它比单侧差分公式有更小的误差和更好的稳定性。数值微分会导致误差，即使对于很小的h，也会有截断误差（即使用近似所带来的误差）。 对于多元函数，变量xi的中心差分公式为 ?...python语言的符号计算库也提供了这类算法。 对于深层复合函数，如神经网络的映射函数，符号微分算法得到的导数计算公式将会非常冗长。称为表达式膨胀（expression swell）。...自动微分将符号微分应用于最基本的运算（或称原子操作），如常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等基本函数，代入自变量的值得到其导数值，作为中间结果进行保留。...首先将函数转化为下图所示的计算图，然后根据计算图计算出每个节点的函数值以及导数值。 ? 计算过程如下表所示，自变量也被转化成了计算图的节点，其下标从0开始向负数进行编号，以与中间结果节点进行区分。...第2步计算y对v4的导数值，v4只有一个后续节点v5且v5=v4-v3，根据链式法则有 ? 第3步计算y对v3的导数值，v3也只有一个后续节点v5且v5=v4-v3，根据链式法则有 ?
自动微分是什么 在数学与计算代数学中，自动微分也被称为微分算法或数值微分。它是一种数值计算的方式，用来计算因变量对某个自变量的导数。...误差传播的积分公式可以是一个近似值， q(x,y) 的一般表达式可以写为： ? 如果我们定义一个特殊案例，即 q(x,y)=x±y，那么总不确定性可以写为： ?...我们可以尝试这些方法，并对比根据这些近似公式算出来的反传误差，以及实际发生的反传误差。...实战 JAX 自动微分 Jax 是谷歌开源的一个科学计算库，能对 Python 程序与 NumPy 运算执行自动微分，而且能够在 GPU 和 TPU 上运行，具有很高的性能。...这一特例情况下，误差传播公式可以简化为 ? ? 上图所示，通过误差传播公式计算出来的值与 JAX 计算出来的是一致地。 3. 乘除法 在 ?(?,?)=?? 与 ?(?,?)=?/?
例如，导数定义中 是一个无穷过程，在实际计算中 （不能等于 0，等于 0 就不存在变化量了），而可能令 ，这就带来了截断误差。...舍入误差是指运算得到的精确值无法被计算机存储，只能以近似值代替产生的差异。例如，当实数 超过了双精度浮点数可以表示的范围之后，计算机无法精确表示 ，而只能以其近似值 代替，就产生了舍入误差。...自动微分 自动微分是一种“原子化”的符号微分，其将一个复杂的数学运算过程分解为一系列简单的基本算子，如对数函数、三角函数等，然后对这些基本算子进行符号微分得到中间结果，再应用于整个函数。...3. 得到 之后，下一步的目标是计算 与 。 ； ； 梯度 需要继续向前一层传递，用于计算其他变量的梯度；梯度 会作为参数 的梯度计算结果，用于模型参数的更新。...总结 链式法则+反向传播+有向图拓扑结构，构成了自动微分机制的基础。
异常值（Outlier）与鲁棒损失 考虑到机器学习问题中最常用的误差之一——均方误差（Mean Squared Error, MSE），其形式为：(y-x)²。...该损失函数的主要特征之一是：与小误差相比，对大误差的敏感性较高。并且，使用MSE训练出的模型将偏向于减少最大误差。例如，3个单位的单一误差与1个单位的9个误差同等重要。...公式 3：鲁棒损失（表达式 1）对于不同的α的值相对于 x 的导数 自适应损失及其导数 下图对于理解此损失函数及其导数非常重要。在下图中，尺度参数c固定为1.1。...损失的单调性也可以与损失的对数进行比较； 3. 损失也随着α的增加而单调增加。...图 2：损失函数及其导数与α的关系 ? 图 3：自适应损失函数（左）及其导数（右）的曲面图 鲁棒损失的实现：Pytorch 和 Google Colab 关于鲁棒损失的理论掌握了，怎么实现呢？
