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估计参数的方法：最大似然估计、贝叶斯推断

一、最大似然估计 假设有3个数据点，产生这3个数据点的过程可以通过高斯分布表达。这三个点分别是9、9.5、11。我们如何计算高斯分布的参数μ 、σ的最大似然估计？...对以上表达式求导以找到最大值。在这个例子中，我们将寻找均值μ的MLE。为此，我们求函数关于μ的偏导数： ? 最后，我们将等式的左半部分设为0，据μ整理等式得到： ? 这样我们就得到了μ的最大似然估计。...同理，我们可以求得σ的最大似然估计 为什么是最大似然，而不是最大概率？ 这只是统计学家在卖弄学问（不过他们的理由很充分）。大部分人倾向于混用概率和似然，但是统计学家和概率论学者区分了两者。...上面的等式意味着给定参数得到数据的概率等于给定数据得到参数的似然。然而，尽管两者相等，似然和概率根本上问的是不同的问题——一为数据，一为参数。这就是这一方法叫做最大似然而不是最大概率的原因。...贝叶斯推断 首先，（在统计学上）推断是推理数据的种群分布或概率分布的性质的过程。上面说的最大似然其实就包含了这一过程。我们基于观察到的一组数据点决定均值的最大似然估计。

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【案例】最大似然估计、最大后验估计以及贝叶斯参数估计的联系和区别

最大似然估计 一种方法是找到能最大化观测数据的似然函数（即 P(D;h)）的参数 h 的值。...这是被称为「最大似然估计」的最常用的参数估计方法。通过该方法，我们估计出 h=1.0。 但是直觉告诉我们，这是不可能的。...对于这个投硬币的例子来说，如果使用非常特殊的共轭先验分布，就可以绕过这个问题。 最大后验估计 但实际上，我们可以抛开归一化常数 P(D) 以更巧妙的方式讨论 p(h|D)。...也就是说归一化常数不改变分布的相对大小，我们可以在不做积分的情况下找到模式： 这就是人们所熟知的最大后验估计（MAP）。有很多种方法可以算出变量 h 的确切值，例如：使用共轭梯度下降法。...贝叶斯参数估计 有了最大后验估计，可以通过先验分布来引入我们的直觉，并且忽略归一化积分，从而得到后验分布模式下的关于 h 的点估计。 但是如果我们试着用近似方法求积分呢？

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【数据挖掘】主题模型的参数估计-最大似然估计（MLE）、MAP及贝叶斯估计

有了主题模型和相应的模型参数，我们可以有很多重要的应用，比如文本特征降维、文本主题分析等等。本文主要介绍文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。...1、最大似然估计MLE 首先回顾一下贝叶斯公式 这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即 最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做...以扔硬币的伯努利实验为例子，N次实验的结果服从二项分布，参数为P，即每次实验事件发生的概率，不妨设为是得到正面的概率。为了估计P，采用最大似然估计，似然函数可以写作 其中 表示实验结果为i的次数。...下面求似然函数的极值点，有 得到参数p的最大似然估计值为 可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。...和MAP中一样，我们假设先验分布为Beta分布，但是构造贝叶斯估计时，不是要求用后验最大时的参数来近似作为参数值，而是求满足Beta分布的参数p的期望，有 注意这里用到了公式 当T为二维的情形可以对Beta

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《机器学习》-- 第七章 朴素贝叶斯

极大似然法的核心思想就是：在参数的所有可能取值当中，找到能使已知样本出现的概率（可能性）最大的值，即使得训练数据的似然最大的参数值。...令 表示训练集 中第 类样本组成的集合, 假设这些样本是独立同分布的, 则参数 对于数据集 的似然是 ?...对 进行极大似然估计, 就是去寻找能最大化似然 的参数值 式(7.9)中的连乘操作易造成下溢, 通常使用对数似然(log-likelihood) ? 此时参数 的极大似然估计 为 ?...例如, 在连续属性情形下, 假设概率密度函数 则参数 和 的极大似然估计为 ? 也就是说, 通过极大似然法得到的正态分布均值就是样本均值, 方差就是 的均值, 这显然是一个符合直觉的结果。...总结最大似然法估计参数的过程，一般分为以下四个步骤： * 1.写出似然函数； * 2.对似然函数取对数，并整理； * 3.求导数，令偏导数为0，得到似然方程组； * 4.解似然方程组，得到所有参数即为所求

