Delaunay三角剖分得到的Voronoi点

Delaunay三角剖分是一种将给定的点集进行三角网格划分的方法，它是计算机图形学和计算几何领域中常用的算法之一。Delaunay三角剖分的特点是，任何一个点都不会出现在其它三角形的外接圆内部。

Voronoi点是指根据Delaunay三角剖分得到的三角形网格，通过连接每个三角形的外心而形成的点集。Voronoi点也被称为Voronoi顶点或Voronoi节点。

Voronoi点在计算机图形学和计算几何领域有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：

几何建模：Voronoi点可以用于生成复杂的几何形状，如地形生成、城市建模等。
计算机图形学：Voronoi点可以用于生成自然景观、纹理合成、图像分割等。
数据分析：Voronoi点可以用于聚类分析、空间插值、数据可视化等。
仿真与模拟：Voronoi点可以用于模拟流体动力学、粒子系统等。

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Voronoi多边形和Delaunay三角剖分

今天对计算几何中的Voronoi多边形（即泰森多边形）和Delaunay三角剖分进行了学习，整理资料如下（摘自百度百科）。...在泰森多边形的构建中，首先要将离散点构成三角网。这种三角网称为Delaunay三角网。...定义 Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。...要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则： 1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。...如下图所示： 2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。

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光怪陆离的世界之Delaunay三角剖分和Voronoi图

【定义】Delaunay三角剖分：如果 T 只包含Delaunay边，那么T被称为Delaunay三角剖分. 来张图直观体会一下三角剖分上图左边的离散点集 V 的三角剖分就是右边....所以 Delaunay 三角剖分给我们的直观感觉就是空圆特性给我们的感觉是：每个三角面（或者叫三角网格）相对独立，因为任何一个三角网格的外接圆都不会接纳除了这三个点之外的点....所以Delaunay三角剖分其实并不是一种算法，它只是给出了一个好的三角剖分的定义为了方便，除非特别声明，否则下文提及的三角剖分指的就是 Delaunay三角剖分三角剖分和其他问题的联系....因此从一个点集的三角剖分获取该点集的 Voronoi图是轻而易举的事情....然后进一步就得到了 Voronoi图的一个多边形. 最后，我们来研究一下三角剖分的具体算法. 因为前面说了，三角剖分并不是一个实际的算法，而仅仅是一个较美的三角剖分的定义而已.

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CGAL功能大纲

2D约束三角剖分，2D和3D Delaunay三角剖分；（2）Voronoi图。2D和3D的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等；（3）多边形。...还提供了加权点集的规则(Regular)三角剖分。Delaunay和规则三角剖分提供了最近邻查询和构建双Voronoi和power图。...三角形是增量构建的，可以通过插入或删除顶点进行修改。他们提供点位设施。该包提供了Delaunay三角剖分，并提供了构建双Voronoi图的最近邻查询和原语。...三角形是增量构建的，可以通过插入或删除顶点进行修改。他们提供点位设施。该包提供Delaunay和常规三角剖分，并提供最近邻查询和原语来构建双Voronoi图。...具体来说，它提供了一个数据结构来存储三角形，以及两个类来处理点集的三角化和Delaunay三角剖分。支持点定位和点插入。Delaunay三角剖分也支持点删除。

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点云处理算法整理（超详细教程）

常见三角网格划分_voronoi图和Delaunay三角剖分五. PCL曲面聚类分割算法优缺点分析六. 区域增长算法、欧几里得聚类算法七....Voronoi图是Delaunay三角剖分的对偶图。Voronoi图的每条边是由相邻种子点（节点）的垂直平分线构成，在边上的点到两个种子点（节点）的距离相等。...定义3：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分 Voronoi图和Delaunay三角剖分的对偶关系：Voronoi图的一个顶点同时属于三个Voronoi...连接三个共点的Voronoi多边形分别对应的三个节点（种子点）则形成一个Delaunay三角形，所有这样的三角形的集合就是著名的Delaunay三角剖分如右图所示。 ?...Voronoi图的定义 ? Delaunay三角剖分定义目录五.

