使用该硬币：由于每个硬币可以被选择多次（容量允许的情况下），因此方案数量应当是选择「任意个」该硬币的方案总和：
即 dp[11] = min (dp[10] + 1, dp[9] + 1, dp[6] + 1)。
动态规划（dynamic programming，简称 dp)是工程中非常重要的解决问题的思想，从我们在工程中地图软件上应用的最短路径问题，再在生活中的在淘宝上如何凑单以便利用满减券来最大程度地达到我们合理薅羊毛的目的 ，很多时候都能看到它的身影。不过动态规划对初学者来说确实比较难，dp状态，状态转移方程让人摸不着头脑，网上很多人也反馈不太好学，其实就像我们之前学递归那样，任何算法的学习都是有它的规律和套路的，只要掌握好它的规律及解题的套路，再加上大量的习题练习，相信掌握它不是什么难事，本文将会用比较浅显易懂地讲解来帮助大家掌握动态规划这一在工程中非常重要的思想，相信看完后，动态规划的解题套路一定能手到擒来（文章有点长，建议先收藏再看，看完后一定会对动态规划的认知上升到一个台阶！）
动态规划（dynamic programming，简称 dp)是工程中非常重要的解决问题的思想，从我们在工程中地图软件上应用的最短路径问题，再在生活中的在淘宝上如何凑单以便利用满减券来最大程度地达到我们合理薅羊毛的目的 ，很多时候都能看到它的身影。
动态规划（dynamic programming，简称 dp)是工程中非常重要的解决问题的思想，从我们在工程中地图软件上应用的最短路径问题，再在生活中的在淘宝上如何凑单以便利用满减券来最大程度地达到我们合理薅羊毛的目的 ，很多时候都能看到它的身影。不过动态规划对初学者来说确实比较难，dp状态，状态转移方程让人摸不着头脑，网上很多人也反馈不太好学。其实任何算法的学习都是有它的规律和套路的，只要掌握好它的规律及解题的套路，再加上大量的习题练习，相信掌握它不是什么难事。本文将会用比较浅显易懂地讲解来帮助大家掌握动态规划这一在工程中非常重要的思想，相信看完后，动态规划的解题套路一定能手到擒来（文章有点长，建议先收藏再看，看完后一定会对动态规划的认知上升到一个台阶！）
今天，我们继续探索JS算法相关的知识点。我们来谈谈关于「动态规划」的相关知识点和具体的算法。
对于动态规划地文章，我之前也写过两篇，在知乎收割了4k+的赞，很多人都通过我那两篇文章学会了动态规划以及如何优化，没看过地可以看，也可以看完今天这一篇再去看：
大意：有n种不同大小的硬币，面值是ai每种有mi个，题目问，这些硬币能够在价格1-m之间，付款多少种金额？
零钱兑换 2 是另一种典型背包问题的变体，我们前文已经讲了 经典动态规划：0-1 背包问题 和 背包问题变体：相等子集分割。
背包问题实际上是动态规划的一种经典应用，本文想通过介绍一种模板用于解决各种背包问题。
该系列的文章，大部分都是前面文章的知识点汇总，如果想具体了解相关内容，请移步相关系列，进行探讨。
动态规划是一种解决多阶段决策问题的算法思想，它通过将问题划分为若干个子问题，并保存子问题的解来求解原问题的方法。动态规划的特点包括以下几个方面：
考虑仅用1分、5分、10分、25分和50分这5种硬币支付某一个给定的金额。 例如需要支付11分钱， 有一个1分和一个10分、 一个1分和两个5分、 六个1分和一个5分、 十一个1分这4种方式。 请写一个程序， 1）计算一个给定的金额有几种支付方式。 2）使用硬币最少的数量 3）使用硬币最少的数量时的组合 注：假定支付0元有1种方式
那么根据变化参数和返回值，可以抽象出我们的 dp 数组： 一个二维数组，其中一维代表当前「当前枚举到哪件物品」，另外一维「现在的剩余容量」，数组装的是「最大价值」。
第五套人民币在1999年发行，到现在已经有10个年头了，目前这套人民币的技术可以说已经非常落后的，几乎每一项技术都可以伪造。
A subsequence of a given sequence is the given sequence with some elements (possible none) left out. Given a sequence X = < x1, x2, ..., xm > another sequence Z = < z1, z2, ..., zk > is a subsequence of X if there exists a strictly increasing sequence < i1, i2, ..., ik > of indices of X such that for all j = 1,2,...,k, xij = zj. For example, Z = < a, b, f, c > is a subsequence of X = < a, b, c, f, b, c > with index sequence < 1, 2, 4, 6 >. Given two sequences X and Y the problem is to find the length of the maximum-length common subsequence of X and Y.
