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硬币与计算机中的“数据”

在数学的角度，我们把二进制数字两个符号（"0" 和 "1"）的意义赋予到机器层面这两个状态上，这时候基于 0 与 1 的二进制算术的规律也一起赋予到了这上面。... 0 反正反 2 正正正 7 假设我们需要在八进制意义体系下表示十进制的 10，也就是八进制下的符号 12，1 和 2 两个符号的”硬币表示法“分别是：反反正、反正反。...英文有26个字母，区分大小写，则有 52 个字符，加上 0-9 10个阿拉伯数字，有 62 个字符，也就是说，我们需要 62 种状态去赋予各个符号的意义。...为了方便表示，我们给硬币正反面各自赋予一个符号，用数字 1 和 0，也是数学里的二进制数：正面：1 反面：0 然后字母、数字和一部分字符和二进制位（硬币）的对应关系如下。 ?...参考资料信息 - 维基百科 ASCII - 维基百科字节 - 维基百科千字节 - 维基百科信息论入门教程 - 阮一峰的网络日志《论只使用符号0和1的二进制算术》 - 莱布尼兹 Difference

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概率论之概念解析：引言篇

▌定义和符号 ---- ---- 概率通常与至少一个事件有关。这个事件可以是任何事情。一个小例子比如掷骰子或从袋子里抽出一个彩色的球。...通常情况下，随机变量用大写字母表示，这里我们用X来表示它。因此，我们想知道X = 3的概率是多少。但是由于数学家在写东西时很懒惰，问“概率是多少？”他们是用字母P表示的。...” ▌三种类型的概率 ---- ---- 上面介绍了随机变量的概念和概率的一些符号。但是，概率可能会相当复杂。也许首先要了解的是有多少种不同类型的概率。它可以是边缘，联合或有条件的。...假设我们有两个事件：事件A - 抛一枚均匀的硬币，事件B - 掷一个均匀的骰子。我们可能想知道的是掷出6和硬币落地正面朝上的可能性。...这时，P（硬币正面朝上或掷出6）= P（A = 正面 ∪ B = 6）= 1/2 + 1/6 - 1/12 = 6/12 + 2/12 - 1/12 = 7/12 请注意，∪符号被称为“联合”，并在“或

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博客 | 什么是熵？

（表面上这个英文字母H是从希腊大写字母Eta上演变过来的，但实际上为什么采用了字母H来表示，还是有一段复杂的历史的，感兴趣的可以看这个问题：Why use H for entropy?)...对于独立事件，不确定性是可加的让我们使用抛两个硬币的试验作为例子来使这个概念更加具体。我们既可以两个硬币同时抛，也可以先抛一个硬币再抛另一个硬币。在两种情况下，不确定性是相同的。...考虑两个特殊的硬币，第一个硬币正面朝上 (H, Head) 的概率为80%，背面朝上 (T, Tail) 的概率为 20%。另一个硬币的正面朝上和反面朝上的概率分别为 60% 和 40%。...概率乘概率的对数不会改变符号。因此求和之后应该是负的，最终负负得正。所以对于所有的输入，熵都是非负的。...性质7：有确定结果的事件具有0不确定性假设你拥有一个魔法硬币，无论你怎么抛，硬币总是正面朝上。 ? 你会怎么量化这个魔法硬币的不确定性，或者其他情况下有确定结果的事件的不确定性？

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干货 | 什么是熵？

（表面上这个英文字母H是从希腊大写字母Eta上演变过来的，但实际上为什么采用了字母H来表示，还是有一段复杂的历史的，感兴趣的可以看这个问题：Why use H for entropy?...对于独立事件，不确定性是可加的让我们使用抛两个硬币的试验作为例子来使这个概念更加具体。我们既可以两个硬币同时抛，也可以先抛一个硬币再抛另一个硬币。在两种情况下，不确定性是相同的。...考虑两个特殊的硬币，第一个硬币正面朝上 (H, Head) 的概率为80%，背面朝上 (T, Tail) 的概率为 20%。另一个硬币的正面朝上和反面朝上的概率分别为 60% 和 40%。...概率乘概率的对数不会改变符号。因此求和之后应该是负的，最终负负得正。所以对于所有的输入，熵都是非负的。...性质7：有确定结果的事件具有0不确定性假设你拥有一个魔法硬币，无论你怎么抛，硬币总是正面朝上。你会怎么量化这个魔法硬币的不确定性，或者其他情况下有确定结果的事件的不确定性？