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维诺图（Voronoi Diagram）分析与实现

生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。 1.建立Voronoi图方法和步骤本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。...建立Voronoi图的步骤为：（1）离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。...Delaunay三角网的生成建立Voronoi图的关键是Delaunay三角网的生成。Delaunay三角网的特性：（1）空圆性，任一三角形外接圆内部不包含其他点。...（7）具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。 Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。...（2）将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在Delaunay

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OpenCV系列(18)|三角剖分

应用：人脸检测的核心技术代码： #include #include #include ...\n"; } //画出三角剖分的顶点 static void draw_subdiv_point( Mat& img, Point2f fp, Scalar color ) { circle(...img, fp, 3, color, FILLED, LINE_8, 0 ); } //画出三角剖分的边 static void draw_subdiv( Mat& img, Subdiv2D& subdiv...Demo"; //点集 vector points; std::ifstream ifs("face.txt"); int x, y;...it++) { subdiv.insert(*it); Mat img_copy = img_ori.clone(); // 画三角剖分

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OpenCV+OpenGL 双目立体视觉三维重建

3.1 三角剖分简介三角剖分是为了之后的纹理贴图，我用了OpenCV中的Delaunay三角剖分函数，这种剖分算法的可以使所形成的三角形的最小角最大。...剖分的示例如下： ? OpenCV使用Delaunay算法将平面分割成小的三角形区域（该三角形确保包括所有的分割点）开始不断迭代完成。...连接R的任意一条对角线，形成两个三角形，作为初始Delaunay三角网格。 2）逐点插入：假设目前已经有一个Delaunay三角网格T,现在在它里面再插入一个点P,需要找到该点P所在的三角形。...} 我们知道三角剖分是对散点集进行处理的，我们知道了散点集就可以获得点集的三角剖分。...当可以通过输入点（散点集）得到Delaunay三角剖分后，接下来，我们用一下两个函数设置和清除相关的Voronoi划分： cvCalcSubdivVoronoi2D( subdiv ); // Fill

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CGAL的安装与使用

CGAL (Computational Geometry Algorithms Library) CGAL是一套开源的C++算法库，提供了计算几何相关的数据结构和算法，诸如三角剖分（2D约束三角剖分及二维和三维...Delaunay三角剖分），Voronoi图（二维和三维的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等），多边形，多面体（布尔运算），网格生成（二维Delaunay网格生成和三维表面和体积网格生成等...CGAL功能非常强大，是我们学生做科研的必备程序库之一。但需要较强的C++代码掌控能力，特别是基于C++ Template的开发。...CGAL CGAL系大名鼎鼎的计算几何算法库，采用C++语言，代码中大量使用模板，相对比较难读。可以支持float, double, CORE的高精度或者gmp等任意精度库。...采用Setup.exe默认不勾选文档，如果安装后没有文档，可下载后缀为 doc_html.zip 的压缩包解压覆盖同目录 doc_html 文件夹。

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点集合的三角剖分

点集合的三角剖分是指如何将一些离散的点集合组合成不均匀的三角形网格，使得每个点成为三角网中三角面的顶点。...在实际工作中，使用最多的三角剖分是Delaunay三角剖分。通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...这些特性可能有些难以理解，但是我们可以先谨记一点：Delaunay三角网是一种特性最优的三角剖分。...比如这里的构建Delaunay三角网，并没有新的点对象生成出来，只是对点集进行了组织，点还是原来哪些点，并没有变化。

