔细看一下上面的定义可以看到两种矩阵的唯一区别就是正定要求是大于0，而半正定要求大于等于0。这个是不是很像二次函数 y=ax^2 ： 当 a>0 时, y>0 ； 当 a≥0 时， y≥0 。...其实我们可以把 y=X^TAX 看作是 y=ax^2 的多维扩展表达式，我们所说的正定矩阵就是希望矩阵 A 能够起到 a>0 的效果，半正定就是希望有一个矩阵 A 能够起到像 a≥0 的效果。
Q是正定的 半正定矩阵 设 A A是实对称矩阵。...如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有x^TAx≥0，就称A为半正定矩阵。 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。...性质: 半正定矩阵的行列式是非负的； 两个半正定矩阵的和是半正定的； 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。...等价条件: A A是半正定的； AA的所有主子式均为非负的； A A的特征值均为非负的； 存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C； 存在秩为r的r×n实矩阵 B B，使A=B'BA=B′...正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。
Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线性代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积（那实数界来类比的话，此分解就好像求平方根）。...与一般的矩阵分解求解方程的方法比较，Cholesky分解效率很高。Cholesky是生于19世纪末的法国数学家，曾就读于巴黎综合理工学院。Cholesky分解是他在学术界最重要的贡献。...后来，Cholesky参加了法国军队，不久在一战初始阵亡。一、Cholesky分解的条件1、Hermitianmatrix：矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。...正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)二、Cholesky分解的形式可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。...反过来也对，即存在L把A分解的话，A满足以上两个条件。如果A是半正定的（semi-definite），也可以分解，不过这时候L就不唯一了。特别的，如果A是实数对称矩阵，那么L的元素肯定也是实数。
正定矩阵 1.1 定义 在实数域下，一个 的实对称矩阵 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 都有 。...存在唯一的下三角矩阵 ，其主对角线上的元素全是正的，使得： 。其中， 是 的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。...半正定矩阵 在实数域下，一个 的实对称矩阵 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 都有 在复数域下，一个 的埃尔米特矩阵 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量...存在下三角矩阵 ，其主对角线上的元素全是非负的，使得： 。其中， 是 的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。...（分解不一定是唯一的） 对于实称阵，只需将上述性质中的 改成 ，将「共轭转置」改为「转置」即可。 【注】负定矩阵和半负定矩阵的定义和性质类似正定矩阵和半正定矩阵。
接着LU分解继续往下，就会发展出很多相关但是并不完全一样的矩阵分解，最后对于对称正定矩阵，我们则可以给出非常有用的cholesky分解。这些分解的来源就在于矩阵本身存在的特殊的 结构。...对于矩阵A，如果没有任何的特殊结构，那么可以给出A=L*U分解，其中L是下三角矩阵且对角线全部为1，U是上三角矩阵但是对角线的值任意，将U正规化成对角线为1的矩阵，产生分解A = L*D*U， D为对角矩阵...如果A为对称矩阵，那么会产生A=L*D*L分解。如果A为正定对称矩阵，那么就会产生A=G*G，可以这么理解G=L*sqrt(D)。...分解对应的代码如下： function[G] =zgaxpychol(A) %cholesky decomposition for symmetric positive definite matrix...Cholesky分解的核心在于矩阵对称正定的结构，基于LU分解的再次扩展。 版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。
当 P 给定空集合出现的概率时，存在一个由集合 Z 的元素构成的半正定矩阵 ? ，对于每一个集合 Z 的子集 Y，使得子集 Y 出现的概率 ?...由于矩阵 L 是半正定的，因此存在矩阵 B ，使得 ? ，并且 ? 。这是因为行列式为方阵中的各个列向量张成的平行多面体体积的平方。...下面，叙述论文中所做的改进： 首先对子矩阵 ? 做Cholesky分解，使得 ? 。其中，V 是一个下三角矩阵。对于任意 ?...，对子集 Y 添加一个元素 i 之后的子矩阵做 Cholesky 分解，使得： ? 其中，有以下等式成立： ? 。两边取行列式后再取log，可得： ?...，应用Cholesky分解后，每次迭代只需要计算 ? 即可。而为了得到 ? ，先需要求解线性方程组： ? 。 求解得到 ? 后，再带入 ? 得到 ? 。
