Python:求解矩阵方程Ax =b，其中A包含变量 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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用Python的Numpy求解线性方程组

解决方法有多种，例如消除变量，克莱默规则，矩阵解决方案。在本文中，我们将介绍矩阵解决方案。在矩阵解中，要求解的线性方程组以矩阵形式表示AX = B。...为此，我们可以采用矩阵逆的点积A和矩阵B，如下所示： X = inverse(A).B 用numpy求解线性方程组要求解线性方程组，我们需要执行两个操作：矩阵求逆和矩阵点积。...矩阵可以视为列表列表，其中每个列表代表一行。在以下脚本中，我们创建一个名为的列表m_list，其中进一步包含两个列表：[4,3]和[-5,9]。这些列表是矩阵中的两行A。...该变量X包含方程式2的解，并输出如下： [ 5. 3. -2.] 未知数x，y和的值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。...结论本文介绍了如何使用Python的Numpy库解决线性方程组。您可以使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来求解线性方程组，也可以简单地使用solve()方法。

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用Python的Numpy求解线性方程组

解决此类系统的方法有多种，例如消除变量，克莱默规则，行缩减技术和矩阵解决方案。在本文中，我们将介绍矩阵解决方案。在矩阵解中，要求解的线性方程组以矩阵形式表示AX = B。...为此，我们可以采用矩阵逆的点积A和矩阵B，如下所示： X = inverse(A).B 用numpy求解线性方程组要求解线性方程组，我们需要执行两个操作：矩阵求逆和矩阵点积。...矩阵可以视为列表列表，其中每个列表代表一行。在以下脚本中，我们创建一个名为的列表m_list，其中进一步包含两个列表：[4,3]和[-5,9]。这些列表是矩阵中的两行A。...该变量X包含方程式2的解，并打印如下： [ 5. 3. -2.] 未知数x，，y和的值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。...结论本文介绍了如何使用Python的Numpy库解决线性方程组。您可以链式使用linalg.inv()和linalg.dot()方法来求解线性方程组，也可以简单地使用该solve()方法。

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博客 | MIT—线性代数（上）

行视图为所有人熟知，即求解空间内不同方程所代表的线、面、体交点；列视图表示空间内列向量间的线性表示，在线性代数上用到最多；矩阵表示则是引入矩阵，将方程组以Ax=b重新编排，A是m*n的矩阵。...从列视图角度重新理解方程组的解，即向量b是否包含在A的列空间内，或b能否用A的列向量线性表出。 2、矩阵消元：行空间角度。...使用高斯消元求解Ax=b，将A化简为行阶梯形式，等价于使用某个矩阵变换E左乘A的行向量，即E·A·x=U·x=E·b，其中E记录了高斯消元中所有的行变换，U表示行阶梯形式的消元结果，是一个上三角矩阵。...7、 Ax=0主变量和特解：求解Ax=0首先要使用高斯消元将A转换为标准行阶梯矩阵U，求解Ux=0的解空间即A的零空间不变。...8、 Ax=b可解性和解的结构：此时对[A|b]进行高斯消元，并化简为标准行阶梯矩阵。方程的可解性要参考m*n矩阵A与其列空间维数r之间的关系，其中r<=m且r<=n。

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矛盾方程的最小二乘解

首先看两个个结论：结论一：方程组Ax=b的最小二乘解的通式为x=Gb+(I-GA)y, 其中G\in A\{1, 3\}, y是\mathbb C^n中的任意向量....结论二：只有A是满秩时, 矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解才是唯一的, 且为x_0=(A^HA)^{-1}A^Hb. 否则, 便有无穷多个最小二乘解....解：系数矩阵A=\left[\begin{matrix}1&2\\2&1\\1&1\end{matrix}\right] 为列满秩矩阵，故矛盾方程有唯一最小二乘解： A^{(1, 3)}=(A^HA)...}\left[\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right] 下面是如何在Python中进行求解： Python中的矩阵运算可以参考：numpy矩阵运算 import numpy...\\kx_n+b=y_n\end{cases} 这里的k和b为变量，使用上述公式求解出k和b的值，则可以得到变量的最小二乘线性拟合方程。

