无论是设计更好的火箭发动机，还是模拟气候变化，我们都需要更有效的方法来解决这些问题。 近来，研究者在偏微分方程的求解上取得了令人激动的新进展。他们构建了新型的人工神经网络，实现了更快求解偏微分方程。...这使它们能够对各种现象进行建模，例如，如果建模人员想知道流体在空间中任何一点（也称为流场）以及在不同时间下的速度和压力，可能会使用 Navier-Stokes 偏微分方程进行建模。...求解 Navier-Stokes 方程，将获得一个描述系统内容的公式。如果对初始和边界条件有足够的了解，例如在时间 t = 0 时的流场值，则可以使用数学工具来解析偏微分方程。...但是偏微分方程常常复杂到没有通用的分析解决方案，对于 Navier-Stokes 方程的最通用形式尚且如此：数学家尚未证明是否存在唯一解，更不用说通过分析实际上找到它们了。...例如，在一个需要进行 30000 次仿真（包括 Navier-Stokes 方程）的求解过程中，对于每个仿真，FNO 花费了不到一秒的时间；而 DeepONet 耗时 2.5 秒；传统的求解器则大概需要花费
所谓微分方程，就是含有未知函数的导数。一般凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，就叫做微分方程。...另外，它更加稳定，并且能够解决所有类型的PDE，例如任何流体的Navier-Stokes方程，而无需重新训练。...有限维算子（Finite-dimensional operators）将解算子参数化为有限维欧氏空间之间的深卷积神经网络，但它的定义是网格相关的，需要对不同的分辨率和离散度进行修改和调整，以实现一致的错误...神经-有限元方法与经典方法具有相同的计算问题：每一个新的实例都需要求解优化问题。此外，该方法仅限于了解基本PDE的设置。...除了相比传统方法取得巨大的速度优势外，它们的系统在求解Navier-Stokes方程时，它们的系统在求解Navier-Stokes方程时获得了30％的错误率。
有一种已知的偏微分方程叫做「Navier-Stokes」，用来描述任何流体的运动。...求解Navier-Stokes问题可以让你在任何时间点拍摄空气运动的快照(也就是风的状况) ，并且模拟空气将如何继续运动，或者它以前是如何运动的。 ?...它还具有更广泛的适用性，能够解决整个偏微分方程家族的问题，例如求解任何类型的流体的Navier-Stokes方程而无需再训练。...除了在计算速度上远超传统方法，他们的技术还实现了比以往的深度学习方法解决Navier-Stokes方程降低30% 的错误率。 研究人员的实验证实了这一点。...Navier-Stokes 不仅擅长模拟空气湍流，它还用于模拟天气模式。
过去几十年，研究社区已经开发出高度专业化和精确的离散化方案来求解基础模型方程，如纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes）、麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）或薛定谔方程...因此，Burgers 重建问题在用 DP 求解时简化为一个基于梯度的优化问题，没有任何神经网络。 接下来，本章还介绍了一个更复杂的示例，将 Navier-Stokes 方程作为物理模型。...与「Navier-Stokes Forward Simulation」 一致，用来针对 2D 案例。...DP 复杂示例 本章主要分四个小节：复杂示例整体概览；利用深度学习减少数值误差、用神经网络求解逆问题以及概述和评论。 本章给出了更复杂案例的代码示例，以向读者展示通过可微物理训练能够实现哪种任务。...接下来，本章展示了如何让神经网络解决棘手的逆问题，即 Navier-Stokes 模拟的长期控制问题，遵循 Holl 等人研究。
包含六位博士在内的团队花了四个多月未能解决，团队猜测是因为「对纳维斯托克斯方程的处理有问题」，但是又搞不清楚哪里有问题。 后来，他们向韦东奕寻求了帮助。...他的博士论文《轴对称 Navier-Stokes 方程与无粘阻尼问题》，被评为北京大学 2018 年优秀博士学位论文。 相传哈佛大学为招徕韦东奕，曾提出可以为其破格免掉英语考试，但被后者拒绝。...2021 年，韦东奕获得达摩院青橙奖时，其答辩主题就是有关湍流问题和流动稳定性问题，他提出的两个原创性的数学方法解决了流动稳定性领域一系列重要的公开问题。...通常，流体可以用纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes equations，NS）来描述，但大规模求解这类方程仍属难题，受限于解决最小时空特征的计算成本。...用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。其中，在零粘滞度的最简单情况下，NS 方程化为欧拉方程，表明加速度（速度的导数）与内部压力的导数成正比。
