PS：一般来说，我们都是在无向加权图中计算最小生成树的，所以使用最小生成树算法的现实场景中，图的边权重一般代表成本、距离这样的标量。...在讲 Kruskal 算法之前，需要回顾一下 Union-Find 并查集算法。...前文 Union-Find 并查集算法运用 介绍过 Union-Find 算法的一些算法场景，而它在 Kruskal 算法中的主要作用是保证最小生成树的合法性。...因为在构造最小生成树的过程中，你首先得保证生成的那玩意是棵树（不包含环）对吧，那么 Union-Find 算法就是帮你干这个事儿的。 怎么做到的呢？...时间复杂度主要耗费在排序，需要O(ElogE)的时间，Union-Find 算法所有操作的复杂度都是O(1)，套一个 for 循环也不过是O(E)，所以总的时间复杂度为O(ElogE)。
上一篇：加权无向图的实现 加权无向图----Prim算法实现最小生成树 数据结构： 用一条优先队列将边按照权重从小到大排序 用union-find数据结构来识别会形成环的边 用一条队列来保存最小生成树的所有边...Kruskal算法的计算一个含V个顶点和E条边的连通加权无向图的最小生成树所需空间与E成正比，所需时间与ElogE成正比（最坏情况）。...方法：将边都添加进最小优先权队列中，每次从中取出最小的边，检查会不会与已经选出的边构成环（使用union-find算法），如果构成环，则弃掉这条边，否则将这条边加入最小生成树队列。...for(Edge e: G.edges()) pq.insert(e);//将所有边添加进优先队列 UF uf = new UF(G.V()); //union-find...v = e.either(),w = e.other(v);//得到最小边的顶点 if(uf.connected(v, w)) continue;//判断会不会构成环
生成树的定义：对于一个图G，获取G的边使得所有的顶点都连接到。最小生成树(MST Minimun spanning tree):给定图G(V,E),以及对应的边的权重，获取一颗总权重最小的生成树。...，会使得局部最优解最终也是全局最优解 寻找MST的最优子结构 假如边e={u,v}是某个MST的一条边，通过对合并这两个顶点为一个新的顶点(这种操作称作contract e)，将有多条边同时连接多个顶点的合并成一个权重最小的边保留...为 image.png 运行时间 在整个过程中，涉及V次的从优先级队列中获取最小值，以及边两倍次的减少key的值，所以总的时间为 image.png 使用斐波那契堆可以达到VlgV+E Kruskal's...算法 核心思想：全局最小的corssing cut边必定属于最小生成树，这个过程不能生成环，需要追踪两个节点是否已经互相连接了 追踪的数据结构是 Union-Find 结构，包含3个功能，Make-Set...函数 时间分析 image.png 在使用Union-Find数据结构的基础上能够做到时间为O(ElgE+Eα(V))，假设权重为正整数而且最大值是个常量，那么排序可以达到常量的时间，这个时候，算法所需要的时间就是
（起始点），Enew = {},为空； 3).重复下列操作，直到Vnew = V： a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边...中收的顶点不到|V|个 */ TotalWeight = ERROR; return TotalWeight; /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */ } kruskal...[1] 步骤编辑 新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边； 将原图中所有的边按权值从小到大排序； 从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；...证明编辑 这样的步骤保证了选取的每条边都是桥，因此图G构成一个树。 为什么这一定是最小生成树呢？关键还是步骤3中对边的选取。...算法中总共选取了n-1条边，每条边在选取的当时，都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边 要证明这条边一定属于最小生成树，可以用反证法：如果这条边不在最小生成树中，它连接的两个连通分量最终还是要连起来的