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Python 数学应用（一）

我们从写成线性方程组的形式开始其中n至少为 2，*a[i,j]和b[i]*是已知值，*x[i]*值是我们希望找到的未知值。在解这样的方程组之前，我们需要将问题转化为矩阵方程。...然后，如果我们将x作为未知数（列）向量，包含x[i]值，b作为（列）向量，包含已知值b[i]，那么我们可以将方程组重写为单个矩阵方程现在我们可以使用矩阵技术来解决这个问题。...这个例程返回一对(v, B)，其中v是包含特征值的一维数组，B是其列是相应特征向量的二维数组： v, B = linalg.eig(A) 只有具有实数条目的矩阵才可能具有复特征值和特征向量。...一般（一阶）微分方程的形式为其中f是t（自变量）和y（因变量）的某个函数。在这个公式中，T是因变量，f(t, T) = -kt。...通过分析微分方程系统的相平面，我们可以识别解的不同局部和全局特征，如极限环。数值求解偏微分方程偏微分方程是涉及函数在两个或多个变量中的偏导数的微分方程，而不是仅涉及单个变量的普通导数。

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在R里面对三元一次方程求解

三元一次方程大家应该是不陌生的，形如 aX + bY + cZ = d 的就是，其中X,Y,Z是未知的变量，a,b,c,d 都是已知的常量，通常呢，需要至少3个没有线性关系的已知等式才能求唯一解。...-61.2000 327.5667 a %*% x 其实就是 ax=b ，然后已知a是一个矩阵，3行3列，b是一个向量有3个元素，就可以求解x啦。...重要的就是 solve 函数，把前面的已知的等式，拆分出来a和b两个常量，就可以求解x这个变量： 2X + 3Y - 4Z = 345 5X - 6Y + 7Z = 361 8X + 9Y - 10Z...= 235 其中x这个变量，由X,Y,Z这3个变量组成。...矩阵提取的示例如下： ? 在R里面可以很容易进行矩阵求解，也就是线性代数，就是上面提到的 ax=b ，然后已知a是一个矩阵，3行3列，b是一个向量有3个元素，就可以求解x啦。

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机器学习（5）：几个重要矩阵

如下所示，利用numpy模块求解方阵A的逆矩阵，B，然后再看一下A*B是否等于单位阵E，可以看出等于单位阵E。...1, 2], [1, 2]]) la.det(C) 0.0 行列式为0，因此方阵C为奇异矩阵 3 病态矩阵求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵称为病态矩阵，具体来说可以这样描述：解线性方程组...Ax = b 时，若对于系数矩阵 A 及右端项 b 的小扰动 δA、δb，方程组 (A+δA) χ = b+δb 的解 χ 与原方程组 Ax=b 的解差别很大，则称矩阵 A 为病态矩阵。...'病态矩阵测试 Ax = b' 'x = la.inv(A).dot(b) 如下python代码所示：' A = np.array([[400,-201],[-800,401]]) b = np.array...4 条件数衡量矩阵的病态程度通常是看矩阵的条件数。条件数的定义：K(A)= ‖inv(A)‖ * ‖A‖ 的大小。其中，‖‖ 表示对矩阵取某一种范数。

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MIT-线性代数笔记（1-6）

讲求解 Ax=0:主变量，特解第 08 讲求解Ax=b：可解性与解的结构第 09 讲线性相关性、基、维数第 10 讲四个基本子空间第 11 讲矩阵空间、秩1矩阵和小世界图第 12 讲...第 02 讲矩阵消元　　只要矩阵可逆，均可通过消元法求得 Ax=b 的解　　若此处 ? 　　...抽象背后的实际目的，都是为了深刻认识Ax=b，Ax=b是否对任意b（右侧向量）都有解？或者说，什么样的b使方程组有解？ Ax=b对任意b并不总有解，因为Ax=b中有四个方程，却只有三个未知数。...1）b为零向量。Ax=0总有一个零解 2）b是列向量的线性组合。Ax=b有解，当且仅当右侧向量b属于A的列空间。...（列空间包含所有A乘以任意x得到的向量，也就是包含所有有解的b）列空间是非常核心的内容，它能告诉我何时方程组有解。