今天小白带着满满的诚意，带来了通过OpenCV实现图像修复的C++代码与Python代码。 图像修复技术应用在什么地方呢？...强大的OpenCV库里集成了两种用与图像修复的方法 INPAINT_NS： 基于Navier-Stokes的图像修复 该方法在2001年提出，其神奇之处竟然是基于流体力学理论提出的方法。...由于这些方程与Navier-Stokes方程（流体力学中的方程，感兴趣的小伙伴可以自行百度）相关且类似，因此可以通过流体力学中的方法进行求解。...flags： INPAINT_NS（基于Navier-Stokes的方法）或INPAINT_TELEA（基于快速行进的方法） 示例 ?...中：使用快速行进方法修复，右：使用Navier-Stokes方法修复。
例如，波动方程是除 m 和 c 以外的系数都为 0 时的情况，且表示不可压缩流体的速度以及压力场 u = (v, p)T ∈ R4 的 Navier–Stokes 方程式 可用方程式 (1) 的形式表示...下面，我们考虑的问题将暂时与时间无关，并处理与空间维数有关的有限元法．与时间有关的问题将在第 3 节末尾作简要说明，并且在 4.3 和 4.4 节中给出范例。...将获得的结果与电机结构线框一起显示： 4.2 驱动空腔问题 以下是描述稳态下不可压缩流体的 Navier-Stokes 方程： 上面第一个方程第二项中的对流项（在此，ρ = 1 且外力场为零）基本上是非线性的...Navier-Stokes 方程式： 设置入口处水池的大小和速度分布。定义 rampFunction，该函数可提供平滑的速度变化，以使速度在特定时间不会从零变为非零。...结束语 Mathematica 12（Wolfram语言 12）极大地扩展了有限元方法的应用范围，使得包括 Navier-Stokes 方程在内的许多非线性偏微分方程的求解变为可能。
最近几天，数学圈内人们正在热烈讨论纳维 - 斯托克斯问题的正则哈密顿公式终于出现了 —— 这个数学史上悬而未决的问题可能有了解答。而在以前，人们甚至普遍认为这是不可能的。 此事有多重要？...人们提到的重要突破来自论文《A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem》，于 4 月 1 日刊登在了流体力学领域顶级期刊...从目前的进度来看，新的研究已使解决开放问题变得更加容易，我们前进了一大步 —— 已经实现纳维 - 斯托克斯方程的正则哈密顿量公式，可能意味着我们可以绕过标准拉格朗日量的限制，将问题简化为寻找单个标量函数...参考内容： https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/navier-strokes-equation/ https://zhuanlan.zhihu.com.../p/263628141 https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard
湍流问题非常复杂，是物理力学中最难的几个问题之一，量子力学创始人之一海森堡就曾经说过： 我要带着两个问题去见上帝：相对论和湍流。我相信上帝只对第一个问题有了答案。...终于，在100年之后，来自UC圣芭芭拉分校、奥斯陆大学和北航的几名科学家们，解决了一个关键问题后，最终完整地推导出了边界层湍流的描述公式。 目前，研究已经发表在《物理评论研究》上。...这种现象非常复杂，目前仅靠数学方法解非线性方程（描述控制湍流运动的Navier-Stokes方程）的方法，还没有取得太大的进展。...这些年来，科学家们一直在致力于从这两个问题中找到求解边界层湍流的突破口。 这个突破口就是涡流。...其中U和w²分别表示平均速度和方差，下面两个导数公式需要根据条件来求积分（方差再进行平方），来计算出最终结果，公式中的相应参数都已经被科学家们推算出来。