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机器学习（十八）极大似然估计

1 极大似然估计简介 极大似然估计是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 。它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的, ?...极大似然估计的思想是：选取这样的θ̂，使得当它作为未知参数θ的估计时，观察结果出现的可能性（概率）最大！！...L(θ)看作参数θ的函数，它可作为θ将以多大可能产生样本值 x1, x2 ,…, xn 的一种度量 ，极大似然估计法就是用使L(θ)达到最大值的θ̂去估计θ。 ?...3 极大似然估计求解 下面为求极大似然估计(MLE)的一般步骤： (1) 由总体分布导出样本的联合概率函数 (或联合概率密度); (2) 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数...θ 看作自变量, 得到似然函数L(θ); (3) 求似然函数L(θ) 的最大值点(常常转化为求ln L(θ)的最大值点) ，即θ的MLE; (4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的极大似然估计值

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一文读懂矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计

概率论和数理统计是机器学习重要的数学基础。 概率论的核心是已知分布求概率，数理统计则是已知样本估整体。 概率论和数理统计是互逆的过程。概率论可以看成是由因推果，数理统计则是由果溯因。...极大似然估计法先代入参数值计算观测样本发生的概率，得到似然函数，然后对似然函数求极大值，得到对应的参数，即为极大似然估计参数。...对X采样n次，得到 试估计参数 μ 和σ 解： 正态分布的概率密度函数为 对应的对数似然函数为 对数似然函数取极大值时，有 解得 三，贝叶斯估计法 贝叶斯估计也叫做最大后验概率估计法,...和频率学派不同，贝叶斯学派认为一切皆为随机变量，随机变量的分布函数的参数也是随机变量，对其进行抽样估计时还必须考虑参数的先验分布。...在贝叶斯学派中，似然函数被理解为 在θ已知时的条件概率: 而θ本身也为随机变量，具有先验概率分布函数 贝叶斯估计的想法是最大化的后验概率, 应用贝叶斯公式得到 当不考虑先验概率 时，最大化后验概率回到极大似然估计

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最大似然函数最大似然原理小结：最大似然估计法的一般步骤：例子：

的形式为已知，θ为待估参数，Θ是θ可能取值的范围。 设X1,...,Xn是来自X的样本；则X1,...,Xn的联合函数 ? 又设x1,...,xn是X1,......称其为参数θ的最大似然估计值 ? 称为参数θ的最大似然估计量 (2)若总体X属连续型，其概率密度 ? 的形式已知，θ为待估参数 则X1,...,Xn的联合密度 ? ?...的最大值，这里L(θ)称为样本的似然函数，若 ? 则称 ? 为θ的最大似然估计值，称 ?...若总体分布中包含多参数，即可令 ? 解k个方程组求的θ的最大似然估计值 小结：最大似然估计法的一般步骤： **写似然函数L ** ?...,xn）为样本观察值，求\lamda的最大似然估计值 解：总体X的概率密度函数为: ? ? 设总体X分布律为： ? 求参数p的最大似然估计量 ?

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以色列理工暑期学习-MLE、MAP参数估计方法

按照课程顺利来讲的话，这个逻辑对于我个人来讲略微有点逻辑问题，教授先讲解的是贝叶斯方法，然后直接引入MAP，最大后验估计，而在参数估计中引入MLE；对于我们中国学生来讲，应该最大似然的参数估计更为熟悉：...最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。...而根据似然函数的定义：在已有数据的基础上，并假定数据满足一定分布，去估计在参数θ下，使得模型产生出观测数据的概率最大； ?...（c）对随机误差项的要求不同 经典方法，除了最大似然法，在参数估计过程中并不要求知道随机误差项的具体分布形式，但是在假设检验与区间估计时是需要的；贝叶斯方法需要知道随机误差项的具体分布形式。...对于一般概率模型的应用范围在于：如果只有观察变量那么我们可以用最大似然法（或者贝叶斯）估计未知参数，但是如果还含有隐变量就不能如此简单解决了。这时候就需要EM算法。