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EM算法

(三硬币模型) 假设有3枚硬币,分别记作A,B,C。这些硬币正面出现的概率分别为π，p和q。投币实验如下，先投A，如果A是正面，即A=1，那么选择投B；A=0，投C。...最后，如果B或者C是正面，那么y=1；是反面，那么y=0；独立重复n次试验（n=10)，观测结果如下： 1,1,0,1,0,0,1,0,1,1假设只能观测到投掷硬币的结果，不能观测投掷硬币的过程。...然后，我们会发现因为（3）中右边多项式+符号的存在，使得（3）直接求偏导等于0或者用梯度下降法都很难求得θ值。...这部分的难点是因为（3）多项式中+符号的存在，而这是因为这个三硬币模型中，我们无法得知最后得结果是硬币B还是硬币C抛出的这个隐藏参数。...到这里，可以发现公式（6）中右边多项式已经不含有“+”符号了，如果知道Q(z)的所有值，那么可以容易地进行最大似然估计计算，但是Q的计算需要知道θ的值。

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硬币找零问题

硬币找零问题是一种经典的背包问题。顾名思义，就是你去商店买完东西，售货员会给你用若干枚硬币找钱，如何使用这些硬币完成找零。...问题一：组成当前值所需最少的硬币数目给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。...定义dp[i] [j] 为当前可以使用下标为0~i - 1的硬币，组成金额 j 的最小硬币数目。...问题二：凑成当前值的组合的数目给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。...<= 5000 硬币种类不超过 500 种结果符合 32 位符号整数来源：力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

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1个掷硬币问题，4个Python解法

Python sympy(数学符号) （微积分公式推导和实现） ? Python Pandas(分组计算) （程序员看得懂） ?...题目：三个硬币： 1角，2角，5角。同时掷硬币，正面朝上的将面值加在一起求和。只有两个硬币正面朝上的期望和是多少？...ξ 为正面朝上的硬币面值之和 η := X10X20(1 −X50) + (1 − X10)X20X50 + X10(1 − X20)X50 注： η 为只有两个硬币正面朝上的情况...解法1　：Sympy数学符号方法上述推导公式，直接可以用数学符号语言，在Sympy中计算。计算结果精准alpha = １６０／３ E(ξ |η) = (160/3)*η ?...53.3542987559 解法４：用笛卡尔笛卡尔乘积，过滤只有两个硬币朝上事件，计算期望 ?

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机器学习必备 | 最大似然估计：从统计角度理解机器学习

概率和似然一般地，硬币有正反两面，如果硬币正反两面是均匀的，即每次抛掷后硬币为正的概率是0.5。使用这个硬币，很可能抛10次，有5次是正面。...现在有一人抛了10次硬币，得到6正4反的结果，如何估算下次硬币为正的概率呢？因为硬币并不是我们制作的，我们不了解硬币是否是完全均匀的，只能根据现在的观察结果来反推硬币的情况。...假设硬币上有个参数θ，它决定了硬币的正反均匀程度，θ = 0.5表示正反均匀，每次抛硬币为正的概率为0.5，θ = 1表示硬币只有正面，每次抛硬币为正的概率为1。...第2行中的Pr(x; μ, σ)的;分号强调μ和σ是这个概率密度函数的参数，它和条件概率函数中使用的|竖线符号表示的意义不同。 ? 公式 3 将ε代入，并取均值μ为0，可得到公式3第3行。...L中的乘积符号和exp运算看起来就非常复杂，直接用L来计算十分不太方便，于是统计学家在原来的似然函数基础上，取了log对数。

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LeetCode 518. 零钱兑换 II（动态规划）

题目给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。...有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1 示例 2: 输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额...示例 3: 输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1 注意: 你可以假设： 0 <= amount (总金额) <= 5000 1 硬币面额) <=...5000 硬币种类不超过 500 种结果符合 32 位符号整数来源：力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2

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数字在计算机中的“硬币表示”

上篇博文引出了“硬币模型”，从“抛硬币”的角度描述了计算机数据的最本质属性。同时也介绍了为若干硬币赋予现实意义、实现更多数据展示的基本思路。...这时候的你需要逐渐放下“硬币”这样的模型，去适应那由符号 0 和 1 构成的数学世界啦。...在这个表盘中，我们只关心余数，顾名思义，这种运算也叫做“求余运算”，有个专门的运算符叫 $mod$，用上这个符号，求上面的表盘停在哪个刻度的计算过程，用数学符号表示就是： $$ (0 + 20 + 30...首先是分工，浮点数由 3 部分组成：符号位(sign)、指数(exponent)、有效数位(fraction)。...32 个二进制位的分配如下：分一个给符号位，符号位为 1 时代表负、为 0 时代表正。然后分 8 个位给指数，这个数参与最后的求值过程。