背包问题是一类比较 特殊的动态规划 问题，这篇文章的侧重点会在答案的推导过程上，我们还是会使用之前提到的解动态规划问题的四个步骤来思考这类问题。
这篇文章是我们号半年前一篇 200 多赞赏的成名之作 动态规划详解 的进阶版。由于账号迁移的原因，旧文无法被搜索到，所以我润色了本文，并添加了更多干货内容，希望本文成为解决动态规划的一部「指导方针」。
博弈类问题的套路都差不多，下文举例讲解，其核心思路是在二维 dp 的基础上使用元组分别存储两个人的博弈结果。掌握了这个技巧以后，别人再问你什么俩海盗分宝石，俩人拿硬币的问题，你就告诉别人：我懒得想，直接给你写个算法算一下得了。
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，将问题分解为互相重叠的子问题，通过反复求解子问题来解决原问题就是动态规划，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划来解是比较有效的。
动态规划(dynamic programming)是一种基础的算法设计思想。作为一种寻找最优解的通用方法，它是在20世纪50年代由美国数学家Richard Bellman（也就是之前最短路径问题中Bellman ford算法的发明者之一）所发明的。
算法一直是大厂前端面试常问的一块，而大家往往准备这方面的面试都是通过leetcode刷题。
初接触动态规划者，理解其思想精髓会存在一定的难度，本文将通过一个案例，抽丝剥茧般和大家聊聊动态规划。
上一篇文章 一行代码就能解决的智力题 中讨论到一个有趣的「石头游戏」，通过题目的限制条件，这个游戏是先手必胜的。
这是 LeetCode 上的「1301. 最大得分的路径数目」，难度为 Hard。
前言：最近在力扣刷题，但是之前从没有接触过算法题，有的看答案都看不懂，后来做的题做多了发现有好多类似的题目，所以我打算总结一下规律。
今日步步为营，实战dp，采用递推、记忆化、动态规划，三种方法解决两道题目，并深入研究动态规划套路。
从dp右上角出发，看dp的左边，下边，左下边。如果dp和左边差值是1，朝左走；如果dp和下边差值是1，朝下走；剩余情况，朝左下走。
动态规划算法的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，并先求解子问题，再根据子问题的解得到原问题的解。这种方法的优点在于避免了重复计算，从而提高了算法的效率。
在昨天的文章关于背包问题的一点发散[1]之后，有小伙伴说感觉跟LeetCode上一道题零钱兑换[2]很像，但是又好像有点不一样，简单的暴力递归跟缓存优化都能做出来，就是自下而上的方法不怎么有思路。我看了下，其实这道题跟我们昨天的题目有异曲同工之处，可以说极度相似，今天我们就来分析分析这道题。
2021-06-07：一个字符串添加最少的字符变成回文串，回文串有多个，请返回所有结果。
01背包问题是所有背包问题的基础，之后的问题都可以在此基础之上变化，所以一定要理解清楚。尤其是对待不同问题，找出状态转移方程是解题的关键。
同样，反着推的时候也需要处理下边界问题，也就是最后一行，最后一列需要单独处理一下。这里的思路跟前一种解法是一样的，只是倒退来的。
其实，可能性问题使用动态规划要比使用 DFS、BFS 算法更加简单而容易理解。（我使用 DFS 经常报 TLE）
从去年7月到现在，我已经在北京的互联网公司呆了整整一年的时间。这中间经历过各种各样的酸甜苦辣，自己为了面试刷题的过程（从杉数到滴滴——未入门算法工程师再找实习工作记），也会经常听到北美同学面试的时候所遇到的各种艰难。是的，只要是互联网公司，无论是国内还是国外，总是要考察很多leetcode的东西。而leetcode如何刷，刷多少，刷到什么程度，其实各个公司也各不相同。但是事实上，leetcode的本质考察点是算法与数据结构，而除去基本的算法与数据结构外，leetcode困难的地方在于熟练度+一些技巧。然而技巧毕竟是存量，不是增量，我们刷多了，自然就有经验。所以这一个系列，我们不面向easy的题目，而更多关注hard和medium+的高频题，并通过大量的leetcode原题，来刻画出互联网公司究竟会考察哪些实际算法与数据结构的知识，以达到复习《算法与数据结构》的效果。
这一节的题目绝大部分都是选择的Leetcode中的hard（当然也有少部分的medium）。主要是挑选了一些之前看过的高频题。这些题目没有什么通用的解法，每一个题都需要仔细的去建模和考量，才能够写出对应的状态转移方程。读者可以尝试自己先思考，也可以通过解析摸一摸困难的动态规划题，可能会有哪些难点。
两道类似的题目，首先来看第一道，给定一个数值以及硬币的面值，问组合成这个面值最少需要硬币的个数。
本题与「完全背包求方案数」问题的差别在于：选择方案中的不同的物品顺序代表不同方案。
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