PS：一般来说，我们都是在无向加权图中计算最小生成树的，所以使用最小生成树算法的现实场景中，图的边权重一般代表成本、距离这样的标量。...在讲 Kruskal 算法之前，需要回顾一下 Union-Find 并查集算法。...前文 Union-Find 并查集算法运用 介绍过 Union-Find 算法的一些算法场景，而它在 Kruskal 算法中的主要作用是保证最小生成树的合法性。...因为在构造最小生成树的过程中，你首先得保证生成的那玩意是棵树（不包含环）对吧，那么 Union-Find 算法就是帮你干这个事儿的。 怎么做到的呢？...时间复杂度主要耗费在排序，需要O(ElogE)的时间，Union-Find 算法所有操作的复杂度都是O(1)，套一个 for 循环也不过是O(E)，所以总的时间复杂度为O(ElogE)。
下面是一个使用Go语言实现的简单框架，利用Kruskal算法（一种常用于寻找最小生成树的算法）来重新计算包含新节点和边的最小生成树。这里假设图以边列表的形式给出，每条边包括连接的顶点和权重。...这可以通过以下方式实现： • 使用Kruskal或Prim算法中的并查集数据结构来检查是否形成环。 • 使用边的新权重与当前最小生成树中的最大边权重进行比较，以判断是否需要进行替换。...如果新边的权重小于MST中连接相同节点的边的权重，更新MST。 4. 重复步骤3直到没有更优的替换。...Prim's算法: 使用Prim's算法，可以通过在现有的最小生成树中找到连接新节点的最小权重边来更新最小生成树。这种方法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中节点的数量。 2....Kruskal算法：如果使用并查集（Union-Find）数据结构来实现Kruskal算法，添加一个新节点并更新最小生成树的时间复杂度为O(E α(V))，其中E是新加入边的数量，α(V)是Ackermann
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上一篇：加权无向图的实现 加权无向图----Prim算法实现最小生成树 数据结构： 用一条优先队列将边按照权重从小到大排序 用union-find数据结构来识别会形成环的边 用一条队列来保存最小生成树的所有边...Kruskal算法的计算一个含V个顶点和E条边的连通加权无向图的最小生成树所需空间与E成正比，所需时间与ElogE成正比（最坏情况）。...方法：将边都添加进最小优先权队列中，每次从中取出最小的边，检查会不会与已经选出的边构成环（使用union-find算法），如果构成环，则弃掉这条边，否则将这条边加入最小生成树队列。...for(Edge e: G.edges()) pq.insert(e);//将所有边添加进优先队列 UF uf = new UF(G.V()); //union-find...v = e.either(),w = e.other(v);//得到最小边的顶点 if(uf.connected(v, w)) continue;//判断会不会构成环
最小生成树的等价性：如果T是图G的一棵最小生成树，那么T中的每一条边都必须是图G中连接两个不同连通分量的最小边（基于当前的连通分量状态）。 3....算法正确性：由于我们确保了T中的边是按照它们在T中的顺序被添加的，并且每次添加的都是连接两个不同连通分量的最小边（这是Kruskal算法的要求），因此最终得到的必然是T。...{ sortedEdges =append(sortedEdges, e.Edge) } // 对非MST的边进行排序，这里简化为一个空操作，因为题目重点在于MST边 // 在实际应用中...智谱清言： 确实，Kruskal算法可能会因为边权重的相同以及排序方式的不同而返回不同的最小生成树，但所有这些生成树都具有相同的最小权重总和。...KruskalMST函数实现了Kruskal算法，它首先对边进行排序，然后使用并查集（Union-Find）数据结构来维护森林的状态，并构建最小生成树。
360智脑： 要证明对于图G的任何其他最小生成树T'，列表L也是T'中一个边权重的有序列表，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法的性质来证明这一点。这里我们以Kruskal算法为例进行证明。...Kruskal算法的基本思想是按照边的权重从小到大排序，然后依次选择权重最小的边加入生成树，但要保证不形成环。...• 因此，L中边权重的顺序在T'中也必须保持一致，以保证T'的最小生成树性质。 3. 代码示例 虽然证明是理论上的，但我们可以用Go语言编写一个简单的代码来验证这一性质。...Kruskal算法是一种构造MST的贪心算法，它按照边的权重从小到大的顺序考虑每条边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到当前的生成树中。 3....对于图G的任何其他最小生成树T'，由于所有MST具有相同的边权和，且Kruskal算法总是按照边权重的顺序来选择边，因此T'中的边也是按照权重从小到大的顺序加入的。 5.
