Python:根据二项式系数打印出头部和尾部的组合 - 腾讯云开发者社区

$(a+b)^n$的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第$n+1$行中的每一项（二项式定理）。 ---- 以下来自维基百科（我只是随便贴这） 二项式系数 二项式系数可排列成帕斯卡三角形。...在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言，二项式系数由两个非负整数$n$和$k$为参数决定，写作，定义为的多项式展开式中，项的系数，因此一定是非负整数。...事实上，可以被理解为从$n$个相异元素中取出$k$个元素的方法数，所以大多读作「$n$取$k$」。二项式系数的定义可以推广至$n$是复数的情况，而且仍然被称为二项式系数。...，则 $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k$ 此数的另一出处在组合数学，表达了从$n$物中，不计较次序取$k$物有多少方式，亦即从一$n$元素集合中所能组成...计算二项式系数除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算的值。

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排列组合公式的原理_有序排列组合公式

）： C0n+C2n+C4n+⋯=C1n+C3n+C5n+⋯=2n−1 杨辉三角这个神奇的图形和组合数、二项式定理密切相关。...(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项（二项式定理）。以下来自维基百科 二项式系数 二项式系数可排列成帕斯卡三角形。在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。...一般而言，二项式系数由两个非负整数n和k为参数决定，写作，定义为的多项式展开式中，项的系数，因此一定是非负整数。如果将二项式系数写成一行，再依照顺序由上往下排列，则构成帕斯卡三角形。...CknCnkPnk 定义及概念对于非负整数n和k，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即 (nk)(1+x)nxk (1+x)n=n∑k=0(nk)xk=(n0)+(n1)x+⋯+(nn)xn...计算二项式系数除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算的值。

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信用风险建模 in Python 系列 2 - 独立模型上

该系列是理论和代码相结合，首先引入所需的 Python 包。...有随机性就能求出其期望、方差、协方差和相关系数等统计指标。...，将 qi 到 1 分 1000 个点，然后求出均值根据之前的假设，p 和 c 对于所有借贷人都是一样的，再根据真实样本组合的平均违约率为 1%，总敞口为 1000 美元，有 100 个借贷人，那么平均每个敞口为...打印出该组合的 EL 和 UL 值，记注它们，和下面用蒙特卡洛在同质组合上模拟的结果对比。为了苹果比苹果，我们用蒙特卡洛在相同的同质组合上模拟，再和之前的解析解结果对比。...4 总结诚然，虽然二项分布的模型过于简单，但深入研究它我们至少知道为什么不好，原因有二：违约独立性的假设，这和实际情况不符。 二项式分布的极限收敛于正态分布，而正态分布通常不能捕捉到尾部损失。

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【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )

文章目录一、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) 三、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2...证明方法 : 二项式定理 : 使用 二项式定理 + 求导可以证明该组合恒等式 ; 组合恒等式代入 : 使用已知组合恒等式代入 , 消去变系数 ; 即使用之前的 3 个递推式 , 简单和 , 交错和..., 5 个组合恒等式代入 ; 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) ---- 使用二项式定理 + 求导方法证明下面的恒等式 : \sum_{k=...( 根据下面的幂函数导数公式计算 ) : (x +1)^n 导数为 n(x+1)^{n-1} ( 2 ) 右边组合式 ( 根据下面的导数运算规则和幂函数导数公式计算 ) : 1+ \...变化范围 0 ~ n ; 证明方法 : 二项式定理 : 使用 二项式定理 + 求导可以证明该组合恒等式 ; 组合恒等式代入 : 使用已知组合恒等式代入 , 消去变系数 ; 即使用之前的

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【题解】计算系数

输出格式输出共一行，包含一个整数，表示所求的系数。这个系数可能很大，输出对 10007 取模后的结果。...对于 100% 的数据，有 0≤k≤1000，0≤n,m≤k，n+m=k，0≤a, 图片题目分析首先来了解下二项式定理。...根据此定理，可以将x+y的任意次幂展开成和的形式：图片这个公式也称为二项公式或二项恒等式。故在此，设A=by，B=ax。...图片得到图片那么系数就是图片对于组合数，利用组合数性质图片。可在图片时间复杂度内求出组合数。幂次方可用快速幂的方式进行求解。...i;j++){ c[i][j]=(c[i-1][j]%M+c[i-1][j-1]%M)%M; } } cout<<c[k][m]*mypow(a,n)*mypow(b,m)%M;//利用二项式定理求系数

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【组合数学】计数模型、常见组合数与组合恒等式 ★★

选取问题 : n 元集 S , 从 S 集合中选取 r 个元素 ; 根据元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 : 元素不重复元素可以重复有序选取集合排列...) 二、常见的组合计数 ---- 常见的组合计数 : I ....二项式系数 (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k} \dbinom{n}{k} 是二项式系数 ; 二项式系数相关组合恒等式 : 1 ...., 上项 n 是不变的 ; ( 1 ) 简单和 : \sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n ④ ( 2 ) 交错和 : \sum\limits_{k=0...{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t} \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 是多项式系数多项式系数相关组合恒等式