接着是实现需求，比如在长时间 rollout 时保持稳定性和不变形。...其中训练框架解决自回归求解器中的分布位移问题，该问题会导致不稳定性；网络架构是一个消息传递神经网络。...然后，他们又展示了 MP-PDE 有能力求解 2D 方程。 此外，研究者还针对前推技巧和变体进行了消融实验，以验证实用性。...最后，研究者测试了 MP-PDE 到更多空间维度上的可扩展性，尤其是在 2D 实验中。他们使用来自开源流模拟工具包 PHIFLOW1 中的数据。...具体而言，研究者观察了基于纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes equation），并将烟雾流模拟成 32 × 32 网格，在每个时间步后添加更多烟雾。
Navier–Stokes 方程的流动可视化 » https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2444026 Abhishek Joshi Abhishek...在给定一些初始条件的情况下，Navier-Stokes 方程可用于确定应用于流体的速度矢量场。他对方程的解进行了可视化分析，发现层流的基准计算与理论预测一致。...她实现了核结构的 FCC 模型，并计算了一些基本的核特性，例如数密度、量子数、α 粒子结构和具有幻数核子的核的稳定性。比较各种原子核的结合能的结果表明，由于质子和中子的幻数存在，可以增强其稳定性。...失业引发了多种社会和经济问题，而流行病暴露并加剧了劳动力市场中现有的不平等现象。在检查了官方来源的可用数据后，使用 Wolfram 语言进行的探索分析得出了有意义的统计数据。...数据集中考虑了七类情绪——快乐、悲伤、愤怒、惊讶、厌恶、恐惧和中性——并尝试了不同的方法来解决类别不平衡问题。该模型可应用于自闭症儿童、一般幼儿和对面部表情视而不见的人的教学。
如上图所示，由Navier-Stokes控制的流体模拟任务可以被离散化为连续的柵格图像，其坐标空间的维度则等于连续帧中像素的个数，即对于帧的图像而言，其所在的坐标空间的维度为。...因此，如何高效、准确地近似高维空间中复杂的输入输出映射是使用深度模型求解PDE的关键问题。...问题分析 2.1 基础知识 问题定义：依照神经算子（Neural Operator）领域的惯例，我们将数据定义为关于坐标值的函数。具体地，对于给定的维坐标空间，PDE控制任务对应的输入为，输出为。...在Navier-Stokes数据集上（预测流体未来速度变化），LSM可以较好地捕捉到数据在隐空间中随时间的变化。...总结 针对高维PDE求解这一关键科学问题，本文提出了隐谱模型（LSM），创新地将PDE求解过程投影至隐空间，并通过学习多个基算子实现了理论保证下高维复杂映射的高效、准确模拟。
其中两个最重要的偏微分方程是量子力学中的薛定谔方程和流体力学中的纳维-斯托克斯（Navier–Stokes）方程。...例如，尽管Navier-Stokes方程描述的湍流是一个三维问题，但其解包含许多主动尺度，这意味着涉及许多自由度。维度灾难是这些问题的困难的根本来源。...这里的未知量是Leonard应力，即未解析自由度对平均应力的贡献，必须从原始的Navier-Stokes方程中估计。...这里的困难在于Leonard应力依赖于许多自由度，因此从Navier-Stokes方程估计它是一项非常困难的任务。...两者都可以通过标准方法来实现。 标记：使用一个误差估计器决定是否对特定原子配置进行标记。一个简单的误差估计器可以如下设计。
，你们考虑问题的层次还太低，包括国外的一些学者，考虑的还是一些简单的问题。...我觉得，在这种情况下，还原论的方法还是适用的，现在有了电子计算机，从子系统一步综合到巨系统，这个工作是可以实现的。从前我们搞核弹，就是这么干的。...国外对于这种一个层次的问题，如混沌，即便是混沌中比较复杂的问题，如无限维Navier-Stokes方程所决定的湍流【2】，还有我们在这个学习班上讲过的自旋玻璃，都可以这么处理，他们把这种问题叫复杂性间题...研究问题要从具体资料人手。例如，社会系统中有区域问题，也有国家问题，还要注意国际问题。...【2】如果把分子作为子系统，那么从微观层次的分子运动综合上升到宏观层次的Navier-Stokes方程，是从微观的混沌到宏观的层流有序；然后Reynold数大了，这一层次又不稳定，发生湍流，但全流场，再上一个层次
在CV，NLP等领域中也确实如此，AI方法以数据驱动，训练出神经网络以模拟图像分类、语音识别等实际问题中隐含的复杂逻辑，整体是一个“黑盒”问题。...区别于符号微分和数值微分，自动微分依托深度学习框架中的计算图，在每个计算图节点内进行符号微分，并把节点间的微分结果用数值存储，进而实现比数值微分更精确，比符号微分更高效的微分机制。...为了支持高阶微分，我们一方面在框架中增加高阶导数算子，另一方面也在设计基础算子体系，支持不限阶数的自动微分。...在这个问题下，我们需要求解稳态不可压缩的Navier-Stokes方程。 其中u为顶盖速度，ρ为流体密度，p为压力。首先我们在二维区域内选定计算域，构成正方形，并在x、y两个方向上进行离散选点。...神经网络通过梯度下降反向传播等机制，将损失函数数值收敛到最小，因此将NS方程求解问题转化为优化问题。