- **使用最小堆优化**： - 初始化最小堆的时间复杂度为 $O(m)$。 - 每次从堆中取出最小边的操作是 $O(log m)$，需要执行 `n-1` 次。...**二、Kruskal 算法**- 主要步骤包括： - 对边进行排序，时间复杂度为 $O(m log m)$。 - 并查集操作，包括 `find` 和 `union` 操作。...- 在 `find` 操作中，使用路径压缩可以使 `find` 操作的平均时间复杂度接近 $O(1)$。 - `union` 操作在使用按秩合并优化时，其时间复杂度接近 $O(1)`。...- 比如，在一个森林火灾监测的传感器网络中，通过最小生成树算法优化传感器节点之间的连接，确保信息能高效传输，同时延长整个网络的生命周期，因为减少连接距离可以降低传感器的能量消耗。...- 最小生成树算法可用于确定节点之间的连接拓扑，减少节点间的通信成本和延迟。
生成树的定义：对于一个图G，获取G的边使得所有的顶点都连接到。最小生成树(MST Minimun spanning tree):给定图G(V,E),以及对应的边的权重，获取一颗总权重最小的生成树。...，会使得局部最优解最终也是全局最优解 寻找MST的最优子结构 假如边e={u,v}是某个MST的一条边，通过对合并这两个顶点为一个新的顶点(这种操作称作contract e)，将有多条边同时连接多个顶点的合并成一个权重最小的边保留...为 image.png 运行时间 在整个过程中，涉及V次的从优先级队列中获取最小值，以及边两倍次的减少key的值，所以总的时间为 image.png 使用斐波那契堆可以达到VlgV+E Kruskal's...算法 核心思想：全局最小的corssing cut边必定属于最小生成树，这个过程不能生成环，需要追踪两个节点是否已经互相连接了 追踪的数据结构是 Union-Find 结构，包含3个功能，Make-Set...函数 时间分析 image.png 在使用Union-Find数据结构的基础上能够做到时间为O(ElgE+Eα(V))，假设权重为正整数而且最大值是个常量，那么排序可以达到常量的时间，这个时候，算法所需要的时间就是
（起始点），Enew = {},为空； 3).重复下列操作，直到Vnew = V： a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边...中收的顶点不到|V|个 */ TotalWeight = ERROR; return TotalWeight; /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */ } kruskal...[1] 步骤编辑 新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边； 将原图中所有的边按权值从小到大排序； 从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；...证明编辑 这样的步骤保证了选取的每条边都是桥，因此图G构成一个树。 为什么这一定是最小生成树呢？关键还是步骤3中对边的选取。...算法中总共选取了n-1条边，每条边在选取的当时，都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边 要证明这条边一定属于最小生成树，可以用反证法：如果这条边不在最小生成树中，它连接的两个连通分量最终还是要连起来的
若再从剩余的m-k条边中选n-1-k条添加到生成森林中，使其成为G的生成树，并且选出的边的权值之和最小，则该生成树一定包含这m-k条边中连接生成森林的两个不连通节点的权值最小的边。...把森林视为一个大的节点，即可用之前的反证法证明其正确性。 Kruskal算法 利用推论，我们针对边进行处理。...使用并查集（Union-Find Set）完成这一步。 复习并查集： 把每个连通分量看作一个集合，该集合包含了连通分量中的所有点。...区别在于，Kruskal算法是通过对边的寻找连接两个非连通节点的最小权值的边；而prim则是通过对点的寻找去确定最小权值的边。 最初,prim算法仅确定1号节点属于最小生成树。...维护数组dis,dis[x]的含义为节点x与MST集合的连通的最小边权值。 算法步骤整理： 将1号节点加入MST集合。 遍历所有非MST集合的节点，并寻找dis值最小的。