方程 (3) 表明，如果温度在随着时间而变化，则它必然会由热源 所平衡（或所引起）。此方程是用一个自变量（t）的导数所表示的一个微分方程。这种微分方程被称为常微分方程（ODE）。...有限元法给出的是数学模型方程的一个近似解。数值方程的解与数学模型方程的精确解之间的差值就是误差：e = u - uh。 在许多情况下，可以在得出数值方程的解之前就估计出误差的大小（即先验 误差估计）。...这种方法的优点是未对数值方法或其背后的数学问题进行过假设。此外，由于解是已知的，所以可以很容易地计算出误差的大小。通过谨慎地选择分析表达式，就可以对方法和问题的不同方面进行研究。...如果改动后问题的解与未改动问题的解具有相同的特性，那么改动后问题的误差就可以用作未改动问题的近似误差。在实践中，可能很难知道是否是这种情况——这是此方法的缺点。...根据更早给出的这幅图，对该点上的应力和应变进行了计算。下面的图表显示的是此点上的 σx 所得的相对值。此值应为零，因此与零值的任何差异都是一种误差。
该损失函数的主要特征之一是：与小误差相比，对大误差的敏感性较高。并且，使用 MSE 训练出的模型将偏向于减少最大误差。例如，3 个单位的单一误差与 1 个单位的 9 个误差同等重要。...损失的单调性也可以与损失的对数进行比较； 3. 损失也随着α的增加而单调增加。...当 | x |<c 时，对于不同的α值，导数几乎是线性的。这意味着当导数很小时，它们与残差的大小成正比； 5. 对于α= 2，导数始终与残差的大小成正比。通常，这是 MSE（L2）损失的特性； 6....对于αc 而减小。这意味着当残差增加时，它对梯度的影响较小，因此异常值在梯度下降过程中的影响较小。 图 2：损失函数及其导数与α的关系。...图 3：自适应损失函数（左）及其导数（右）的曲面图。 鲁棒损失的实现：Pytorch 和 Google Colab 关于鲁棒损失的理论掌握了，怎么实现呢？
分类、回归问题损失函数对比 01 均方误差 ? 均方误差(MSE)是最常用的回归损失函数，计算方法是求预测值与真实值之间距离的平方和，公式如图。...第一个例子中，预测值和真实值很接近，而且误差的方差也较小。第二个例子中，因为存在一个异常点，而导致误差非常大。 ? 左图：误差比较接近 右图：有一个误差远大于其他误差 从图中可以知道什么？...Huber损失，平滑的平均绝对误差 Huber损失对数据中的异常点没有平方误差损失那么敏感。它在0也可微分。本质上，Huber损失是绝对误差，只是在误差很小时，就变为平方误差。...它的计算方式是预测误差的双曲余弦的对数。 ? ? Log-cosh损失（Y轴）与预测值（X轴）图示。...真值取0 优点：对于较小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，对于较大的x，近似等于abs(x)-log(2)。这意味着‘logcosh’基本类似于均方误差，但不易受到异常点的影响。
2.绝对误差损失 每个训练样本的绝对误差是预测值和实际值之间的距离，与符号无关。绝对误差也称为L1 Loss： ? 正如我之前提到的，成本是这些绝对误差的平均值(MAE)。...3.Huber损失 Huber损失结合了MSE和MAE的最佳特性。对于较小的误差，它是二次的，否则是线性的(对于其梯度也是如此)。Huber损失需要确定δ参数： ?...Hinge损失简化了SVM的数学运算，同时最大化了损失(与对数损失(Log-Loss)相比)。当我们想要做实时决策而不是高度关注准确性时，就可以使用它。...我们将使用Iris数据集^3来理解剩余的两个损失函数。...在给定一些近似分布Q的情况下，我们希望近似关于输入特征的目标变量的真实概率分布P. 由于KL散度不对称，我们可以通过两种方式实现： ? 第一种方法用于监督学习，第二种方法用于强化学习。