比方说在这里，如果我们设 是一个对称半正定矩阵，那么我们认为它就是一个凸的二次规划问题，如果 是一个对称正定矩阵，那么它就是一个严格凸的二次规划问题。...分解法 分解法的关键是通过已有的数值方法尽可能的减少时间复杂度。在这里注意到 是对称半正定阵，所以可以考虑Cholesky分解，也就是说可以设 它的复杂度是 ，这是因为 。...这里还有一个细节是，对于矩阵 ，它本身是一个对称半正定阵，所以是可以使用Cholesky分解的，这样的话就不会用上QR分解，复杂度会稍微低一些。但是这里有一个麻烦是数值误差。...简单来说，在矩阵条件数很高的时候，也就是矩阵病态的时候，Cholesky分解是容易崩溃的，这会给算法带来不稳定性。...而对于Cholesky分解来说，这个复杂度为 （之前已经计算过），所以如果 ，那么CG其实反而会慢一些。不过往往问题中的矩阵 的性质都比较好，所以迭代的时候往往CG这样的算法就会快一些。
MF和正则化MF 参考python-matrix-factorization/ 正则化MF就是在MF的损失函数上加了个正则化项，以便惩罚(在分解矩阵中施加过大的参数)的情况。...PMF 极大似然估计与最大后验概率估计 PMF:概率矩阵分解 pmf_tutorial.pdf MLE MAP 可参考最大似然估计 最大后验估计
事实上，我们有如下的这个性质 Proposition 1: 是信赖域子问题 的解当且仅当存在 ，使得 ，且 ，并且 为对称半正定的矩阵。...你可以通过KKT条件得到前两个结论，然后通过反证法得到 为一个对称半正定矩阵。当然了其实你可以通过对信赖域框架的理解，也即 是一个下降方向，来得到这个结论。...事实上对于矩阵分解而言，想要知道它的特征值，最好的方式就是Cholesky分解。具体来说，就是考虑下面的这个分解 简写为 。这个分解中的 就是特征值。...所以如果说这个矩阵不是对称正定的，自然 就需要做修改。在提修改的思路之前，我们先把Cholesky分解的算法实现放在下面。 ? 我们做如下的调整。 这里的 均提前给定。...有一点美中不足的地方在于它是对称半正定的，但是没有关系，因为对于一个 的矩阵，如果它不满秩，那么一定可以通过谱分解，找到它的非零的特征向量。这些非零的特征向量可以组合成一组像空间的基。
优化 分析发现在Mosek方法涉及到的二阶导矩阵M是一个对称、正定、稀疏的方阵，可以采用共轭梯度法（Conjugate Gradient），通过直接求解线性方程组M△=-res得到△的值，共轭梯度法相较直接求解法...Incomplete Cholesky Conjugate Gradient （ICCG） 在Mosek方法论文中采用Choleksy方法分解系数矩阵求解线性方程组。...构建Incomplete Cholesky的主要工作如下： a. Incomplete Cholesky方法在分解过程中保留系数矩阵的稀疏性，忽略Cholesky分解过程中产生的填充元。...为了使Cholesky和Incomplete Cholesky的分解结果尽可能接近，使用Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm对系数矩阵进行重排； b...Preconditioner求解过程比Incomplete Cholesky分解过程更容易，最终策略：在Mosek迭代初期系数矩阵条件数较低的前提下，先采用DPCG求解，待求解过程中迭代次数超过一定阈值时
}，满足 A = BC \mathbb{C}_r表示矩阵的秩为r 实际上上述定理用文字描述就是，一个亏秩的矩阵可以分解成一个列满秩与行满秩矩阵的乘积 证明：因为rank(A)=r，所以一定可以找到与A相似的一个矩阵...C=\begin{bmatrix}E_r&0\end{bmatrix}Q^{-1} 矩阵满秩分解的计算 如何在给定矩阵A的情况下，求出矩阵B,C呢？...LU分解 LU分解（LU Decomposition）是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，以四阶矩阵为例 L = \begin{bmatrix}1&0&0&0...SVD分解 SVD分解定理：设A\in \mathbb{C}_r^{m\times n}，则 对rank(A)=r的矩阵A，矩阵A^HA的非零特征值有\lambda_1 \geqslant \lambda...,u_{n}通过方程u_i^T x = 0求得（u_i必须是标准正交的） 于是得到A=U \Sigma V^H 实际上A^HA是一个半正定矩阵，其特征值一定非负 ---- 例4 已知A = \begin
正文 通常来说，模型矩阵（R）的一种比较好的级联方式为：先缩放(S)，再旋转(R)，最后平移(T)： \textbf{R} = \textbf{T} * \textbf{R} * \textbf{S}...此时四维模型矩阵的左上角3X3矩阵就是旋转矩阵，第四列就是平移量。但是加上缩放变换，就变成一个复杂的问题了。...PrintVec4(const glm::vec4& v) { printf("%lf\t%lf\t%lf\t%lf\n", v.x, v.y, v.z, v.w); } int main() { //平移矩阵...euler.y); euler.x = glm::degrees(euler.x); euler.z = glm::degrees(euler.z); PrintVec3(euler); } 可以看出分解出来的缩放...除了缩放、旋转和平移，GLM提供的模型矩阵分解的函数接口glm::decompose()还提供一个skew参数和perspective参数，暂时没弄明白其具体含义，留待以后研究。 2.