1970年代面临的主要问题，是跨音速流的计算。 这是因为商用飞机最有效的巡航速度，是在跨音速范围内、在冲击波形成的阻力上升开始时。而战斗机也在跨音速范围内飞行。...跨音速流动的计算，是一个很有数学意义的问题。跨音速流动本质上是非线性的。线性化势流模型，虽然能够成功应用于低速亚音速流动、甚至高速超音速流动中，却不适用于跨音速流动。...3.png 1990年代 在90年代，计算机速度和存储容量的进一步提升，使得使用雷诺平均Navier-Stokes（RANS）方程与各种湍流模型进行模拟成为可能。...许多问题与钝体周围的流动有关，这是现有RANS方法难以准确预测的。 LES和混合RANS/LES方法的进步，将有助于更准确地预测汽车和卡车的流动，来实现主动流动控制以减少阻力这一长期目标。...因此有很大可能，CFD将继续作为数值算法和计算实现的孵化器。对于计算物理学的所有分支，这都是至关重要的。
patentimages.storage.googleapis.com/21/09/cd/37e7c3a8bdcecf/CN103440633A.pdf 根据他人的思路复现是一项非常重要的能力，由于保密协议，不能将完整的代码分享出来，不过我会提供一些实现各个主要功能的代码...给你代码只能让你跑通一个案例， 教你解题思路能让你解决一类问题。...convertScaleAbs(dst) 注意事项： 进行对比度增强能在一定程度上提升最终的效果 对比度增强 # nResult = nColor + (nColor-128)*(1.0+Contrast)/255 # 实现...选择权重是一个重要的问题。对于靠近该点的那些像素，靠近边界的法线和位于边界轮廓上的像素，给予更多的权重。一旦像素被修复，它将使用快速行进方法移动到下一个最近的像素。...Bertozzi和Guillermo Sapiro于2001年撰写的“Navier-Stokes，流体动力学和图像和视频修补”一文。该算法基于流体动力学并利用偏微分方程。
stencil：定义一个函数使其成为 stencil 类型操作的核函数 @jitclass：用于 jit 类， @cfunc：声明一个函数用于本地回调（被C/C++等调用）， @overload：注册您自己的函数实现...b): 3 # Some operation on scalars 4 return result 使 target=“parallel” 或 “cuda” 进行矢量化通常比 numpy 实现的代码运行得更快...这个视频讲述了一个用 Numba 加速用于计算流体动力学的Navier Stokes方程的例子： 6. 在GPU上运行函数 ?...cuda.jit 2def func(a, result): 3 pos = cuda.grid(1) # For 1D array 4 # x, y = cuda.grid(2) # For 2D...Numba 在其 cuda 库中也有自己的 原子操作，随机数生成器，共享内存实现（以加快数据的访问）等功能。
机器学习关心的问题 1. 捕捉函数的变化趋势 2. 研究y 如何随着x而变 3. 趋势是通过求导和微分来实现的 导数 1. 导数是定义在连续函数的基础上 2....“导数” 到是引导，导航到意思，它与函数上连续两个点之间的变化趋势，也就是变化的方向相关. 4. 通过导数在机器学习领域，可以得到标签y随特征x而变化的方向 5....导数是针对一个变量而言的函数变化趋向 6. 多云（即多变量）的函数，它关于其中一个变量的导数为偏导数，此时保持其他变量恒定 梯度下降 1. 梯度下降已存在200多年，是机器学习的基础算法 2....对多元函数的各参数求偏导数，然后把所求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是“梯度” 3....在机器学习中，把用于存储数据的结构叫张量，矩阵是二维数组，机器学习中就叫做2D张量 2. 张量是机器学习程序中的数字容器 3. 张量的维度称为轴（axis） 4. 轴的个数称为阶(rank)
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