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Python数学建模算法与应用 - 常用Python命令及程序注解

numpy.linalg.solve(a, b) 求解线性方程组Ax = b，其中a是系数矩阵，b是常数向量。返回值是x，表示方程组的解。...numpy.linalg.lstsq(a, b, rcond='warn') 最小二乘法求解线性方程组Ax = b。a是系数矩阵，b是常数向量。...结果将赋值给变量x1。 x2 = root(fx, 1.5) 这行代码使用root函数对方程进行求解。第一个参数是要求解的函数fx，第二个参数是初始猜测值，即方程的近似解，这里取为1.5。...第一个参数是要求解的函数fx，第二个参数是初始猜测值，即方程组的近似解，这里取为[1, 1]。结果将赋值给变量s1。...x0 = sp.solve(a*x**2 + b*x + c, x) 这行代码使用SymPy库的solve函数求解了二次方程a*x**2 + b*x + c对变量x的解，并将解赋值给变量x0。

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量子线性系统算法及实践——以Cirq为例

而正是由于线性求解问题在学科中的基础性作用，其在科学、工程、金融、经济应用、计算机科学等领域也应用广泛，如常见的天气预报，需要通过建立并求解包含百万变量的线性方程组实现对大气中类似温度、气压、湿度等的模拟和预测...HHL算法对于大型良态稀疏矩阵A、用量子算法高效制备的量子态b，可以在复杂度O（polylogN）内输出Ax=b的量子态近似解。...LSA与QLSA分别需要解决的问题如下： LSA需要解决的问题是找到一个N维向量x，使得Ax=b。 QLSA需要解决的问题是找到一个n位量子比特，满足ε和Ax=b。...一般求解线性方程组的问题时会给定一个系统，再寻找对于矩阵和向量的。其中，假设A是厄米矩阵。将的分别表示为量子态｜x〉和｜b〉后，重新缩放为单位向量即。...该算法试图用量子计算机求解Ax=b。HHL算法已在不同的量子计算机上被证明，HHL算法将求解向量的值转化为求解矩阵M的期望值（M满足╀）。

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LinearAlgebra_2

列空间和零空间回顾主题例子 AXb 求解AX0 回顾主题 AX0求解的总体思路例子形式化的求解 AXb 什么时候有解有解的话求解特解求出通解 big picture 列满秩行满秩全满秩...AX=0求解的总体思路首先，先求出矩阵A的upper form。然后求出reduced echelon form。根据上面，可以判断出主元的个数，主变量，辅助变量等。...矩阵转置后，rank不变。有了rref，下面需要开始求解AX=0AX=0啦。...A: 肯定是一个可逆矩阵，行列式不为0，存在一个特解。 R=iR=i 总结矩阵的秩包含了矩阵解的所有信息，可以根据矩阵的秩判断解的情况与个数。 ?...线性相关性，基，维数回顾前面，解决了线性方程组AX=bAX=b是否有解，有解的话是多少的问题。

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日拱一卒，麻省理工的线性代数课，线性方程有解分析

今天我们继续MIT的线性代数课程，今天的内容关于求解方程 Ax=b 的可解性以及解的结构。这一块内容是对之前内容的总结以及发散，同时也是线性代数这门课中的基础。...据此，我们得到一条推论：要使得线性方程有解，如果矩阵中行的线性组合可以得到0，那么 b 中的分量进行同样的线性组合也应该得到0才有解。当然满足 b 属于矩阵的列空间也是一种方程有解的描述。...求解方程接下来，我们要试着找出方程的所有解。整个过程分成三个步骤：找出方程的特解令所有的自由变量等于0，解出此时 Ax = b 中主变量的解。...并且由于自由变量存在，所以 Ax = 0 的解也有无数多个。...此时 Ax = 0 仅有唯一解，即 x=0 。并且 Ax = b 也只有唯一解。因此整个方程只有唯一解。最后，我们做一个总结。我们可以发现，方程是否有解与矩阵的秩密切相关。