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518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。...假设每一种面额的硬币有无限个。题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。...有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1 示例 2：输入：amount = 3, coins = [2] 输出：0 解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额

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功能测试数据测试之因果图分析方法

---- 因果图介绍 1) 4种符号分别表示了规格说明中的4种因果关系。 2) 因果图中使用了简单的逻辑符号，以直线联接左右结点。...在因果图中,用特定的符号标明这些约束。 A.输入条件的约束有以下4类：　　① E约束（异）：a和b中至多有一个可能为1，即a和b不能同时为1。　　...若售货机没有零钱找，则一个显示〖零钱找完〗的红灯亮，这时在投入1元硬币并押下按钮后，饮料不送出来而且1元硬币也退出来；若有零钱找，则显示〖零钱找完〗的红灯灭，在送出饮料的同时退还5角硬币。　　...1) 分析这一段说明，列出原因和结果　　原因：　　1.售货机有零钱找　　2.投入1元硬币　　3.投入5角硬币　　4.押下橙汁按钮　　5.押下啤酒按钮　　结果：　　21.售货机...〖零钱找完〗灯亮　　22.退还1元硬币　　23.退还5角硬币　　24.送出橙汁饮料　　25.送出啤酒饮料　　2) 画出因果图，如图所示。

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【leetcode刷题】T200-排列硬币

【题目】你总共有 n 枚硬币，你需要将它们摆成一个阶梯形状，第 k 行就必须正好有 k 枚硬币。给定一个数字 n，找出可形成完整阶梯行的总行数。...n 是一个非负整数，并且在32位有符号整型的范围内。示例 1: n = 5 硬币可排列成以下几行: ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 因为第三行不完整，所以返回2....示例 2: n = 8 硬币可排列成以下几行: ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 因为第四行不完整，所以返回3. 【思路】本题较为简单，可以直接考虑循环。当然可以考虑等差数组公式。

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LeetCode刷题实战518：零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。...假设每一种面额的硬币有无限个。题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。...i-1 的硬币去组成金额 j； 2、一定包含第 i-1 个硬币，此时 dp[i][j] = dp[i][j-coins[i-1]]，即已经包含了第 i-1 个硬币，此时金额剩下 j-coins[i...-1] ，假设每个面额的硬币可以选择无数个，因此变成从前 i 个硬币中组成金额 j-coins[i-1] 的组合数。 ...设 dp[j] 表示对于硬币组成金额 j 的组合数。虽然状态变成了一个，但是还是得有两层 for 循环遍历，外层是前 i 个硬币，内层是金额。

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黑盒测试用例设计方法之因果图法

因果图介绍 1) 4种符号分别表示了规格说明中向4种因果关系。 2) 因果图中使用了简单的逻辑符号，以直线联接左右结点。左结点表示输入状态（或称原因），右结点表示输出状态（或称结果）。...在因果图中,用特定的符号标明这些约束。 Ø 输入条件的约束有以下4类： · E约束（异）：a和b中至多有一个可能为1，即a和b不能同时为1。...若售货机没有零钱找，则一个显示〖零钱找完〗的红灯亮，这时在投入1元硬币并押下按钮后，饮料不送出来而且1元硬币也退出来；若有零钱找，则显示〖零钱找完〗的红灯灭，在送出饮料的同时退还5角硬币。...1) 分析这一段说明，列出原因和结果原因： 1——售货机有零钱找 2——投入1元硬币 3——投入5角硬币 4——押下橙汁按钮 5——.押下啤酒按钮结果： 21——售货机〖零钱找完〗灯亮...22——退还1元硬币 23——退还5角硬币 24——送出橙汁饮料 25——送出啤酒饮料 2) 画出因果图，如图所示。

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【动态规划算法练习】day16

零钱兑换给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。...如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。...零钱兑换 II 给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。...如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。假设每一种面额的硬币有无限个。题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。...//初始化 dp[0] = 1;//凑成0的硬币组合只有一种，就是一个硬币也没有；其他位置都初始化为0(为了避免影响结果) for(int i = 0;