若再从剩余的m-k条边中选n-1-k条添加到生成森林中，使其成为G的生成树，并且选出的边的权值之和最小，则该生成树一定包含这m-k条边中连接生成森林的两个不连通节点的权值最小的边。...把森林视为一个大的节点，即可用之前的反证法证明其正确性。 Kruskal算法 利用推论，我们针对边进行处理。...使用并查集（Union-Find Set）完成这一步。 复习并查集： 把每个连通分量看作一个集合，该集合包含了连通分量中的所有点。...区别在于，Kruskal算法是通过对边的寻找连接两个非连通节点的最小权值的边；而prim则是通过对点的寻找去确定最小权值的边。 最初,prim算法仅确定1号节点属于最小生成树。...维护数组dis,dis[x]的含义为节点x与MST集合的连通的最小边权值。 算法步骤整理： 将1号节点加入MST集合。 遍历所有非MST集合的节点，并寻找dis值最小的。
概要 在我的上一篇文章最小生成树算法（上）——Prim(普里姆)算法 主要讲解对于稠密图较为合适的Prim算法。那么在接下里这片文章中我主要讲解对于稀疏图较为合适的Kruskal算法。...2）对最小堆进行删除操作，对得到的最小边的两顶点进行回路检测，若不存在回路，则把该边收录到最小生成树中。 3）当最小生成树中的边小于顶点个数-1且最小堆中还有边是一直重复操作2）。...} } //并操作 void Union(int root1 ,int root2){ root1 = this->Find(root1...(){ cout<<"Kruskal算法构造的最小生成树的边集合为："<<endl; cout<<"源点\t终点\t权重"<<endl;...= -1){ cout<<"Kruskal算法生成的最小生成树的权重和为："<<endl; cout<<min_weight<<endl; graph.Print_Kruskal
然而，如果图中存在负权边，就不能保证得到正确的最短路径，这时候需要使用其他算法，例如Bellman-Ford算法，来处理含有负权边的情况。...这样的操作会逐步扩展生成树，直到包含了所有的节点，形成最小生成树。 两种算法的选择依赖于具体的问题和数据结构。Kruskal算法更适用于稀疏图，而Prim算法更适用于稠密图。...T 在每对节点之间都有一条唯一的简单路径 最小生成树属性 最小生成树本质还是生成树，最重要的一条属性就是边权重之和最小，是最优情况下的生成树 贪心算法（涂色） 红色规则： 设C是一个没有红边的环...选取节点：从未访问的节点中选择一个与最小生成树中节点相邻且权重最小的节点，将其加入最小生成树，并将其标记为已访问。 更新权重：对于新加入最小生成树的节点，更新其与未访问节点之间的权重值。...Prim’s algorithm适用于稠密图，即节点之间的边相对较多的情况。在实现上，通常使用优先级队列（最小堆）来维护未访问节点的权重，并通过快速查找和更新节点的权重来加速算法的执行。
2、这些边形成的树要包含所有节点。 3、这些边的权重之和要尽可能小。 那么 Kruskal 算法是使用什么逻辑满足上述条件，计算最小生成树的呢？...首先，Kruskal 算法用到了贪心思想，来满足权重之和尽可能小的问题： 先对所有边按照权重从小到大排序，从权重最小的边开始，选择合适的边加入mst集合，这样挑出来的边组成的树就是权重和最小的。...其次，Kruskal 算法用到了 Union-Find 并查集算法，来保证挑选出来的这些边组成的一定是一棵「树」，而不会包含环或者形成一片「森林」： 如果一条边的两个节点已经是连通的，则这条边会使树中出现环...是的，这是最简单的「切分」，而且「横切边」也很好确定，就是这个节点的边。...」成为可能： 在进行切分的过程中，我们只要不断把新节点的邻边加入横切边集合，就可以得到新的切分的所有横切边。
加权、连通和无向图的最小生成树 (MST) 是权重（成本）小于或等于其他所有生成树权重的生成树。生成树的权重是赋予生成树每条边的权重之和。 它们是做什么用的？...特性 作为一棵树，具有 n 个顶点的图的 MST 具有 n-1 条边；可以使用以下方法解决： Prim 算法 — 密集图的最佳选择（具有 n 个节点且边数接近n(n-1)/2)的图）； Kruskal...作为一种 DAC 方法，您连续将 DS 分成两半，并将搜索中的值与中间元素的值进行比较。如果它们相等，则搜索结束。无论哪种方式，如果您的值大于/小于它，搜索应该继续在右/左半部分。...该算法的方法如下：我们按权重的递增顺序对所有边进行排序。然后，选取最小的边。如果它不与当前 MST 形成循环，我们将其包括在内。否则，丢弃它。重复最后一步，直到 MST 中有 |V|-1 条边。...将边包含到 MST 中是使用 Disjoint-Set-Union 完成的，这也在前面讨论过。 15.