(n int, edges []*Edge)[][]int{ // 假设用并查集来管理节点连接情况 // 这里为了简化，省略了并查集的实现 // 只需知道Kruskal算法会选择边权重最小的边，并检查是否形成环...:= kruskalMST(graph) printMST(mst) } 请注意，这只是一个示例，边的权重可以根据需求进行调整。...kimi： 在图论中，一个边的集合被称为最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST），如果它连接了图中的所有顶点，并且总权重最小。...请注意，上面的代码并没有实现一个完整的最小生成树算法，如Kruskal或Prim算法。FindMST函数只是一个占位符，用来表示在实际应用中你会使用这样的算法来找到最小生成树。...3. kruskalMST 函数：实现了Kruskal算法来找到最小生成树。该算法使用并查集（Union-Find）数据结构来检测和避免环。
，而是检查给定的边集合是否形成环 // 在实际应用中，对于正权重图，可以使用Kruskal或Prim算法 // 对于负权重图，寻找最小权重生成树通常不是一个定义良好的问题（除非有额外的限制，如边的数量限制...由于所有边的权重都是正值，所以在添加边的过程中不会出现负权重的情况，从而保证了生成树的唯一性。...因此，在这种情况下，我们不能保证任意一个连接所有结点且总权重最小的边集合必然形成一棵树。...请看下面例子： 考虑以下图 G： 1 A ------ B | \ | | \ | -2 | \ | C------ D 3 在这个图中，A、B、C、D 四个节点之间有如上所示连接...在存在负权重的情况下，Kruskal 算法可能不适用，需要使用其他算法来处理。 kimi： 这个问题涉及到图论中的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的概念。
四、假定图中的边权重全部为整数，且在范围$1 \sim |V|$内。在此种情况下，Kruskal算法最快能多快？如果边的权重取值范围在1到某个常数$W$之间呢？如果要写代码，请用go语言。...在排序边时，我们使用了标准的排序函数，而没有针对边权重范围进行优化。如果你想要针对特定的权重范围进行优化，你可能需要替换排序逻辑为更适合小范围整数的排序算法，如计数排序或桶排序。...智谱清言： Kruskal算法的时间复杂度主要由排序边的操作决定。在最坏的情况下，如果使用比较排序，其时间复杂度通常是(O(E \log E))，其中(E)是边的数量。...如果要处理权重范围在1到常数(W)之间的情况，排序部分的逻辑不需要改变，因为计数排序在这里同样适用。 天工： 对于Kruskal算法的性能优化，关键在于两个方面：排序和并查集操作。 1....:",Kruskal(edges, V)) } 注意，上述代码中Kruskal函数实现了Kruskal算法的逻辑，使用了计数排序对边进行排序，然后使用并查集找到最小生成树的权重总和。
概要 在我的上一篇文章最小生成树算法（上）——Prim(普里姆)算法 主要讲解对于稠密图较为合适的Prim算法。那么在接下里这片文章中我主要讲解对于稀疏图较为合适的Kruskal算法。...2）对最小堆进行删除操作，对得到的最小边的两顶点进行回路检测，若不存在回路，则把该边收录到最小生成树中。 3）当最小生成树中的边小于顶点个数-1且最小堆中还有边是一直重复操作2）。...} } //并操作 void Union(int root1 ,int root2){ root1 = this->Find(root1...(){ coutKruskal算法构造的最小生成树的边集合为："<<endl; cout权重"<<endl;...= -1){ coutKruskal算法生成的最小生成树的权重和为："<<endl; cout<<min_weight<<endl; graph.Print_Kruskal
要实现完整的Kruskal或Prim算法，你需要实现并查集来检查循环，或者使用适当的数据结构来追踪已包含在生成树中的边和节点。 讯飞星火： 首先，我们需要理解最小生成树的概念。...Kruskal算法会保证权重最小的边(u, v)被加入到最小生成树中，如果它不会形成环。...G，其中权重为0表示两个顶点之间没有直接连接。...通过Prim算法构建最小生成树，并输出每个顶点的父节点索引数组parent，即可得到边(u,v)是否在最小生成树中的信息。...根据Kruskal算法的步骤，我们可以得出以下结论： 1. 在处理权重最小的边(u,v)时，由于它是权重最小的边，所以在它之前不会有任何边被加入到最小生成树中。 2.