第一个例子中，预测值和真实值很接近，而且误差的方差也较小。第二个例子中，因为存在一个异常点，而导致误差非常大。 左图：误差比较接近 右图：有一个误差远大于其他误差 从图中可以知道什么？...Huber损失，平滑的平均绝对误差 Huber损失对数据中的异常点没有平方误差损失那么敏感。它在0也可微分。本质上，Huber损失是绝对误差，只是在误差很小时，就变为平方误差。...它的计算方式是预测误差的双曲余弦的对数。 Log-cosh损失（Y轴）与预测值（X轴）图示。...真值取0 优点：对于较小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，对于较大的x，近似等于abs(x)-log(2)。这意味着‘logcosh’基本类似于均方误差，但不易受到异常点的影响。...最后，让我们将所有损失函数都放进一张图，我们就得到了下面这张漂亮的图片！
这就是交叉熵代价函数比均方误差或者平均绝对误差更受欢迎的原因之一了，即使是在没有必要估计整个 ? 分布时。 输出单元 代价函数的选择与输出单元的选择紧密相关。...当最大化对数似然时，第一项估计 ? 被推高，而第二项则鼓励所有的z被压低。为了对第二项 ? 有一个直观的理解，注意到这一项可以大致近似为 ? 。这种近似是基于对任何明显小于 ? 的 ? ， ?...在实践中，我们并不知道是那个组件产生了观测数据，负对数似然表达式将每个样本对每个组件的贡献进行赋权，权重的大小由相应的组件产生这个样本的概率来决定。 （3）协方差 ?...神经网络训练的软件实现通常返回左导数或右导数中的一个，而不是报告导数未定义或产生的一个错误。这可以通过观察到在数字计算机上基于梯度的优化总是会受到数值误差的影响来启发式地给出理由。...前馈网络的导数也可以任意好地来近似函数的导数。定义在 ? 的有界闭集上的任意连续函数是Borel可测的，因此可以用神经网络来近似。神经网络也可以近似从任何有限维离散空间映射到另一个的任意函数。
单侧差分公式根据导数的定义直接近似计算某一点处的导数值。 数值微分的优点是： 上面的计算式几乎适用所有情况，除非该点不可导， 实现简单。 对用户隐藏求解过程。...因为是数值逼近，所有会不可靠，不稳定的情况，无法获得一个相对准确的导数值。如果 h 选取不当，可能会得到与符号相反的结果，导致误差增大。...尤其是两个严重问题： 截断错误(Truncation error)：在数值计算中 h 无法真正取零导致的近似误差。...为了缓解截断错误，人们提出了中心微分近似（center difference approximation），这方法仍然无法解决舍入误差，只是减少误差，但是它比单侧差分公式有更小的误差和更好的稳定性。...2.5 自动微分 2.5.1 中间方法 自动微分是介于数值微分和符号微分之间的方法，采用类似有向图的计算来求解微分值。 数值微分：一开始就直接代入数值近似求解。
图2 PMD系统原理图 [1] ? ?...在这个式子的推导中，有一点需要额外注意这个近似条件，实际上它是现有单相机PMD系统中误差的主要来源： 近似条件：我们认为，待测物体的高度要远小于，在点处待测镜面和参考面位置的高度点是完全一致的，忽略了这部分误差...，认为相位仅仅与镜面表面梯度相关。...图3 振动对梯度测量的影响 [1] 因为我们测量的是平面，即零频项信息，其是不包含梯度的，该项的变化不会引起反射光线角度的变化。...获得更准确的曲率信息： 计算曲率是检测面形缺陷的重要手段，梯度测量法仅仅需要对获得的梯度求一阶导数就可以获得曲率； 而直接的高度测量方法则要二阶导数才能获得曲率，计算二阶导数会丢失更多的信息，计算得到的曲率较为不准确
现在让我们计算它的实际导数。据我所知，f（θ）=θ³，通过简单的导数g（θ）= 3⋅θ²，而我们得到g（θ）=3。我们做了一个很好的近似，近似误差仅为0.0001。...如果用单边来计算，最终将得到3.0301，其近似误差为0.0301。因此，我们在这里做了出色的工作，大大降低了误差！ 您刚刚看到双面导数的性能要比传统方法好得多。...再深入一点 让我们回顾一下导数的形式定义。 ? 这里要注意的重要一点是ϵ。对于non的非零值，您可以证明近似值的误差约为ϵ²。ϵ是一个很小的数字，趋向于0。...您可以通过简单的数学证明，如果使用单向导数，则误差将为ϵ或 error = O(ϵ) ϵ当然是少于1的极小数，所以ϵ >> ϵ²。...因此，用于此目的的伪Python代码看起来像这样 ? 逼近 现在我们有两个向量dθ和dθ。这些似乎应该彼此相等。但是现在，我们将面临另一个问题，即“如何确定两个向量是否近似相等？”