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matlab用马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 的Logistic逻辑回归模型分析汽车实验数据|附代码数据

统计推断通常基于最大似然估计 (MLE)。MLE 选择能够使数据似然最大化的参数，是一种较为自然的方法。在 MLE 中，假定参数是未知但固定的数值，并在一定的置信度下进行计算。...如果观察 X 的 n 个样本，我们可以获得 theta 的后验分布 下图显示 theta 的先验、似然和后验。...此示例包含一个实验，以帮助建模不同重量的汽车在里程测试中的未通过比例。数据包括被测汽车的重量、汽车数量以及失败次数等观测值。我们采用一组经过变换的重量，以减少回归参数估值的相关性。...@(b2) normpdf(b2,0,20); % 斜率的先验。 根据贝叶斯定理，模型参数的联合后验分布与似然和先验的乘积成正比。 请注意，此模型中后验的归一化常数很难进行分析。...相关性来自我们的先验分布与似然函数的组合。---- _切片_采样 蒙特卡罗方法常用于在贝叶斯数据分析中汇总后验分布。

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EM算法学习(三)

显然这个数据是缺失的,如果数据完整的话,那么这个参数估计起来很简单,用极大似然估计就OK,但是这样的数据不完整的情况下,用极大似然估计求参数是非常困难的,现在我们知道EM算法对于缺失数据是非常有利的,现在我们用...这样M1与观察数据构成完全数据(M1(K),X),在M步中,对于函数Q的未知参数u1求导进行极大似然估计,想当是对在完全数据下的u1求极大似然估计,即: ?...,xN},由上边的式子的到,高斯分布混合分布的对数似然函数可以写成: ?...改写似然函数之后，我们就可以考虑用EM算法来对模型进行参数估计。 在算法的E步中，需要求完全数据的对数似然函数的期望。假设在第t一 1次迭代开始时，X已知,而Y是变量,对Y积分有: ?...至此，我们得到所有参数的更新公式，通过编程可以实现迭代得到参数估 计。

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EM算法学习(三)

估计: 设总体Z=(X,Y)~N(u,M),其中: 现在有如下的观测数据: 显然这个数据是缺失的,如果数据完整的话,那么这个参数估计起来很简单,用极大似然估计就OK,但是这样的数据不完整的情况下,用极大似然估计求参数是非常困难的...u1求导进行极大似然估计,想当是对在完全数据下的u1求极大似然估计,即: 这里的M1表示在完全数据下的均值,u2的估计值求法与此相似....则当y(i)=k时，表示第i个样本观测值x(i)是由高斯混合分布的第k个分支产生的。因此，引入变量y后，对数似然函数可以改写成为: 改写似然函数之后，我们就可以考虑用EM算法来对模型进行参数估计。...在算法的E步中，需要求完全数据的对数似然函数的期望。...，通过编程可以实现迭代得到参数估 计。

1.5K80

logistic回归：从生产到使用【下：生产篇】

建立目标函数——极大似然 Logistic的目标函数是极大似然函数，这是本【生产篇】的一个重头戏，我们要介绍极大似然的思想、logistic模型如何运用极大似然思想、以及极大似然与最小二乘之间的关系...就是最大似然函数，因为我们不止有一个样本，且样本之间是相互独立的，所以n个样本的发生概率就是这n个样本概率的乘积： ? 至此，我们建立了logistic的目标函数。...还没完，这里还有人问， “为什么logistic的目标函数不能是最小二乘？而是最大似然？” 线性回归中，因变量Y是连续的，因此我们用拟合出来的 ?...e是误差项，服从正态分布（回归模型的经典假设）： ? 因此有： ? 根据极大似然思想，我们希望拟合出来的参数θ，可以使Y这个“历史事实”发生的概率最高，这个目标函数为： ?...现在梯度下降算法基本搞明白了，但是，这里我们是要最大化似然函数啊，应该求的是最大值啊。

