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8种用Python实现线性回归的方法，究竟哪个方法最高效？

下面，我将介绍一些更快更简洁的方法，但是它们所提供信息量和建模的灵活性不尽相同。 各种线性回归方法的完整源码都可以在文末的GitHub链接中找到。他们大多数都依赖于SciPy包。...function），接受数据集和任何维度的多项式函数（由用户指定），并返回一组使平方误差最小的系数。...方法二：Stats.linregress( ) 这是一个高度专业化的线性回归函数，可以在SciPy的统计模块中找到。然而因为它仅被用来优化计算两组测量数据的最小二乘回归，所以其灵活性相当受限。...来自numpy包的简便线性代数模块。在该方法中，通过计算欧几里德2-范数||b-ax||2最小化的向量x来求解等式ax = b。 该方程可能有无数解、唯一解或无解。...如果a是方阵且满秩，则x（四舍五入）是方程的“精确”解。 你可以使用这个方法做一元或多元线性回归来得到计算的系数和残差。一个小诀窍是，在调用函数之前必须在x数据后加一列1来计算截距项。

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机器学习从0入门-线性回归

线性回归是一种用于预测连续数值输出的监督学习算法，它通过建立一个线性方程来描述输入变量与输出变量之间的关系。该算法的目标是使预测值与真实值之间的差异最小化。...训练模型：通过最小化残差的平方和来训练模型，即找到一组最优的权重系数 w，使预测值与真实值之间的误差最小化。 预测结果：使用训练好的模型对新的输入数据进行预测，并输出对应的输出变量。...该方程描述了自变量与因变量之间的线性关系，即当自变量的值发生变化时，因变量的值按照一定的比例发生相应的变化。这种线性关系可以通过求解模型参数来确定，使得模型的预测值与真实值之间的误差最小化。...使预测值和真实值的差异最小化是线性回归算法的核心目标，常用的方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）。...正则化（Regularization）：为了避免模型过拟合，可以在最小化残差的基础上，添加一个正则化项，限制权重系数的大小。常用的正则化方法包括 L1 正则化和 L2 正则化。

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机器学习十大经典算法之最小二乘法

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。...综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择： （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。...最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。...为了计算β0,β1的值，我们采取如下规则：β0,β1应该使计算出来的函数曲线与观察值的差的平方和最小。...最小二乘法和梯度下降 (1)最小二乘法和梯度下降法在线性回归问题中的目标函数是一样的(或者说本质相同)，都是通过最小化均方误差来构建拟合曲线。

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等渗回归和PAVA算法

同方差的正态误差 像其他线性模型一样，我们可以假定这种回归类型中的误差是同方差的。换句话说，所有误差将具有有限的方差。由于误差不依赖于预测值 xi，我们可以制定一个可以有效拟合数据的线性模型。...通常，我们尝试使似然函数最大化，但是如果我们取似然函数的对数并将整个表达式乘以-1，则得到的是负对数似然，它会最小化而不是因为-1而最大化。因此，基本上，我们通过最小化来最大化。 ?...每当我们面临优化（在此处最小化）上述成本函数的任务时，在一些约束条件(这里是单调性)下，我们使用拉格朗日乘子。...此时，我们将唯一的y值称为 ν，它是特定块的平均值。 因此，让我们考虑一个块。 一个块只有一个唯一的y值，在该块中我们将其称为v （均值参数） 。 假设， ? 上标中的星号用于区分两个不同的块。...现在，我们对这种算法的工作原理有了基本了解，让我们在python中实现它： 首先，我们需要导入所需的库： import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot

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Python回归分析五部曲（一）—简单线性回归

回归最初是遗传学中的一个名词，是由英国生物学家兼统计学家高尔顿首先提出来的，他在研究人类身高的时候发现：高个子回归人类的平均身高，而矮个子则从另一方向回归人类的平均身高； 回归整体逻辑 回归分析（Regression...（回归直线的斜率） e：随机误差（随机因素对因变量所产生的影响） e的平方和也称为残差，残差是判断线性回归拟合好坏的重要指标之一 从简单线性回归模型可以知道，简单线性回归是研究一个因变量与一个自变量间线性关系的方法...2.案例实操 下面我们来看一个案例，某金融公司在多次进行活动推广后记录了活动推广费用及金融产品销售额数据，如下表所示 因为活动推广有明显效果，现在的需求是投入60万的推广费，能得到多少的销售额呢？...，看看是否可以建立回归方程，在简单线性回归分析中，我们只需要确定自变量与因变量的相关度为强相关性，即可确定可以建立简单线性回归方程，根据jacky前面的文章分享《Python相关分析》，我们很容易就求解出推广费与销售额之间的相关系数是...统计学家研究出一个方法，就是最小二乘法，最小二乘法又称最小平方法，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳直线，这个误差就是实际观测点和估计点间的距离； 最小二乘法名字的缘由有二个：一是要将误差最小化，二是使误差最小化的方法是使误差的平方和最小化

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windows10 tensorflow（二）原理实战之回归分析，深度学习框架（梯度下降法求解回归参数）

y = W * x + b，采用numpy构建完整回归数据，并增加干扰噪声 import numpy as np #建立一个一元线性回归方程y=0.1x1+0.3 ,同时一个正太分布偏差np.random.normal...通过TensorFlow代码找到最佳的参数W与b，使的输入数据x_data，生成输出数据y_data，本例中将会一条直线y_data=W*x_data+b。...因此采用梯度下降法来迭代求解数据 import tensorflow as tf import math #一、创建graph数据 #随便构建一个一元回归方程的参数W与b W=tf.Variable(tf.random_uniform...([1], minval=-1.0, maxval=1.0)) b=tf.Variable(tf.zeros([1])) y=W*x_data+b #定义下面的最小化方差 #1.定义最小化误差平方根...梯度就像一个指南针，指引我们朝着最小的方向前进。为了计算梯度，TensorFlow会对错误函数求导，在我们的例子中就是，算法需要对W和b计算部分导数，以在每次迭代中为前进指明方向。 ?

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安利一则深度学习新手神器：不用部署深度学习环境了！也不用上传数据集了！

深度学习是机器学习的一个分支，它被证明是一种可以在原始数据（如一幅图、或者一段声音）中找到固定模型的有效方法。 如果你想对猫和狗的图像进行分类。...通过这种方法他可以计算出每一个齿轮对于误差的贡献值。我们把这个过程称为反向传播。 然后这个工程师开始根据之前找到的误差对每一个齿轮进行调整，然后重新运行整个机器。...给定一个输入，通过调整齿轮来预测输出，然后将预测值和真实值进行对比。 神经网络通过调整齿轮来追求最小误差（预测值与实际值之前的差异），它会不断调整齿轮，直到预测值与真实值之间的差异尽可能小。...最小化误差的一个最佳方法是梯度下降，即通过误差函数、或者说成本函数来进行误差的计算。 浅层神经网络 许多人认为人工神经网络是我们大脑新皮质的数字化复制品。 这是一个错误的观念。...它存储具有十进制值的数字，使计算更加精确。 第七行 初始化神经网络，并指定输入数据的维度或者说尺寸 所有的OR运算都是在一对数据中进行的，所以维度是2.

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一个简单回归案例：初识机器学习过程

，a是参数向量，其分量个数和向量x的分量个数相同，在本案例中a和x仅有一个分量，b是在y轴的截距，若b为0，该直线会通过坐标轴的原点，b也称为偏置参数。...编写机器学习程序的第三步就是构建一个机器学习算法，通过学习训练集获得经验，减少M以改进系数a和b，最小化训练集上的总偏差M。...将预测模型代入总偏差公式： 在上面的公式中，我们希望使所有偏差的平方和最小，如何求最小值M呢？可以通过微积分的方法得到，把偏差的平方和看作函数，它有a和b两个变量，求这个函数的最小值。...度量回归预测模型的性能最常用的方法是计算预测值与真实值的均方误差（MSE），均方误差（MSE）的计算方法为总偏差除以样本个数，计算公式为： 例5  计算均方误差（MSE） 案例代码见课程资源（unit1...[0.01,0.2]的MSE曲线，从图中可以看出系数a在0.08处取得MSE最小值，均方误差（MSE）约为2.87，说明预测模型与测试数据集有较好的拟合度。