最小生成树是一个图的子集，包含图中的所有节点，并且是连通的，同时边的总权重最小。最小生成树的特点是没有回路，并且连接了图中的所有节点。 2....最小生成树算法 Kruskal算法 1. 什么是Kruskal算法？ 克鲁斯卡尔算法是一种用于求解最小生成树（MST）的贪心算法。...初始化：创建一个空的生成树，并初始化一个并查集（Union-Find）结构，用于检测图中的环。 选择边： 从权重最小的边开始，依次考虑每条边。...普利姆算法是一种用于求解最小生成树（MST）的贪心算法。它从一个节点开始，通过逐步选择连接已访问节点和未访问节点的最小权重边来扩展生成树，直到所有节点都被包含。 2....选择最小权重边：从优先队列中取出权重最小的边，并检查其连接的节点是否已在生成树中。 如果该节点已在生成树中，忽略这条边。
无环性：由于每次递归都是在子图内部寻找MST，并通过最小权重的横跨边连接两个子图的MST，因此最终生成的树中不可能存在环。 2. 最小权重：这是证明的关键。...由于G_1和G_2是G的子图，根据MST的性质，在G_1和G_2中分别求得的MST的权重不会大于T中对应子图部分的权重。再加上连接这两个子MST的最小权重横跨边，其总权重也不会超过T的总权重。...最小权重：算法形成的树的所有边的权重之和必须是最小的。 连通性 由于算法递归地在子图中计算最小生成树，并且在最后一步通过添加连接两个子集的最小权重边来保证所有顶点都被包含在内，因此连通性是满足的。...为了修正这个问题，我们需要在合并时使用并查集（Union-Find）数据结构来确保不会选择形成环的边。...注意，这个实现并没有使用分治策略，因为Kruskal算法本身就是一个贪心算法，它不需要递归地将图分成两部分。如果需要使用分治策略，可以在递归函数中实现类似的逻辑，并在合并时使用并查集来避免环的形成。
然而，如果图中存在负权边，就不能保证得到正确的最短路径，这时候需要使用其他算法，例如Bellman-Ford算法，来处理含有负权边的情况。...这样的操作会逐步扩展生成树，直到包含了所有的节点，形成最小生成树。 两种算法的选择依赖于具体的问题和数据结构。Kruskal算法更适用于稀疏图，而Prim算法更适用于稠密图。...T 在每对节点之间都有一条唯一的简单路径 最小生成树属性 最小生成树本质还是生成树，最重要的一条属性就是边权重之和最小，是最优情况下的生成树 贪心算法（涂色） 红色规则： 设C是一个没有红边的环...选取节点：从未访问的节点中选择一个与最小生成树中节点相邻且权重最小的节点，将其加入最小生成树，并将其标记为已访问。 更新权重：对于新加入最小生成树的节点，更新其与未访问节点之间的权重值。...Prim’s algorithm适用于稠密图，即节点之间的边相对较多的情况。在实现上，通常使用优先级队列（最小堆）来维护未访问节点的权重，并通过快速查找和更新节点的权重来加速算法的执行。
2、这些边形成的树要包含所有节点。 3、这些边的权重之和要尽可能小。 那么 Kruskal 算法是使用什么逻辑满足上述条件，计算最小生成树的呢？...首先，Kruskal 算法用到了贪心思想，来满足权重之和尽可能小的问题： 先对所有边按照权重从小到大排序，从权重最小的边开始，选择合适的边加入mst集合，这样挑出来的边组成的树就是权重和最小的。...其次，Kruskal 算法用到了 Union-Find 并查集算法，来保证挑选出来的这些边组成的一定是一棵「树」，而不会包含环或者形成一片「森林」： 如果一条边的两个节点已经是连通的，则这条边会使树中出现环...是的，这是最简单的「切分」，而且「横切边」也很好确定，就是这个节点的边。...」成为可能： 在进行切分的过程中，我们只要不断把新节点的邻边加入横切边集合，就可以得到新的切分的所有横切边。
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