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LinearAlgebra_1

AX=b AX=b 对于该线性方程组或者对应的系数矩阵来说，有两种理解方式 row picture column picture row picture 所求的(x,y)(x,y)，可以被视为每一行所构成的超平面的交点...消元法(elimination) 矩阵消元回顾之前讨论了线性代数的由来——线性方程组的求解问题。...可以理解成矩阵A的列的线性组合是不是能够包含整个解空间。如果包含整个解空间，那么对于任意的b解肯定都是存在的。否则的话得看对应的b是不是在这个解空间中。那么，解是否唯一呢。...= I 还是按照A的列的组合的方式，拆开成两个方程组，每个方程组包含两个未知数。...如果AX=0AX=0，那么逆矩阵不存在，因为原有矩阵A存在线性相关的列，也就是有一部分列被浪费了，无法构成完整的空间。同时，还讲解了逆的求解。

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机器学习作业1-线性回归

人口-盈利样本数据内容：单变量-餐馆盈利预测多变量-房价预测现有库实现梯度下降正规方程硬解拟合参数二、单变量拟合的代码实现与说明，完整代码参考原作者的github 1....以下代码示例中实现的方程在“练习”文件夹中的“ex1.pdf”中有详细说明。首先，我们将创建一个以参数θ为特征函数的代价函数 ? 其中 ?...变量初始化 cols = data.shape[1] // data的大小，可以理解为size、length等，矩阵为：行 * 列 // iloc按index取列, loc按名称曲烈 // python...二、多变量线性回归。逻辑和单变量类似，不再赘述。（增加了归一化处理）练习1还包括一个房屋价格数据集，其中有2个变量（房子的大小，卧室的数量）和目标（房子的价格）。...scikit-learn 单变量梯度下降四、用解方程的方式求解 ? 参数，一般叫“正规方程-normal equation” 原理是用线性代数的最小二乘法来拟合，不记得最小二乘法，可以复习下。

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一个简单回归案例：初识机器学习过程

观察散点图发现，身高和体重呈现一定的线性关系，大致的线性关系可以用下面的直线进行拟合：拟合直线方程为： f(x) = ax + b 其中a和b是待定系数，机器学习的主要工作就是依据给出的经验数据确定...下面的Python程序求变量a和b的偏导函数。...200.0*b - 13628.21132 求解上面的方程组，即可求得a和b的值，确定回归输出的预测模型。...我们使用Python的NumPy库来求解上面的方程组。...例3 求解方程组 # 导入numpy库 import numpy as np # 程序入口 if __name__ == '__main__': # 建立2X2矩阵 ta = np.array

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数值分析读书笔记（3）求解线性代数方程组的迭代法

数值分析读书笔记（3）求解线性代数方程组的迭代法 1.基本迭代法及其构造考虑方程组Ax=b，其中A属于n*n维的矩阵空间，b和x属于n维向量空间，一般来说我们需要从这个隐式的方程组转变成显示的等价方程...,这样的方程为不动点方程，我们可以通过不断迭代，计算出等式右端然后赋值给变量x 对于Ax=b而言，如果我们简单取A=I-B，可以得到等价的x=Bx+b,从而构造迭代格式 ?...不同的分裂法将使我们的B和f不一致，我们通常将A分裂成三个部分A=D-L-U，其中D为对角矩阵，L和U分别是下三角和上三角矩阵，这里需要注意一下符号的不同，L和U的元素都是原矩阵上三角和下三角元素符号的相反数...其中 ? 为任意一种矩阵范数 3.误差估计对于迭代格式的收敛性我们已经讨论过了，下面给出误差的估计，主要是用来计算相应到达误差范围相应迭代次数的值，下面给出一个定理设求解 ?...Ax=b的Jacobi迭代格式收敛的充分必要条件就是A和2D-A均正定，其中D为A生成的对角矩阵同样的，我们对于Gauss-Seidel迭代也给出一个定理设A对称正定，则方程组Ax=b的Gauss-Seidel

