输入：grid = [[4,3,2,-1],[3,2,1,-1],[1,1,-1,-2],[-1,-1,-2,-3]] 输出：8 解释：矩阵中共有 8 个负数。...} } return count; } } 第一个for循环控制行,...第二个while循环来二分查找, 让Low=high 结束找到第一个负数开始出现的下标(此时 Low=high=第一个负数下标), 让count+(总长度-low)
用go语言，已知一个n*n的01矩阵， 只能通过通过行交换、或者列交换的方式调整矩阵， 判断这个矩阵的对角线是否能全为1，如果能返回true，不能返回false。...我们升级一下: 已知一个n*n的01矩阵， 只能通过通过行交换、或者列交换的方式调整矩阵， 判断这个矩阵的对角线是否能全为1，如果不能打印-1。 如果能，打印需要交换的次数，并且打印怎么交换。...灵捷3.5 大体步骤如下： 1.遍历矩阵的每一行和每一列，统计每行和每列的1的个数。...2.如果某一行或某一列的1的个数超过n/2（n为矩阵的大小），则无法通过交换操作使得对角线上的元素全为1，直接输出-1。...7.最后，检查矩阵的对角线是否全为1： • 逐行遍历矩阵，如果某一行的对角线元素不为1，则说明无法满足条件，输出-1。
在3D计算中采用的是4元坐标系，因此在计算模型变换的时候采用的是4*4的方阵，矩阵结构中，元素编号按先行后列排列，在编程语言中可以用数组储存，使用循环计算，为便于坐标的批量处理，在绘制和计算一个三维模型前...矩阵结构如下。（二维平面则使用3X3的矩阵，原理相同）。 该结构图中的每个元素都给定了一个编号，编号的代码分别代表行和列。 4....矩阵中的数据排列可以使用列矩阵，也可以使用行矩阵，但在做乘法时必须要行列交叉做乘积，OPENGL中使用列矩阵。...矩阵相乘的计算公式分解： 复合矩阵计算方式为，将左边的矩阵M的每个行元素与右边矩阵N的每列元素进行点乘运算就是新矩阵C的对应的元素。...计算顺序为，M由上边第一行开始，提取每行的4个元素，分别与N中左边第一列开始，提取的4个元素进行点乘运算，运算结果放在C中，并从上到下，从左到右排列，编程时采用双重循环。
根据矩阵相乘的运算法则，这个结论很容易被推广到一般情况： 设我们有m个n维数据记录，将其按列排成n乘m的矩阵X，设 ?...换句话说，优化目标变成了寻找一个矩阵P，满足PCPT是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么P的前K行就是要寻找的基，用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维并满足上述优化条件。...P是协方差矩阵的特征向量单位化后按行排列出的矩阵，其中每一行都是C的一个特征向量。...1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X 2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值 3）求出协方差矩阵 ?...4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量 5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P 6）Y=PX即为降维到k维后的数据 实例 这里以上文提到的 ?
,因此该向量已经在列空间之中)。 如何求 ? , ? 可知 ? 也就是说 ? 已经在列空间之中，因此 ? 使用最小二乘拟合直线， ? 。 设 ?...的迹 矩阵的迹即为对角线元素之和，也为特征值之和，因此 ? 已知 ? ，求 ? 的特征值 ? 可以发现 ? 是奇异矩阵，因为第三行和第一行相关。...由此根据投影矩阵的计算公式来计算 ? 求将 ? 投影到列空间的投影矩阵 因为 ? 是可逆矩阵，即其列空间就是整个空间，因此投影矩阵不对 ? 做变化，即投影矩阵为单位阵 ?...中的非 0 项，并求解行列式的值。 求余子式 ? 求解 ? 的第一列 解答 因为在行列式公式中列标的序号是不同的，并且矩阵第三行和第四行存在为 0 的项，因此列标序号的排列只能是 ?...的排列的合成，也就是 ? 项, 分别为 ? ? 对于矩阵的逆，根据下列公式可以知道，求解逆的第一列，正好可以利用好第二问得到的余子式 ? 即可以得到 ?