图2 PMD系统原理图 [1] ? ?...在这个式子的推导中，有一点需要额外注意这个近似条件，实际上它是现有单相机PMD系统中误差的主要来源： 近似条件：我们认为，待测物体的高度要远小于，在点处待测镜面和参考面位置的高度点是完全一致的，忽略了这部分误差...图3 振动对梯度测量的影响 [1] 因为我们测量的是平面，即零频项信息，其是不包含梯度的，该项的变化不会引起反射光线角度的变化。...下载2 在「3D视觉工坊」公众号后台回复：3D视觉github资源汇总，即可下载包括结构光、标定源码、缺陷检测源码、深度估计与深度补全源码、点云处理相关源码、立体匹配源码、单目、双目3D检测、基于点云的...下载3 在「3D视觉工坊」公众号后台回复：相机标定，即可下载独家相机标定学习课件与视频网址；后台回复：立体匹配，即可下载独家立体匹配学习课件与视频网址。
「Python与算法社区」 第 315 篇原创 假如你想深入机器学习和它背后的数学，你将会很快意识到一切都可归结为一个优化问题。就连训练神经网络都是一个参数优化的问题。...Step 2: 仅凭猜测 我们随便找一个电脑使用年限与x 最接近的点，如下图所示，来预测x对应的x2值，产生的误差为err. ?...但是，如果我们运气不好，下图所示，已知的11个点中，没有与预测点的使用年限x值相近的，此时误差就会很大。 ? 因此，我们需要一个更好的算法来求解。 Step 3: 让猜测更准确：机器学习方法 a....用数学的术语来表述，在我们数据集中的点与这条线的误差(或称距离)应该是最小的，如下图所示，这些黄色的虚线尽可能地短。 ? 绿色箭头指向的点，其误差(或称距离)距离等于： ?...并不是那样好，用下面两幅图来解释： ? 在左图，我们用二次函数近似拟合数据，在右图，我们用10阶函数拟合，因此它能近似拟合几乎所有14个样本点。
神经网络示意图 从图 可以看出，一个神经网络包括输入层、隐含层（中间层）和输出层。...输入层神经元个数与输入数据的维数相同，输出层神经元个数与需要拟合的数据个数相同，隐含层神经元个数与层数就需要设计者自己根据一些规则和目标来设定。...在深度学习出现之前，隐含层的层数通常为一层，即通常使用的神经网络是3层网络。 三、BP网络输入与输出关系 BP网络采用的传递函数是非线性变换函数——Sigmoid函数（又称S函数）。...流程图 ? 初始化和样本随机选取 ? 计算隐含层相关数据 ? 误差计算1 ? 误差计算2 ? 反向传播1 ? 反向传播2 ? 全局误差和迭代 五、BP算法直观解释 ? 情况1 ?...七、 BP算法意味着什么 神经网络利用现有的数据找出输入与输出之间得权值关系（近似），然后利用这样的权值关系进行仿真，例如输入一组数据仿真出输出结果，当然你的输入要和训练时采用的数据集在一个范畴之内。
为了更新权重，我们必须把网络的误差反向传回。于是，我们先从Output1输出单元开始。其误差等于真实值与预测值的差，乘以激励函数对Output1输出单元的偏导数： ?...Hidden1的误差就是激励函数对Hidden1隐藏单元的偏导数乘以第二隐藏层加权误差和，如下图所示： ? 同理，我们计算隐藏单元Hidden2的误差： ?...同理，我们计算隐藏单元Hidden3的误差： ? 算完第一个隐藏层的误差之后，我们用这些误差来升级权重值。首先升级连接输入单元与Hidden1的边的权重，以及连接常误差项与Hidden1的边的权重。...同理，我们升级连接输入单元与Hidden3的边的权重，以及连接常误差项与Hidden3的边的权重： ?...本文介绍的有向无环图称为前馈人工神经网络。多层感知器就是一种前馈人工神经网络，其每一次都完全连接后面一层。带一个隐藏层和若干隐藏单元的MLP是一种通用函数近似器。
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
即时通信 IM
ICP备案
对象存储
实时音视频