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软件测试：系统测试之因果图方法

3.因果图介绍 1) 4种符号分别表示了规格说明中向4种因果关系。 2) 因果图中使用了简单的逻辑符号，以直线联接左右结点。左结点表示输入状态（或称原因），右结点表示输出状态（或称结果）。...在因果图中,用特定的符号标明这些约束。 A.输入条件的约束有以下4类： ① E约束（异）：a和b中至多有一个可能为1，即a和b不能同时为1。...若售货机没有零钱找，则一个显示〖零钱找完〗的红灯亮，这时在投入1元硬币并押下按钮后，饮料不送出来而且1元硬币也退出来；若有零钱找，则显示〖零钱找完〗的红灯灭，在送出饮料的同时退还5角硬币。...1) 分析这一段说明，列出原因和结果原因： 1.售货机有零钱找 2.投入1元硬币 3.投入5角硬币 4.押下橙汁按钮 5.押下啤酒按钮结果： 21.售货机〖零钱找完〗灯亮 22....退还1元硬币 23.退还5角硬币 24.送出橙汁饮料 25.送出啤酒饮料 2)画出因果图，如图所示。

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一文了解最大似然估计

如果硬币是公平的，并且我们抛十次硬币，在长期来看，我们应该更多地得到5个正面和5个反面。但是，也应该注意到，获得4或6个正面也并不罕见。...1.2 似然(Likelihood) 如果我们已经抛了10次硬币，得到了个正面，怎么办？我们的问题就是我扔的硬币是否公平。需要注意的重要是，在这种情况下，不再是随机的。...二项式模型的似然函数可以写成：在这里，使用“帽”（hat）符号来明确说明是10次抛掷中观察到的正面数。现在，似乎看起来似然函数与概率质量函数（PMF）是一回事。但是，是有区别的。...还是以刚才的抛硬币为例。...也就是，我们想要找到存在于参数空间（用大写希腊字母表示）中的唯一参数集（用小写希腊字母表示）的最大化似然函数。似然函数本身定义为：右侧的项是概率质量函数。

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因果图方法_因果图法符号

3.因果图介绍　　1)4种符号分别表示了规格说明中向4种因果关系。　　2)因果图中使用了简单的逻辑符号，以直线联接左右结点。左结点表示输入状态(或称原因)，右结点表示输出状态(或称结果)。　　...在因果图中,用特定的符号标明这些约束。　　A.输入条件的约束有以下4类：　　① E约束(异)：a和b中至多有一个可能为1，即a和b不能同时为1。　　...若售货机没有零钱找，则一个显示〖零钱找完〗的红灯亮，这时在投入1元硬币并押下按钮后，饮料不送出来而且1元硬币也退出来;若有零钱找，则显示〖零钱找完〗的红灯灭，在送出饮料的同时退还5角硬币。　　...1)分析这一段说明，列出原因和结果　　原因：　　1.售货机有零钱找　　2.投入1元硬币　　3.投入5角硬币　　4.押下橙汁按钮　　5.押下啤酒按钮　　结果：　　21.售货机〖零钱找完〗灯亮...　　22.退还1元硬币　　23.退还5角硬币　　24.送出橙汁饮料　　25.送出啤酒饮料　　2)画出因果图，如图所示。

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信息论的熵

我们现在不是讨论事物本身的信息量，而是讨论描述事物的文字符号包含的信息量。先讨论比较简单的数字符号。二进制数:二进制数只有2个符号：0和1。一位二进制数有2种可能性，其信息量是1比特。...原来信息量不能无条件地按符号的个数来计算，只有各符号的可能性一样，都等于1/n时才行。数字符号就满足这样的条件。事实上信息量应按符号的可能性（数学上叫概率大小）来计算，它是概率的负对数。...如果符号i的概率pi不等于1/n，则Hi=－㏒(pi)。因为各个符号的概率pi不相等，对于总体来说，平均信息量就是它们的加权平均H=－∑pi㏒(pi)，这里累加符号∑表示对所有 i 进行累计。...熵的定义如果有一枚理想的硬币，其出现正面和反面的机会相等，则抛硬币事件的熵等于其能够达到的最大值。我们无法知道下一个硬币抛掷的结果是什么，因此每一次抛硬币都是不可预测的。...抛硬币的熵抛硬币的熵H(X)（即期望自信息），以比特度量，与之相对的是硬币的公正度 Pr(X=1).

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