数组的长度是固定的，一旦定义后，就不能再改变。 矩阵（Matrix）是一个具有行和列的二维数组。它是由一组具有相同元素类型的数据按照行和列的方式排列组成的。...假设有一个3行2列的数组： [[1, 2], [3, 4], [5, 6]] 行向量形式表示时，将每一行都排列在一行中： [1, 2, 3, 4, 5, 6] 列向量形式表示时，将每一列都排列在一列中...矩阵可以用于表示线性方程组、矩阵乘法、求特征值和特征向量等数学运算。通过矩阵运算，可以解决线性方程组、最小二乘拟合、最优化等问题。 在编程中，矩阵通常用二维数组来表示。...三元组结构是一种常用的存储矩阵的方式，它将矩阵中的每个非零元素存储为一个三元组，包括该元素的行索引、列索引和值。...通常情况下，三元组结构中的元素按矩阵的行优先的方式进行存储，即先按行遍历矩阵，再按列遍历。因此，三元组结构的存储方式会将矩阵中的非零元素按照行的顺序排列，并保持它们在矩阵中的相对位置不变。
1 普通方阵的矩阵分解（EVD） 我们知道如果一个矩阵 A 是方阵，即行列维度相同（mxm），一般来说可以对 A 进行特征分解： 其中，U 的列向量是 A 的特征向量，Λ 是对角矩阵，Λ 对角元素是对应特征向量的特征值...u1=[0.81649658 0.57735027]；特征值 λ2=0.58578644，对应的特征向量 u2=[-0.81649658 0.57735027]，特征向量均为列向量。...0.85065081]，特征向量均为列向量。...因此，我们就可以分别对上面的方阵进行分解： 其中，Λ1 和 Λ2 是对焦矩阵，且对角线上非零元素均相同，即两个方阵具有相同的非零特征值，特征值令为 σ1, σ2, ... , σk。...Λ 并不是方阵，其维度为 mxn，Λ 对角线上的非零元素就是 A 的特征值 λ1, λ2, ... , λk。
排列数公式就是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。...排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。加法原理和乘法原理是排列和组合的基础。 排列数: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数。...=5×4×3×2×1=120 C：Combination 组合 P：Permutation排列 (现在教材为A-Arrangement) 推导过程 求排列数 可以按依次填m个空位来考虑：假定有排好顺序的...现在给你一个ai行aj列的矩阵和一个bi行bj列的矩阵， 要你求出他们相乘的积（当然也是矩阵）。 ...第1行：ai 和 aj 第2~ai+2行：矩阵a的所有元素 第ai+3行：bi 和 bj 第ai+3~ai+bi+3行：矩阵b的所有元素 输出格式 输出矩阵a和矩阵b的积（矩阵c)
将普通矩阵分解为奇异向量和奇异值，对于一个m x n的矩阵A，其奇异值分解可以表示为： A = UΣV^T 其中，U是一个m x m的正交矩阵，Σ 是一个m x n的矩阵，其对角线上的元素称为奇异值，...Σ对角线上的元素被称为A的奇异值。 U的列向量：左奇异向量 V的列向量：右奇异向量 对角阵不是方阵，这说法头一次见，如何确定Σ的元素？...AA^T、A^TA 的特征值相同，假设特征值为 λ_1、λ_2、λ_3 ，Σ中元素为 σ_1、σ_2、σ_3 σ_1 = \sqrt{\lambda_1} 同理： σ_2 = \sqrt{\lambda...视频在数学预备知识这部分讲得稀烂，没有复看的价值。】 Σ_{ii} = σ_i ，其他未知元素均为0，常将奇异值按降序排列，确保Σ的唯一性。 如何求解U？...最小二乘问题：在机器学习中，最小二乘问题是一种常见的问题，例如在线性回归中，目标是最小化预测值与实际值之间的误差。在这种情况下，可以使用广义逆矩阵来求解最小二乘问题，从而提高模型的拟合效果。
矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。 在MATLAB中，矩阵元素按列存储。...2．矩阵拆分 利用冒号表达式获得子矩阵： (1) A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。...(4) 托普利兹矩阵托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。...S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。...(2) 直接创建稀疏矩阵 S=sparse(i,j,s,m,n)，其中i 和j 分别是矩阵非零元素的行和列指标向量，s 是非零元素值向量，m，n 分别是矩阵的行数和列数。