比如下面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，分别用 0~9 标记： 现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API： class UF { /* 将 p 和 q 连接...，就可以保证树的生长相对平衡，树的高度大致在logN这个数量级，极大提升执行效率。...2、用size数组记录着每棵树的重量，目的是让union后树依然拥有平衡性，保证各个 API 时间复杂度为 O(logN)，而不会退化成链表影响操作效率。...3、在find函数中进行路径压缩，保证任意树的高度保持在常数，使得各个 API 时间复杂度为 O(1)。使用了路径压缩之后，可以不使用size数组的平衡优化。 下面我们看一些具体的并查集题目。...其实用 Union-Find 算法解决这个简单的问题有点杀鸡用牛刀，它可以解决更复杂，更具有技巧性的问题，主要思路是适时增加虚拟节点，想办法让元素「分门别类」，建立动态连通关系。
引言 最小生成树（ Minimum Spanning Tree ， MST ）是图论中的一个重要问题，涉及到在一个加权连通图中找到一棵包含所有节点且边的权重之和最小的树。...找到一个子图，这个子图是原图的一颗树，包含了所有的节点。 保证这颗树的边的权重之和最小。 最小生成树问题的解可以有多个，但它们都具有相同的特点：包含了所有节点，但是边的权重之和最小。...通常情况下， Prim 算法在稠密图上效果更好，因为它以节点为中心，适合于连接较多节点的情况。而 Kruskal 算法在稀疏图上通常更快，因为它以边为中心，适合于连接较少节点但边比较多的情况。...可以根据实际情况选择合适的算法。在某些应用中，还可以进行算法的优化，例如使用堆（ heap ）数据结构来加速 Prim 算法。 5....我们可以将城市的建筑物看作图中的节点，将建筑物之间的距离或建设成本看作边的权重。
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普利姆（Prim）算法是解决最小生成树问题的两种著名算法。 最小生成树（MST） 最小生成树是指在一个加权连通图中寻找一棵包含图中所有顶点且总边权值最小的生成树。...克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 克鲁斯卡尔算法是基于贪心策略的。它的基本思想是将图中的边按照权重从小到大排序，然后按顺序选取边构造最小生成树，但在选择时需要确保不形成环路。...动态规划 普利姆算法在选择下一条加入生成树的边时，依据的是什么？ A. 边的长度，不考虑是否形成环 B. 连接生成树和非生成树顶点的最小边 C. 最短的边，不论其连接的顶点 D....克鲁斯卡尔算法采用贪心策略，按边的权重从小到大排序后选择，以此构造最小生成树。 答案：B。普利姆算法在每一步选择连接生成树和非生成树顶点的最小边。 答案：C。...如果所有边权重都不相同，那么最小生成树是唯一的。 答案：B。普利姆算法更适合处理稠密图，因为其时间复杂度与边的数量有关。 答案：B。在使用普利姆算法时，初始时生成树包含1个顶点。 答案：C。
这道题直接暴力，使用一个map就搞定了，只需要当前元素塞入map中，判断当前是否在map中，在map中就先拼接一个文件名，注意这里是将map的val进行拼接，这样可以记录遍历过程中的文件重复次数，最后一点就是把新得到的文件塞入...edges ，其中 edges[i] = [from``i, toi, weighti] 表示在 fromi 和 toi 节点之间有一条带权无向边。...最小生成树 (MST) 是给定图中边的一个子集，它连接了所有节点且没有环，而且这些边的权值和最小。 请你找到给定图中最小生成树的所有关键边和伪关键边。...[x]) return x; return uf[x] = find(uf[x]); } void union_ab(int a,int b) { // 将两个节点进行合并...public: /** * 使用kruskal算法得到最小生成树 * 关键边：若已有的最小生成树权值与不使用第i条边得到的权重不一样，则i是关键边 * 伪关键边：若已有的最小生成树权值与不适用第
隐藏与 Union-find 不相关的细节；可以使用整数快速获取与对象相关的信息（数组的下标）；可以使用符号表对对象进行转化。 简化有助于我们理解连通性的本质。...你可能需要回溯一棵瘦长的树（斜树），每个对象只是指向下一个节点，那么对叶子节点执行一次查找操作，需要回溯整棵树，只进行查找操作就需要花费 N 次数组访问，如果操作次数很多的话这就太慢了。...Find 操作： Union 操作： Union-Find Union-Find 算法是在 Weighted Quick-Union 的基础之上进一步优化，即路径压缩的 Weighted Quick-Union...Weighted Quick-Union 算法通过对 Union 操作进行加权保证 Quick-Union 算法可能出现的 “瘦高” 情况发生。...也就是，WQUPC 算法的每个操作在最坏情况下（即均摊后）都不是常数级别的，而且不存在其他算法能够保证 Union-Find 算法的所有操作在均摊后都是常数级别。