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训练神经网络的五大算法：技术原理、内存与速度分析

用于神经网络中执行学习过程的程序被称为训练算法。训练算法有很多，各具不同的特征和性能。 问题界定 神经网络中的学习问题是以损失函数f的最小化界定的。这个函数一般由一个误差项和一个正则项组成。...这里，一维优化方法搜索给定的一维函数的最小值。广泛使用的算法有黄金分割法和布伦特法。 多维优化方法 神经网络的学习问题被界定为搜索使损失函数f得到最小值的参数向量w*。...该值可以设置为固定值，或者在沿训练方向的每一步一维优化中找到。训练速率的最佳值通常可通过每个连续步骤的线性最小化得到。然而，仍然有许多软件工具只使用固定值的训练速率。 下图描绘了梯度下降法的训练过程。...为了避免这种麻烦，牛顿法的方程式通常修改为： wi+1 = wi - (Hi-1·gi)·ηi, i=0,1,... 训练速率η可以设置为固定值或通过线性最小化找到。...它能加快梯度下降法典型的慢收敛，同时避免了牛顿法对Hessian矩阵的评估、存储和反转所需的信息。 在共轭梯度训练算法中，搜索沿着共轭方向执行，通常能比梯度下降方向产生更快的收敛。

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稳定、快速、自动的预测编码算法

当出现与预测不同的刺激时，学习通过更新内部神经活动和突触来最小化预测误差。在计算模型中，这是通过最小化变分自由能来实现的，这种情况下，它是生成模型的总误差函数。...这个模型的一个关键方面是，推理和学习都通过优化相同的能量函数来实现，这个函数旨在最小化网络的预测误差。每一层的预测误差由其真实值 和其预测值 之间的差异给出。我们用 来表示预测误差。...这也具有强大的理论保证，因为已正式证明使用增量EM来最小化我们的自由能函数（即等价于独立自由能函数之和）也会找到方程（8）的全局边际可能性的最小值。...它实证收敛到更好的极小值的事实也使PC能够在复杂任务上达到与BP相媲美的性能，例如在卷积模型中的图像分类或变压器模型中的语言生成。...同样，方程（6）中更新所有值节点的（L-1）个MMs如果适当并行化，则也仅需一个MM的时间。

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最优控制思考错了？ What Is Optimal about Motor Control

它提供了一种规范控制模型，使许多问题能够在一个连贯而有原则的框架中得到解决（Ko¨ rding, 2007）。...虽然代理无法直接最小化惊奇，但它们可以最小化总是大于惊奇的自由能；因此有了自由能原理。在一些简化的假设下，这种自由能可以被认为是预测误差。...感觉预测误差是在线状态估计（推断）和优化（学习）前向模型所需的。相反，奖励预测误差仅与学习逆模型相关，涉及值函数或成本的学习。...图5中提供了一个例子，其中相同的方案被用来生成自主（手写）运动，并识别由另一代理执行的相同运动。此示例中使用的方程可以在Friston等人（2011）中找到。...在最优控制中，值函数是通过学习的，而在主动推理中，问题归结为学习构成先验信念的参数（运动方程的参数）。这是推理中的一个标准问题，对应于感知学习。

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机器学习三人行(系列五)----你不了解的线性模型(附代码)