在前面的篇幅中，我们简单的介绍过矩阵的定义，按照原计划本来，今天准备写特征分解以及奇异值分解，但是发现这其中涉及到比较多的矩阵相关的知识，所以在讨论这些问题之前，我们先来学习一下矩阵以及线性空间、线性变换等矩阵的知识...在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，详细的定义可以参考人工智能AI（2）：线性代数之标量、向量、矩阵、张量。...转置 把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵 ，这一过程称为矩阵的转置 矩阵的转置满足以下运算律： 乘法 两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。...直观上可以理解为给元素装配了加法和数乘的非空集合。...4, 有逆元：对任意u∈v∈u + v=0 3）给元素装配数乘（数值与元素乘法） 然后给中的元素装配上数乘，满足数乘的4个基本属性(选择一个数域,记a,b为其中任意数值) 1.
5.2 矩阵 矩阵的数乘是把数逐项乘到矩阵的元素上，矩阵的加减是矩阵间的主元素加减，矩阵相乘是行列对应项相乘再相加，具体效果如下图，矩阵相乘是矩阵最常见的运算，要牢记矩阵乘法没有交换率，也就是左乘右乘结果通常不同...，正交矩阵的特点是矩阵每列向量的长度为1且与其他向量正交(相乘为0)。.../列的元素，逐元素与其对应的代数余子式相乘并求和。...首先由矩阵中每个元素的对应代数余子式组成的新矩阵的转置矩阵称为原矩阵的伴随矩阵，记为A*，而这个伴随矩阵数乘原矩阵行列式的倒数得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵，矩阵和它的逆矩阵相乘会得到单位矩阵I。...首先将特征值排列为对角矩阵D，然后按照特征值排列的顺序将特征列向量排列为矩阵Q，前面我们知道特征值分解是为了将矩阵拆解为【旋转-缩放-反旋转】三个矩阵连乘，此处我们已经有了旋转矩阵Q，缩放矩阵D，还差反旋转矩阵
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式....推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．...性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和....性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 2.6 计算行列式的方法 1）利用定义 2）利用性质把行列式化为上三角形行列式...克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导． 2.8 行列式按行(列)展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
) 与矩阵有关的基本操作 生成m行n列的0矩阵 M = matrix(0,c(m,n)) 按行合并矩阵X和Y形成新矩阵M。...(X和Y列数需相同） > M = rbind(X,Y) 按列合并矩阵X和Y形成新矩阵M。...(矩阵型) > M[i,,drop = FALSE] 删除第i行 > M = M[-i,] 矩阵M第j列 > M[,j] 矩阵M第i行j列元素 > M[i,j] 矩阵M的转置。...若M为数值型向量，则t(M)为矩阵型行向量 > t(M) 矩阵X乘矩阵Y。若Y是数值型的向量，R会自动判断其为行向量还是列向量。...加、减、除、求余的规则和乘相同，即相同位置的元素进行运算 > X*Y 求矩阵M的特征值和特征向量 > eigen(M)$val > eigen(M)$vec 矩阵M求逆 > solve(M) 求解线性方程
也可以采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存 储，先第一列，再第二列，依次类推。...2．矩阵拆分 利用冒号表达式获得子矩阵： (1) A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。...(4) 托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。...S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标，该函数 建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。 此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。...(2) 直接创建稀疏矩阵 S=sparse(i,j,s,m,n)，其中i 和j 分别是矩阵非零元素的行和列指标向量，s 是非零元素值向量，m，n 分别是矩阵的行数和列数。
矩阵及其运算 矩阵一般是一个 m 行 n 列的矩形阵列，一般的表达方式如下图所示： ? 矩阵中每个元素都有 m 和 n 两个下标，分别代表行和列的位置，所以矩阵也可以通过索引直接定位元素的值。...矩阵的乘运算也有两种形式： 第一种是两个形状一样的矩阵的对应位置分别相乘 ? 第二种是矩阵乘法。...设 a 为 m 行 p 列的矩阵，b 为 p 行 n 列的矩阵，相乘的结果为一个 m 行 n 列的新矩阵，其中第 i 行第 j 列（1≤i≤m,1≤j≤n）的元素为： ? ?...可以看出：每个新的元素都是由一个行向量和一个列向量做点乘之后生成的 import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[5,6]...每个新的元素都是由一个行向量和一个列向量做点乘之后生成 ?