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Python SciPy 实现最小二乘法

求解时需要将模型 f(x_i) 改写成矩阵形式，矩阵用字母 A 表示，则只需给出方程 f\left(x_{i}\right) 的模型即 A 及样本 y_{i} 便可求得方程的各个系数。...x 的矩阵A。...1} \ a+b x_{2} & =y_{2} \ \cdots & \ a+b x_{99} & =y_{99}\end{aligned} 将以上式子写成如下矩阵的形式： \left|\begin{...计算的结果是一个包含两个元素的元组，第一个元素是一个数组，表示拟合后的参数；第二个元素如果等于1、2、3、4中的其中一个整数，则拟合成功，否则将会返回 mesg。...输出结果： array([ 7.02880266, 3.16343491, 11.73254754]), 1) 优化方法不是万能的，如果矩阵过于奇异，也是不利于准确求解模型参数的。

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【运筹学】线性规划数学模型 ( 知识点回顾 | 可行解 | 最优解 | 阶梯型矩阵 | 阶梯型矩阵向量 | 基 | 基向量 | 基变量 | 非基变量 )

可行解中找出一个最优解 ; 将线性规划转化为标准形式 , 就可以使用求解方程组的方法 , 求解线性规划的可行解 ; 三、阶梯型矩阵 ---- 拿到一个方程组 AX = B , 其中 A 是...| 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 ) VI 线性规划数学模型矩阵形式解上述方程组 , 使用高斯方程 , 高斯消元法 ; 将系数矩阵 A 和 B 做成一个矩阵 \bigl( A B \...bigr) , 进行行变换 , 消元成阶梯形式 , 此时可以判断该方程组是否有解 , 如果有 , 可以将所有的解解出来 , 求解时 , 阶梯元素很关键 , 阶梯型矩阵参考 : 矩阵中每行的第一个不为零的元素...: AX = B P_1x_1 + P_2 x_2 + P_3x_3 = b \bigl( \ P_1 \ P_2 \ \bigr) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix...} 当做一个矩阵 X_B ; 将整个系数矩阵除了 B 之外剩下的矩阵称为 N , 对应的变量矩阵称为 X_N ; BX_B + NX_N = b 在上述矩阵的表达式中 , 方程组

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关于矩阵的秩及求解Python求法

关于消元法求解线性方程组可将系数和结果转换为矩阵，并可令B为增广矩阵将A、B通过消元法求解所有的m*n的矩阵经过一系列初等变换，都可以变成如下的形式： r就是最简矩阵当中非零行的行数，它也被称为矩阵的秩...我们把A矩阵的秩记作: R(A),那些方程组中真正是干货的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩，阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！一个矩阵经过初等变换，它的行列式保持不变。...线性方程组的解我们理解了矩阵的秩的概念之后，看看它在线性方程组上的应用。...假设当下有一个n元m个等式的方程组：我们可以将它写成矩阵相乘的形式：Ax = b 其中A是一个m*n的矩阵，我们利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可以和方便地看出线性方程组是否有解。...B的秩为3 # 求解方程 x = np.linalg.solve(A, b) print("x={}".format(x)) # x=[-0.2 0.6 0.6] # 可将结果带入验证方程 # 3*

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线性代数--MIT18.06(八)

求解 Ax=b :可解性和解的结构 8.1 课程内容：求解 Ax=b 上一讲我们已经解决了 ? ，更广泛地我们想要知道 ?...■ r=n<m 此时线性方程组的系数矩阵经过消元出现了全为 0 的行，由Gauss-Jordan法我们知道此时对 ?...8.2 求解 Ax=b 习题课 2011年求解Ax=b习题课问， ? 满足什么条件时，下列方程组有解，并写出解。 ? ---- 解答首先进行消元 ?...，求解该方程，我们继续上述消元过程，从而得到 ? ? 我们首先使得自由变量列的自由变量 ? 为 0 求列空间中的特解 ? , 即得到 ? 之后我们利用上一讲的内容，可以直接发现 ?...，当然我们也可以从线性方程组的角度来回代求解 ? ,即 ? 令自由变量 ? 为 1 ，则同样得到 ? 所以，解即为 ?

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