在前面的系列文章中，我们看到回归模型的最常见的性能指标是均方根误差（RMSE）。那么，要训练线性回归模型，我们需要找到使RMSE最小化的θ值。...在实践中，最小化均方误差（MSE）往往比RMSE更简单，并且能得到相同的结果（因为使函数最小化的值也使其平方根最小化），因此我们使用如下公式计算： ? 这些符号中的大部分都在前面系列的文章中介绍过。...方程有了，剩下的就是对方程中的参数进行求解了，常见的有以下两种方法：正规方程法和梯度下降法 1.1正规方程 为了找到最小化成本函数的θ的值，可以通过下面的正规方程直接得出（具体推导不进行赘述），如下所示...我们将使用NumPy的线性代数模块（np.linalg）中的inv()函数来计算矩阵的逆矩阵，以及矩阵乘法的dot()方法，np.c_在矩阵X的左边添加上值的为1的列： ?...该图说明了如下事实：训练模型意味着搜索模型参数的组合（使训练集合上的代价函数最小化）。 它是模型参数空间中的一个搜索：模型的参数越多，这个空间的维数就越多，搜索就越困难。

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深度学习不只是“Import Tensorflow”（下）

从视觉上看，我们的新节点是这样的： ? 当我们增加输入的数量时，我们的方程开始在越来越高的维度上建模线性关系。...将这个过程形象化的一个简单方法是将图形误差想象成一个向上开口的抛物线函数，其中底部的波谷代表最小的误差。 我们使用一种叫做梯度下降的方法来最小化我们的点在这个损失函数上的导数。...知道点对损失函数的导数是非常有用的因为它变得越小，误差就越小。 因此，梯度下降函数通过将神经网络的误差点向下移动到损失函数的局部最小值来帮助我们最小化损失。...因此，梯度下降函数通过最小化损失函数上的点的“梯度”或多变量导数来减少误差。 因此，与其在抛物线上降低我们的损失，不如把梯度下降的过程想象成把一个球滚下山，这个球代表了我们神经网络的误差量。 ?...纠正他们的错误 一旦通过损失函数计算出误差，网络中的权值和偏差就会被修正以使误差最小化。

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机器学习 学习笔记（5） 线性回归

要确定w和b，使得均方误差最小化： ? 用均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”。在线性回归中，最小二乘法就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧式距离之和最小。...最小化损失函数为： ? ，求导得 ? ，最终得到 ? 。 但是当XX^T不是满秩矩阵时，会求出多个w，选择哪一个解作为输出将由学习算法的归纳偏好决定，常见的做法是引入正则化。...所以有些方法允许在估计中引入一些偏差，从而降低预测的均方误差。...其中的一个方法是局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression，LWLR），在该计算方法中，给每个点赋予一定的权重，在这个子集上基于最小均方误差来进行普通的回归。...的关系， ? 最小时，系数的原始值和线性回归一样， ? 非常大时，系数全部缩减为0，在中间某部分的某值可以取得最好的预测效果。为了定量找到最佳预测值，还需要进行交叉验证。

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“线性”回归模型

当前目标是确定最符合训练数据的参数a和b的值。 这可通过测量每个输入x的实际目标值y和模型f（x）之间的失配来实现，并将失配最小化。这种失配（=最小值）被称为误差函数。...利用误差函数的概念，可将“确定最符合训练数据的参数a、b”改为“确定参数a、b，使误差函数最小化”。 计算一下训练数据的误差函数。 上面的等式就是要求最小值的误差函数。...（简单来讲，就是凸函数只有一个最小点，例如“U”的形状）由于凸函数的这种特性，通过简单求解如下的偏微分方程，便可得到使函数最小化的参数。 下面解下之前的例子吧。...下面看下这一变化对模型拟合过程的影响。我们将使用与前一示例相同的误差函数——RSS。 如上所示，等式看起来与前一个非常相似。（系数的值不同，但方程的形式相同。）...因此，无论输入变量的形式多复杂（例如x、x²、sin（x）、log（x）等......），给定的值在误差函数中仅为常数。