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EM算法及其推广

EM算法 对于一般概率模型的学习策略，我们往往会采取极大似然估计或者贝叶斯估计的方法对模型的参数进行估计，但是需要注意的是这种估计方法都是建立在待估参数全部为已经知道结果的参数（观测变量）的基础之上的。...当模型中有隐变量/潜在变量（数据不可观测的变量）时，往往会给极大化似然函数带来困难（隐变量可能会使得似然很难，包含有和或者积分的对数，难以利用传统的方法求得解析解）。...面对上述问题我们很自然的一种想法是通过迭代算法来求解近似最大值，而EM算法正是在针对这个问题的求解过程中导出的一种来近似求解的对数似然函数极大化问题的算法。...注意这里的YYY是观测值，换言之相当于是在Y和模型参数给定的条件下最大化期望值） 图片 算法收敛性 可以证明随着迭代次数的增加，似然函数的值会不断增大，这也意味着如果似然函数有界，那么一定存在局部最优解或者全局最优解...本身是局部最优的算法， 坐标上升法（Coordinate ascent） 坐标上升法是一种与梯度下降法类似的方法，与梯度下降法不同之处在于梯度下降法目的是最小化代价函数，坐标上升法的目的是最大化似然函数

1.1K10

【数据分析 R语言实战】学习笔记 第六章 参数估计与R实现（上）

R中计算极值的函数（stats包） optimize( ) 计算单参数分布的极人似然估计值 optim() 计算多个参数分布的极大似然估计值 nlm() 计算非线性函数的最小值点...，用于设置参数的初始值;objective指定要优化的函数:gradient和hess用于设置对数似然的梯度，通常采用默认状态;control是一个控制参数的列表:lower和upper设置参数的下限和上限...在R中编写对数似然函数时，5个参数都存放在向量para中，由于nlminb()是计算极小值的，因此函数function中最后返回的是对数似然函数的相反数。...例： 采用两参数的负二项分布做极大似然估计，具体说明离散分布的拟合： 编写R程序时首先要写出对数似然函数loglik，用到R中的负二项函数dnbinom()，它的参数是r、p。...通常我们作区间估计时，都会估计出双侧的置信区间，因为它为待估参数提供了上下限两个参考值。

2.5K31

R语言极值理论：希尔HILL统计量尾部指数参数估计可视化

p=26277 极值理论对样本尾部分布的极值指数的估计方法主要有两类：半参数方法和全 参数方法，前者主要是基于分布尾部的 Hill 估计量，后者则主要基于广义帕累托分布（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据...、轮廓似然估计、Delta法 R语言极值理论EVT：基于GPD模型的火灾损失分布分析 R语言有极值（EVT）依赖结构的马尔可夫链(MC)对洪水极值分析 R语言POT超阈值模型和极值理论EVT分析...R语言混合正态分布极大似然估计和EM算法 R语言多项式线性模型：最大似然估计二次曲线 R语言Wald检验 vs 似然比检验 R语言GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估计 R语言非参数方法...：使用核回归平滑估计和K-NN(K近邻算法)分类预测心脏病数据 matlab实现MCMC的马尔可夫转换ARMA - GARCH模型估计 R语言基于Bootstrap的线性回归预测置信区间估计方法...马尔可夫区制转换动态回归模型估计GDP增长率 R语言极值推断：广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法

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干货 | 用跳跃—扩散模型估算市场隐含价值

利用 MATLAB，我们可以：用最少的代码来直观地表示方程；估算鲁棒性/稳健性高的模型参数；跟踪优化过程的收敛。...为了进行优化，我们使用 Statistics and Machine Learning Toolbox（统计和机器学习工具箱）中的 mle 函数进行最大似然估算，指定负对数似然函数（negative log-likelihood...似然函数的值最终由唯一的未知参数 σ 决定。由于市场价值不可观测，因此我们首先用观测到的市值的历史数据对跳跃扩散模型进行拟合到，并对市场价值序列生成一个初始估算。...在最大似然估计过程中，我们使用 MATLAB 中的 fzero 函数来求解资产价值的隐式方程。收敛后，我们在可能的解点的邻域中绘制负对数似然函数，来验证局部最小点是由 mle 函数确定的（图 3）。...从跳跃—扩散模型推算出的相关数据 在开发并实现一个跳跃扩散模型参数的估算过程之后，我们使用 MATLAB Live Editor （MATLAB 实时编辑器）将结果作为实时脚本与同事共享。