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【组合数学】二项式定理与组合恒等式 ( 二项式定理 | 三个组合恒等式递推式 | 递推式 1 | 递推式 2 | 递推式 3 帕斯卡杨辉三角公式 | 组合分析方法 | 递推式组合恒等式特点 )

文章目录一、二项式定理二、组合恒等式 ( 递推式 1 ) 三、组合恒等式 ( 递推式 2 ) 四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式五、组合分析方法六、递推式组合恒等式特点...一、二项式定理 ---- 二项式定理 : n 是正整数 , 对于一切 x 和 y , 有以下定理 : (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^..., 可以得到等号 = 两侧的值是相等的 ; 该公式用于消去系数的 , 示例如下 : 计算 \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} 组合式 : 此时需要消去 k...: (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k} 根据二项式定理 , 可以得到 (1 + 1)^{n} = \sum\limits_{k=0}...---- 使用比较小的组合数表示比较大的组合数 , 称为递推式组合恒等式 ;

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PHP算法

https://blog.csdn.net/u011415782/article/details/79615054 ♥ 前言对于杨辉三角是什么的问题，请参考百度百科的详细解释：杨辉三角...杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。...杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合 ?...♠ 代码实现题目的要求是：设计代码，实现打印杨辉三角的功能此处提供的参考代码为 PHP，其他语言可参考推敲 ①....输出结果输出的结果是相同的，参考如下： ?

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【组合数学】推广牛顿二项式 ( 牛顿二项式推广 | 推导流程 | 题目解析 )

文章目录牛顿二项式公式牛顿二项式公式使用 ax 替换 x 后的公式推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况推导 C(-n,k) 的公式推广牛顿二项式 题目解析1 题目解析2 牛顿二项式公式...是正数 , -n 是负数 , 累加的时候 , k 从 0 到 n 进行累加 ) ( \dbinom{-n}{k} 此时没有组合数意义 , 只是单纯的计算 ) ---- 推导 C...(-n,k) 的公式下面推导该二项式系数 \dbinom{-n}{k} 值 : ① 将 C(n, k) 展开 : \begin{array}{lcl}C(n,k) =\dbinom{n}{k...; 解 : 根据牛顿二项式展开式子 : \begin{array}{lcl}(1+2x)^n &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}(2x)^k...\\ \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}2^k x^k \end{array} 结论 : x^k 之前的系数是 2^k\dbinom{

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【算法题解】 Day22 搜索与回溯

从上到下打印二叉树题目剑指 Offer 32 - I. 从上到下打印二叉树难度：medium 从上到下打印出二叉树的每个节点，同一层的节点按照从左到右的顺序打印。...；出队：队首元素出队，记为 node；打印：将 node.val 添加至列表 tmp 尾部；添加子节点：若 node 的左（右）子节点不为空，则将左（右）子节点加入队列 queue ...从上到下打印二叉树 II 题目剑指 Offer 32 - II. 从上到下打印二叉树 II 难度：easy 从上到下按层打印二叉树，同一层的节点按从左到右的顺序打印，每一层打印到一行。...从上到下打印二叉树 III 难度：medium 请实现一个函数按照之字形顺序打印二叉树，即第一行按照从左到右的顺序打印，第二层按照从右到左的顺序打印，第三行再按照从左到右的顺序打印，其他行以此类推。...，这题的话，打印顺序交替变化，因此可以考虑双端队列；解题 Python： class Solution: def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List

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R语言风险价值：ARIMA，GARCH，Delta-normal法滚动估计VaR（Value at Risk）和回测分析股票数据|附代码数据

---- 点击标题查阅往期内容 Python计算股票投资组合的风险价值（VaR）左右滑动查看更多 01 02 03 04 adf.test(ret) 小的 P 值 (<0.01) 表明有足够的证据拒绝原假设...估计为了估计参数的系数，我们使用最大似然。...GARCH 实现尽管残差的 ACF 和 PACF 没有显着滞后，但残差的时间序列图显示出一些集群波动。...VaR预测该 ugarchroll 方法允许执行的模型/数据集组合的滚动估计和预测。它返回计算预测密度的任何所需度量所需的分布预测参数。...因此，N 是样本中观察到的异常数。正如 Kupiec (1995) 所论证的那样，失败数遵循二项式分布 B(T, p)。

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二项式定理

定义在初等代数中，二项式定理（英语：Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。...根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如(x + y)n 展开为类似 axbyc 项之和的恒等式，其中b、c均为非负整数且b + c = n。系数a是依赖于$n$和b的正整数。...其实二项式定理也就一句话：$(x + y)^n = \sum_{i = 0}^n C_{n}^i x^{n - i} y^{i}$ 证明我太菜了，只会组合证明qwq $(a+b)^n$是由$n$个$(...a+b)$相乘，对于其中$a^k$中的这一项，我们肯定是从中选择了$k$个$a$相乘，剩下的$b$相乘就是$b^{n - k}$，这样的选法共有$C_n^k$个，因此该项为$C_n^k a^k b^{n...$ 应用很深入的应用我还没有涉及到，也就是简单的了解了一下 cc上有一道毒瘤入门题，给大家推荐一下题目题解参考资料维基百科—二项式定理