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从零开始一起学习SLAM | 点云到网格的进化

平面三角化的过程中用到了基于Delaunay三角剖分的空间区域增长算法（3）最后根据平面内投影点的拓扑连接关系确定各原始三维点间的拓扑连接，所得三角网格即为重建得到的曲面模型 Delaunay 三角剖分简介...而Delaunay 三角剖分是一种常用的三角剖分的方法，这个方法比较常见，关于点集的很多种几何图都和Delaunay三角剖分相关，如Voronoi图，当然这些很复杂了。...你看下面这个图，左侧就是不满足Delaunay 三角剖分，右侧是Delaunay 三角剖分的结果。 ?...小白：看起来右边的图好像很规则啊师兄：的确，Delaunay 三角剖分的有两个优点： 1.最大化最小角，“最接近于规则化的“的三角网。 2.唯一性（任意四点不能共圆）。...我们来看一下它的定义，有点拗口：点集?的Delaunay三角剖分满足满足任意?内任意一个点都不在? 内任意一个三角面片的外接圆内。小白：师兄，这个定义每个字我都认识，但是连起来不知道啥意思啊！

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手把手：用OpenCV亲手给小扎、Musk等科技大佬们做一张“平均脸”（附Python代码）

平均基准点的Delaunay三角剖分首先，我们需要计算这68个基准点的坐标平均值，我们利用这68个点（图6蓝色点）以及输出图像边界上的8个点（上图绿色点）来计算Delaunay三角剖分（上图红色边框）...更多Delaunay三角剖分细节请看这里（https://www.learnopencv.com/delaunay-triangulation-and-voronoi-diagram-using-opencv-c-python...Delaunay三角剖分将图像分解成若干三角形。Delaunay三角剖分的结果是一个三角形列表，用76个点（68个人脸基准点+8个边界点）的序号表示。...[ 62 68 60 32 50 49 15 16 72 9 8 58 53 35 36 … ] 基于Delaunay三角剖分的图像扭曲至此，我们计算出了人脸基准点的平均位置，并用这些位置计算出Delaunay...如上图所示，左图是变换后输入图像的Delaunay三角剖分，中图是平均关键点的三角剖分。注意，左图的三角形1对应中图的三角形1。用左图三角形1的三个顶点及其对应的中图三个顶点计算变换矩阵。

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《传热学流体力学》中几个简单演示程序-Voronoi

此次，又做了大量《传热学》或《流体力学》相关算例补充（热辐射和对流的例子尚没有完成）。先从吃饭说起，如何就近“觅食”？Voronoi算法为“懒癌”晚期患者就近“觅食”提供了最优化方法。...关于Voronoi图或者Delaunay图，之前提过一次，原文在这里。看动画体验下Delaunay三角化： ? 可以到小程序中体验该交互程序：Delaunay三角化。...可见这样得到了一套三角网格单元，类似有限元三角单元网格。事实上Delaunay三角化是网格剖分的一类非常常见的方法，一种二维有限元三角网格剖分思路如下图： ?...终于引到本文主题：现将几个《传热学》相关的小程序总结如下，可在微信中点击体验：有限元三角单元网格自动剖分 Delaunay三角化初体验（理论戳这） Contour等值线绘制（理论戳这） 2D非稳态温度场有限元分析...这里有一份源于网络的Matlab脚本实现的LBM圆柱绕流源代码： % ==================================================================

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自己动手制作“平均脸”【1】

Delaunay 三角剖分在获得了68个面部基准点之后，我们结合人脸所在的矩形的四个顶点和每条边的中心点，将人脸所在的矩形分割成如下图所示的三角形的组合。这一方法又称为Delaunay三角剖分。...更多细节请看：https://www.learnopencv.com/delaunay-triangulation-and-voronoi-diagram-using-opencv-c-python/...叠加经过仿射变换的Delaunay剖分三角形 Delaunay三角剖分将图像分解成若干三角形后，再分别对齐各个三角形区域，对其中像素值进行平均。...I，J和M中分别得到了76个点，以及由这76个点剖分而成的三组三角形。...Step-3：扭曲Delaunay剖分三角形对于图像I中的一个三角形，使用step-2中计算出的放射变换，将其中每一个像素通过仿射变换对应到M中对应的位置去。