1.8K10

造出一艘logistic模型 | 【logistic从生产到使用】（下） | 数说 · 算法

建立目标函数——极大似然 Logistic的目标函数是极大似然函数，这是本【生产篇】的一个重头戏，我们要介绍极大似然的思想、logistic模型如何运用极大似然思想、以及极大似然与最小二乘之间的关系...就是最大似然函数，因为我们不止有一个样本，且样本之间是相互独立的，所以n个样本的发生概率就是这n个样本概率的乘积： ? 至此，我们建立了logistic的目标函数。...还没完，这里还有人问， “为什么logistic的目标函数不能是最小二乘？而是最大似然？” 线性回归中，因变量Y是连续的，因此我们用拟合出来的 ?...e是误差项，服从正态分布（回归模型的经典假设）： ? 因此有： ? 根据极大似然思想，我们希望拟合出来的参数θ，可以使Y这个“历史事实”发生的概率最高，这个目标函数为： ?...现在梯度下降算法基本搞明白了，但是，这里我们是要最大化似然函数啊，应该求的是最大值啊。

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R语言预测期货波动率的实现：ARCH与HAR-RV与GARCH，ARFIMA模型比较|附代码数据

ARFIMA是分整自回归移动平均模型，其具有与ARMA模型相同的表示形式，但差分参数d可以是非整数值：在差分参数d是非整数的情况下，则可以如下操作在R中，我们编程探索HAR-RV和HAR-RV-CJ模型...R语言POT超阈值模型和极值理论EVT分析R语言极值推断：广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法R语言极值理论EVT：基于GPD模型的火灾损失分布分析R语言有极值（EVT）依赖结构的马尔可夫链...(MC)对洪水极值分析R语言POT超阈值模型和极值理论EVT分析R语言混合正态分布极大似然估计和EM算法R语言多项式线性模型：最大似然估计二次曲线R语言Wald检验 vs 似然比检验R语言GARCH-DCC...模型和DCC（MVT）建模估计R语言非参数方法：使用核回归平滑估计和K-NN(K近邻算法)分类预测心脏病数据matlab实现MCMC的马尔可夫转换ARMA - GARCH模型估计R语言基于Bootstrap...） 模型Matlab马尔可夫区制转换动态回归模型估计GDP增长率R语言极值推断：广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法

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R语言预测期货波动率的实现：ARCH与HAR-RV与GARCH，ARFIMA模型比较|附代码数据

描述长记忆 ARFIMA是分整自回归移动平均模型，其具有与ARMA模型相同的表示形式，但差分参数d可以是非整数值： 在差分参数d是非整数的情况下，则可以如下操作 在R中，我们编程探索HAR-RV和...R语言POT超阈值模型和极值理论EVT分析 R语言极值推断：广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法 R语言极值理论EVT：基于GPD模型的火灾损失分布分析 R语言有极值（EVT...）依赖结构的马尔可夫链(MC)对洪水极值分析 R语言POT超阈值模型和极值理论EVT分析 R语言混合正态分布极大似然估计和EM算法 R语言多项式线性模型：最大似然估计二次曲线 R语言Wald检验 vs...似然比检验 R语言GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估计 R语言非参数方法：使用核回归平滑估计和K-NN(K近邻算法)分类预测心脏病数据 matlab实现MCMC的马尔可夫转换ARMA - GARCH...，Stochastic Volatility） 模型 Matlab马尔可夫区制转换动态回归模型估计GDP增长率R语言极值推断：广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法

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期望最大化（EM）算法：从理论到实战全解析

极大似然估计（MLE） 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种用于估计概率模型参数的方法。...它通过寻找一组参数，使得给定观测数据出现的可能性（即似然函数）最大化。...最大化（M）步骤 最大化步骤（Maximization step）则是在给定Q函数的情况下，寻找能使Q函数最大化的参数值。...辅助函数（Auxiliary Function）是EM算法的一个重要组成部分，用于保证算法收敛。通过最大化辅助函数，我们间接地最大化了似然函数。...例子：在实施高斯混合模型的EM算法后，你会发现每次迭代都会导致似然函数的值增加（或保持不变），直到达到局部最大值。

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