例如，最小二乘法所产生的病态矩阵问题主要是由于矩阵求逆所造成的，我们使用QR分解方法来解决。...QR分解 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。...而QR分解是工程应用中最为广泛的一类矩阵分解。 QR分解也称为正交三角分解，矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。...QR分解定理：任意一个满秩矩阵A，都可以唯一的分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为正对角元上的三角矩阵。...推广到多维投影矩阵使用如下公式表示： Gram-Schmidt正交化和A的QR分解： 假设有三个不相关的向量a,b,c,如果能够构造出正交的三个向量A,B,C,那么再除以它们的长度就得到了标准正交向量
若质量矩阵M是正定矩阵，那么可以对其进行Cholesky分解，即 M=LLT 代入Kx = λMx得到 ?...首先，利用Cholesky分解将M分解，得到 ? 由LB=K ，解这个矩阵方程得到 ? 由LA=BT ，解这个矩阵方程得到 ? 即可将广义特征值问题化为标准形式Ay=λy。
由此引出矩阵的LU分解，又称Doolittle分解 ?...注意到正定对称矩阵的三角分解也是特殊的，这里引入Cholesky分解 首先利用Doolittle分解，得 ? ,对U进一步提取对角矩阵 ? ,从而有 ? 故， ? ，由于A对称正定， ?...此种分解手段称为Cholesky分解，限定对角元素为正，此类分解唯一 上述的Cholesky分解中涉及了开方的运算，下面介绍一种改进的平方根法 易知， ? ,则 ? 先解 ? ,后解 ?...向量中的元素的绝对值的p次方加起来然后开p次方根（利用赫尔德不等式即可证明三角不等式） 在最优化理论中可能会涉及加权范数，A为对称正定矩阵， ? 是一种向量范数，记为 ?...称两个范数等价 不难验证，此处的等价性满足数学定义中的等价性的三个条件，即自反，对称，传递 关于矩阵范数 矩阵范数不仅仅满足非负正定，齐次和三角不等式，而且须满足矩阵相乘的相容性，即 ?
矩阵分解模型做如下假设: 1.每个用户可描述为n个属性或特征。比如，第一个特征可以对应某个用户对动作片的喜好程度。 2.每个物品可描述为n个属性或特征。...1.显式矩阵分解 当要处理的数据是由用户所提供的自身的偏好数据时，这些数据被称作显式偏好数据。这类数据包括如物品评级、赞、喜欢等用户对物品的评价。 这些数据大都可以转换用户为行、物品为列的二维矩阵。...矩阵的每一个数据表示为某个用户对特定物品的偏好。大部分情况下用户只会和少数物品接触，所以该矩阵只有少部分数据非零，即该矩阵很稀疏。 对这个矩阵分解，找到他的两个低阶矩阵。...因子分解类模型的的利弊: 利:求解容易，表现出色 弊：不好解释，吃资源(因子向量多，训练阶段计算量大) 2.隐式矩阵分解 隐式矩阵就是针对隐式反馈数据。...从根本上说，矩阵分解从评级情况，将用户和物品表示为因子向量。若用户和物品因子之间高度重合，则可表示这是一个好推荐。
对称正定矩阵 可以分解为 ，这种分解被称为Cholesky分解，是LU分解的一个重要特例，可以显著降低计算量。在计算机程序中常常用到这种方法解线性代数方程组。...它的优点是节省存储量，得到的L矩阵可以覆盖原来的A矩阵。 对于方程组 ，可以写成 ，令 ，则 。...考察一个3X3矩阵: 则 ， 分解的算法： import numpy as np import math class LinerSolver: def __init__(...，一旦A被分解，我们就可以对任意多个常量向量b求解Ax=b。...每个附加解决方案的成本相对较小，因为前向和后向替换操作比分解过程花费的时间少得多.
当给定空集合出现的概率时，存在一个由集合的元素构成的半正定矩阵 ，对于每一个集合 Z 的子集 Y ，使得子集 Y 出现的概率 ，其中，LY 表示由行和列的下标属于 Y 构成的矩阵 L 的子矩阵。...可以看看下面的例子： 由于矩阵 L 是半正定的，因此存在矩阵 B ，使得 ，并且 这是因为行列式为方阵中的各个列向量张成的平行多面体体积的平方。...下面，叙述论文中所做的改进： 首先对子矩阵 做Cholesky分解，使得： 其中，V 是一个下三角矩阵。...对于任意 ，对子集 Y 添加一个元素 i 之后的子矩阵做 Cholesky 分解，使得： 其中，有以下等式成立 两边取行列式后再取 log ，可得： 应用 Cholesky 分解后，每次迭代只需要计算...五、总结 基于行列式点过程的推荐多样性提升算法使用贪婪算法推理最优的行列式点过程，并利用 Cholesky 加速行列式点过程的推理。
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