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机器学习一元线性回归和多元线性回归

一个常用的方法就是找出使误差最小的w。这里的误差是指预测u值和真实y值之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消，所以我们采用平方误差。...在继续推导之前，我们要先明确一个目的：找到w，使平方误差和最小。因为我们认为平方误差和越小，说明线性回归拟合效果越好。...从现有数据上估计出的w可能并不是数据中的真实w值，所以这里使用了一个"帽"符号来表示它仅是w的一个最佳估计。...值得注意的是，上述公式中包含逆矩阵，也就是说，这个方程只在逆矩阵存在的时候使用，也即是这个矩阵是一个方阵，并且其行列式不为0。...述的最佳w求解是统计学中的常见问题，除了矩阵方法外还有很多其他方法可以解决。通过调用NumPy库里的矩阵方法，我们可以仅使用几行代码就完成所需功能。

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Python环境下的8种简单线性回归算法

这是一个非常一般的最小二乘多项式拟合函数，它适用于任何 degree 的数据集与多项式函数（具体由用户来指定），其返回值是一个（最小化方差）回归系数的数组。...对于简单的线性回归任务，我们可以写一个线性函数：mx+c，我们将它称为估计器。它也适用于多变量回归。它会返回一个由函数参数组成的数列，这些参数是使最小二乘值最小化的参数，以及相关协方差矩阵的参数。...这是用矩阵因式分解来计算线性方程组的最小二乘解的根本方法。它来自 numpy 包中的线性代数模块。...通过求解一个 x 向量（它将|| b—a x ||²的欧几里得 2-范数最小化），它可以解方程 ax=b。 该方程可能会欠定、确定或超定（即，a 中线性独立的行少于、等于或大于其线性独立的列数）。...如果 a 是既是一个方阵也是一个满秩矩阵，那么向量 x（如果没有舍入误差）正是方程的解。 借助这个方法，你既可以进行简单变量回归又可以进行多变量回归。你可以返回计算的系数与残差。

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机器学习经典算法详解及Python实现--线性回归（Linear Regression）算法

回归的目的就是建立一个回归方程用来预测目标值，回归的求解就是求这个回归方程的回归系数。预测的方法当然十分简单，回归系数乘以输入值再全部相加就得到了预测值。...多元线性方程是假设预测值y与样本所有特征值符合一个多元一次线性方程。 3，广义线性回归 用广义的线性函数： ?...那么，手里有一些X和对应的Y,怎样才能找到θ呢？ 在回归方程里，求得特征对应的最佳回归系数的方法是最小化误差的平方和。...通过选取不同的λ 来重复上述测试过程，最终得到一个使预测误差最小的λ 。可通过交叉验证获取最优值--在测试数据上，使误差平方和最小。...事实上，上述公式是在最小平方误差和公式里引入了每个特征的惩罚因子得到，为的是防止过度拟合（过于复杂的模型），在损失函数里增加一个每个特征的惩罚因子，这就是线性回归的正则化（参考“Coursera公开课笔记

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Python环境下的8种简单线性回归算法

方法 1：Scipy.polyfit( ) 或 numpy.polyfit( ) 这是一个非常一般的最小二乘多项式拟合函数，它适用于任何 degree 的数据集与多项式函数（具体由用户来指定），其返回值是一个...对于简单的线性回归任务，我们可以写一个线性函数：mx+c，我们将它称为估计器。它也适用于多变量回归。它会返回一个由函数参数组成的数列，这些参数是使最小二乘值最小化的参数，以及相关协方差矩阵的参数。...它来自 numpy 包中的线性代数模块。通过求解一个 x 向量（它将|| b—a x ||²的欧几里得 2-范数最小化），它可以解方程 ax=b。...该方程可能会欠定、确定或超定（即，a 中线性独立的行少于、等于或大于其线性独立的列数）。如果 a 是既是一个方阵也是一个满秩矩阵，那么向量 x（如果没有舍入误差）正是方程的解。...、特征），回归系数的计算存在一个封闭型的矩阵解（它保证了最小二乘的最小化）。

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