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重新网格化（Remesh）

---- Delaunay三角化 Delaunay三角化，是点云的一种三角化方法，它具有某些好的性质：网格中的最小角最大化任意三角形的外接圆内不含三角形以外的顶点三角化的网格是点云的凸包最大化所有三角面片的内切圆的平均值...有些约束边并不满足Denaulay性质，所以，它并不能得到整体的Delaunay三角化结果(如下中图是点云的一个Delaunay三角化结果)。...---- Delaunay网格优化 Delaunay优化，可以优化网格的连接关系，减少狭长三角形，保持网格顶点数目和位置不变。如下图所示，图2和图3是图1点云不同的三角化结果。...这些线也是相邻两点的垂直平分线。如果是曲面上的点，点之间的距离为曲面的测地距离。 Voronoi图和Delaunay三角化的图，互为对偶图。如图右所示。...有兴趣的读者，欢迎参考视频：Delaunay三角化；Voronoi图

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通过CGAL将一个多边形剖分成Delaunay三角网

概述对于平面上的点集，通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...关于网格化以及三角网剖分，在CGAL中提供了非常详尽繁复的解决方案，我这里选择了CGAL::refine_Delaunay_mesh_2这个接口，这个接口能够将多边形区域构建成一个Delaunay三角网...结果在QT界面上绘制一个多边形，只用多边形上的点，最后的三角网格效果： ?...参考 Delaunay三角剖分学习笔记

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阿狗问道——算法几何

——华罗庚几何是基于形的数学。相比于代数的抽象，几何以其触手可及和举目即视的“形”揭开艰深数学的神秘面纱。...这就是著名的Voronoi图（Voronoi diagram）计算问题。常常伴随该问题出现的是用于三角网格化的Delaunay三角剖分（Delaunay triangulation）。...图1:Voronoi图（左）与Delaunay三角剖分（右）现在，我要去博物馆与朋友集合。...在前面的讲述中，Voronoi图的计算、地图叠合、画廊看守、光线跟踪算法等，都是针对计算几何早期的经典问题，而邮递员问题最早出现在图论中，运动规划更多地被用于机器人与数控机床，三维场景重建则属于计算机图形学的热门话题...然而，当设计师想局部调整Bézier曲线的形状时，一个控制点的拖动会带动整条曲线的形变。样条（spline）的产生解决了这一难题，在设计中可以做到“牵一发而不动全身”。

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理论基础 - 十大GIS相关算法

泰森多边形是对空间平面的一种剖分，其特点是多边形内的任何位置离该多边形的样点（如居民点）的距离最近，离相邻多边形内样点的距离远，且每个多边形内含且仅包含一个样点。...由于泰森多边形在空间剖分上的等分性特征，因此可用于解决最近点、最小封闭圆等问题，以及许多空间分析问题，如邻接、接近度和可达性分析等。 ? 也就是我们常说的Voronoi图，百度讲的也比较清楚。...最常用的生成方法是Delaunay 剖分方法。TIN在表示复杂表面方面具有许多优越性，国面被广就应用于数字制用、地用表面的模型化及分析以及LIS中。...狄洛尼三角网是在所有可能的三角网中,Delaunay 三角网在离散点均匀分布的情况下能够避免产生有过小锐角的三角形。...Delaunay三角网，全称应该是狄洛尼不规则三角网（Delaunay Triangulated Irregular Network），主要就是应用于TIN的构建，立体模型的生成。

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【失败也分享】C++ OpenCV人脸Delaunay三角形提取及仿射变换的使用

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一些CGAL基础操作的任务

_2 Delaunay; typedef Delaunay::Vertex_handle Vertex_handle; //初始化定义相关的结构体 typedef K::Point_2 Point...glutSwapBuffers(); } void points_triangulation() { points_draw(); //最后一个点还要再画一下...Delaunay dt; dt.insert(vertices.begin(), vertices.end()); //将vector数组传入狄洛尼三角形数据结构 //cgal提供狄洛尼三角形的核心数据结构就是...Delaunay glPushMatrix(); Delaunay::Finite_faces_iterator fit; //遍历算法生成的所有三角面（其实是三角形）...::Edge_iterator eit; //遍历Delaunay的所有边，绘制Delaunay图的对偶图，即Voronoi图 glEnable( GL_LINE_STIPPLE

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