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【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )

文章目录一、指数生成函数二、排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数三、指数生成函数示例参考博客 : 按照顺序看【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数...| 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 ) 【...| 有限制条件的无序拆分 ) 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 ) 一、指数生成函数 ---- 多重集的组合数 , 使用生成函数...收敛后是 (1+x)^n 排列数对应的生成函数是 G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}P(m, n) x^n , 根据 n!..., 根据根据 C(m,n) =\cfrac{ P(m, n)}{n!}

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【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )

文章目录一、生成函数线性性质二、生成函数线性性质2 三、生成函数乘积性质参考博客 : 【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 |...与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 ) 一、生成函数线性性质 ---- 生成函数线性性质 1 : b_n = \alpha a_n , 则 B(x) = \alpha A(x) 数列 a_n...a_n 的生成函数是 A(x) , 数列 b_n 的生成函数是 B(x) , 数列 c_n 的生成含税是 C(x) , 数列和的生成函数 , 等于生成函数的和 ; 一个数列是...其它数列的线性组合 , 那么将其生成函数进行相应的组合 , 也能求出大的数列的生成函数 ; 证明方法 : 将两边展开 , 根据定义代入即可 ; 三、生成函数乘积性质 ---- 生成函数乘积性质...右边的两个生成函数 A(x) 和 B(x) 相乘 : (a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots) \times ( b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots

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PHP实现的杨辉三角求解算法分析

本文实例讲述了PHP实现的杨辉三角求解算法。...分享给大家供大家参考，具体如下： ♥ 前言对于杨辉三角是什么的问题，请参考百度百科的详细解释：杨辉三角杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。...杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合 ?...♠ 代码实现题目的要求是：设计代码，实现打印杨辉三角的功能此处提供的参考代码为 PHP，其他语言可参考推敲 ①....输出结果输出的结果是相同的，参考如下： ?

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【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )

文章目录一、重复有序拆分二、不重复有序拆分 1、无序拆分基本模型 2、全排列三、重复有序拆分方案数证明参考博客 : 按照顺序看【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数...| 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数...: \sum\limits_{r=1}^{N}=2^{N-1} ( 根据基本组合恒等式计算出来 ) 二、不重复有序拆分 ---- 先进行不重复无序拆分 , 再进行全排列 ; 1、无序拆分基本模型..., 是带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 ) 无序拆分的情况下 , 拆分后的正整数 , 允许重复和不允许重复 , 是两类组合问题...; 根据拆分序列写出拆分方案 : 反之 , 给定一个序列 , 可以还原出一个拆分方案来 , 如给出序列 S_1 = 1 , S_2=3, S_3=6 , 对应的拆分方案 : 最后一个序列式所有数之和

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【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )

文章目录一、给定级数求生成函数二、给定生成函数求级数参考博客 : 【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 |...与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质...| 积分性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★ 数列的通项公式就是级数一、给定级数求生成函数 ---- 求 b_n = 7\cdot 3^n 的生成函数...\frac{1}{1-x} \end{aligned} 先根据数列通项表示 , 写出级数之和 : G(x) = 7 \times 3^0x^0 + 7 \times 3^1x^1 + 7 \times...生成函数转化为其它生成函数之和 ; G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} 将 1-3x + 2x^2 分解因式 , 分解为 (1-x)(1-2x) 将其转为如下形式的和

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【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )

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【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★

文章目录一、生成函数性质总结二、生成函数与序列的对应参考博客 : 【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 |...与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质...\{a_n\} 或 a_n 的递推方程 , 求生成函数 G(x) , 需要使用级数的性质和一些重要的级数 ; 常用的生成函数取值 : 1 数列相关 : \{a_n\} , a_n..., k 为正整数 ; \begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} k^n x^n = \frac{1}{1-kx} \end{aligned} 二项式系数相关...{n} ; \begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m}{n} x^n = ( 1 + x ) ^m \end{aligned} 组合数相关

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杨辉三角及实现

百科：杨辉三角，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。...帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。...打印直角三角形的形状： #include int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); int arr[100][100] = { 0 }...if (i >= j) { printf("%3d ", arr[i][j]); } } printf("\n"); } return 0; } 运行结果： 2.2 打印等腰三角形的形状...printf("%5d ", arr[i][j]); } printf("\n"); }*/ for (i = 0; i < n; i++) { //对于每一行，先打印空格再打印数据

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排列组合的一些公式及推导(非常详细易懂)

排列组合公式的原理_有序排列组合公式

信用风险建模 in Python 系列 2 - 独立模型上

【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )

【题解】计算系数

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【组合数学】二项式定理与组合恒等式 ( 二项式定理 | 三个组合恒等式递推式 | 递推式 1 | 递推式 2 | 递推式 3 帕斯卡杨辉三角公式 | 组合分析方法 | 递推式组合恒等式特点 )

PHP算法

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二项式定理

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【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )

PHP实现的杨辉三角求解算法分析

【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )

【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )

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【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★

杨辉三角及实现

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