矩阵的元素用带小标的小写字母表示。例如，对于矩阵A， ? 是其第 i 行第 j 列的元素。行自上而下编号，列自左向右编号，编号从1开始。例如， ? 是矩阵A的第2行第1列的元素。...注意最后一行，即使value为0也要包含此行，它指出了矩阵的维度，而且指示矩阵的第4行与第7列的元素值都是0。...，第三个参数的值只能是1或2，分别表示按行或列求和。...如果我们有一个nX1列向量u，则我们可以把mXn矩阵A被该向量右乘看作u到m维列向量v=Au的变换。类似地，如果我们用一个（行）向量 ? 左乘A，则我们可以将它看作u到n维行向量v=uA的变换。...设矩阵 ? ，在A中任取 k 行 k 列交叉处元素按原相对位置组成的 k 阶行列式，称为A的一个 k 阶子式。mXn矩阵A共有 ? 个 k 阶子式。
我们归纳得到：设我们有 m个 n维数据记录，将其按列排成 n乘 m的矩阵 X，设 C = \frac{1}{m}XX^T，则 C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个特征的方差，而第 i行 j列和 j行 i...换句话说，优化目标变成了寻找一个矩阵 P，满足 PCP^是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么 的前 行就是要寻找的基，用 的前 行组成的矩阵乘以 就使得 从 维降到了 维并满足上述优化条件...其中， D为对角矩阵，我们可以得到： 。 P是协方差矩阵$C$的特征向量单位化后按行排列出的矩阵，其中每一行都是 C的一个特征向量。...1）将原始数据按列组成 n行 m列矩阵 X 2）将 X的每一行（代表一个特征）进行零均值化，即减去这一行的均值 3）求出协方差矩阵 C=\frac{1}{m}XX^ 4）求出协方差矩阵 C的特征值及对应的特征向量...5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前 k行组成矩阵 P 6） Y=PX即为降维到 k维后的数据 8.PCA代码实践 我们这里直接使用python机器学习工具库scikit-learn
乘是封闭的，所以依然是一个环），这个偶数环是整数环的一个子环； 对于n阶实数矩阵环，其所有的非对角线上的值全为0的n阶矩阵在矩阵加法、矩阵乘法上也构成了原矩阵环的一个子环，很明显，对于a、b两个矩阵...Im 0mx(n-m) 0(n-m)xm 0(n-m)x(n-m) I1 0 * Im 0 = ...有了这个方阵，则可以通过行变换、列变换变换到任何只有一个元素不为0的方阵， 再通过加法，可以得到所有的n阶方阵。 从而该理想其实包含该环中所有方阵。 ...其实实数域矩阵环是存在非平凡的左理想和右理想的： 比如第一行之外其他行全为0的方阵构成一个左理想，第一列之外其他行全为0的方阵构成一个右理想。 ...a和B上的一个元素b做加法得的a+b所在的类； 商环上定义的乘法为：商环里的两个类A和B，A+B的结果是A上的一个元素a和B上的一个元素b做乘法所得的ab所在的类。
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