若再从剩下的 m-k 条边中选 n-1-k 条添加到生成森林中，使其成为 G 的生成树，并且保证后选的边权值之和最小，则该生成树一定包含这 m-k 条边中连接生成森林的两个不连通节点的权值最小的边。...算法证明： 要证明Kruskal算法生成的是最小生成树，我们分两步来证明： （1）Kruskal算法一定能得到一个生成树； （2）该生成树具有最小代价。...假设 a_1 大于 x_i，按照Kruskal算法，首先考虑代价小的边，则执行Kruskal算法时，x_i应该是在a_1,a_2,…,a_m之前考虑，所以考虑 x_i 之前，K 中的边只能是 E 中的边...任意时刻，设已确定属于最小生成树的点集为T,剩余其他节点的集合为S。每次在S中找与集合T距离最小的点x，距离的定义为：节点x与集合T中的节点之间权值最小的边的权值。...具体流程： 维护一个数组d：若x∈S，则d[x]表示节点x到集合T的距离。若x∈T，则d[x]就等于x被加入到T时选出的最小边的权值。 用一个sta数组标记节点是否属于T。
道路 i 连接城市 A 和城市 B 。 Snuke 可以执行以下操作 0 次或更多次。 选择两个没有直接连接道路的不同城市，并在它们之间建造一条道路。...Union-Find 说到组，Union-Find。Union-Find 允许对连接的组件进行有效分组。...具体来说，对于每条边 (u,v)， 代码 uf.merge(u, v); 最后，在计算组数时，请执行以下操作： Union-Find 中的每个组都是一棵有根树 因此，在Union-Find的元素中找到...并查集（Union-Find） Union-Find是将每一组视为一棵树的数据结构，通过两个顶点所属的树的根是否相同来判断两个顶点是否在同一个组中。...在 C++ 的情况下，可以使用 ACL dsu 轻松实现，可以通过包含 atcoder/all 或 atcoder/dsu 来使用。
前面我们在寻找一个节点的临边时，采用的策略就是寻找 ID 和所选择的这个节点的 ID 最接近的顶点；而在求解最小生成树的过程中，我们不再选择 ID 最小的邻居，而是选择权重最小的边。...然后在进行缩图时，压缩后的图中某条边的权值等于该边代表的所有边的权值的最小值。其实这就相当于将两个连通分量用其之间权重最小的那条边连接起来了。...王：非常好，当树加入边每一条被合并的边时，实际上加入了可以连接两个连通分量的最小边，而这同时也保障了不会出现两条连通分量被两条边连着。...在每一次迭代中，我们要去找连接两个连通分量的最小边，要对边集合E进行排序。综合起来，I/O 复杂度也是 ? 。 下面总结一下所提到的图算法给我们的一些启发。...时间前向处理技术的思想是，将图问题转化为有向无回路图的估值问题，然后我们就可以利用最经典的表排序方法或者是DAG 估值方法进行求解了。
生成树：在图中找一棵包含图中的所有节点的树，生成树是含有图中所有顶点的无环连通子图。所有可能的生成树中，权重和最小的那棵生成树就叫最小生成树。...在无向加权图中计算最小生成树，使用最小生成树算法的现实场景中，图的边权重一般代表成本、距离这样的标量。...kruskal 这里就用到了贪心思路：将所有边按照权重从小到大排序，从权重最小的边开始遍历，如果这条边和mst中的其它边不会形成环，则这条边是最小生成树的一部分，将它加入mst集合；否则，这条边不是最小生成树的一部分...，不要把它加入mst集合。..._(edges[i].f,edges[i].t ); } cout<< weight; return 0; } Prim 在图中进行广度搜索，使用优先队列存储边的信息。
1 什么是最小生成树 在给定一张无向图，如果在它的子图中，任意两个顶点都是互相连通，并且是一个树结构，那么这棵树叫做生成树。当连接顶点之间的图有权重时，权重之和最小的树结构为最小生成树！...最小生成树 如上图所示，一幅两两相连的图中，找到一个子图，连接到所有的节点，并且连接边的权重最小（也就是说边的数量也是最小的，这也保证了其是树结构）. 2 Kruskal算法（克鲁斯卡算法） Kruskal...并查集实现和详解 对所有节点遍历建立并查集，按照边的权重建立最小堆 取出最小堆堆顶数据，并判断两端节点是否在同一集合 如不在，则将这两个节点添加到同一集合，接着将边加入生成边，如在，则不进行操作，为无效边...（普里姆算法） Prim算法是另一种贪心算法，和Kruskal算法的贪心策略不同，Kruskal算法主要对边进行操作，而Prim算法则是对节点进行操作，每次遍历添加一个点，这时候我们就不需要使用并查集了...由于Kruskal算法是对边进行操作，先取出边，然后判断边的两个节点，这样的话，如果一个图结构非常的稠密，那么Kruskal算法就比较慢了，而Prim算法只是对节点进行遍历，并使用set进行标记，因此会相对于
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