求解常微分方程常用matlab中的ode函数，该函数采用数值方法用于求解难以获得精确解的初值问题。ODE是一个包含一个独立变量（例如时间）的方程以及关于该自变量的一个或多个导数。在时域中，ODE是初始值问题，因此所有条件在初始时间t=0指定。
Scipy 是一个强大的科学计算库，它在 NumPy 的基础上提供了更多的数学、科学和工程计算的功能。本篇博客将深入介绍 Scipy 中的积分和微分方程求解功能，帮助你更好地理解和应用这些工具。
高等数学是很多理工类专业必修的课程之一，一般要求都在大一期间完成。而高等数学中最为精彩的部分就是微积分，同时微积分是现代工程技术的基础，也是后续从事科学研究的根基。微积分主要包含两个部分：微分和积分。但是高等数学对于很多大学生来说都是异常的枯燥，能不能让微积分变得有趣起来呢？是不是可以通过编程的方式来进行复杂微积分的计算呢？本文将为大家介绍利用python来实现微积分的计算，让微积分的学习不再枯燥。
Laplace算子作为边缘检测之一，和Sobel算子一样也是工程数学中常用的一种积分变换，属于空间锐化滤波操作。 简介 拉普拉斯算子（Laplace Operator）是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 拉普拉斯算子是二阶微分线性算子，在图像边缘处理中，二阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好，因此在进行图像边缘处理时，直接采用二阶微分算子而不使用一阶微分。 拉普拉斯
含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。 如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。
2004 年 SIGGRAPH 上，Microsoft Research UK 有篇经典的图像融合文章《Poisson Image Editing》。先看看其惊人的融合结果（非论文配图，本人实验结果）：
数学基础知识对机器学习还有深度学习的知识点理解尤为重要，本节主要讲解极限等相关知识。
AI 科技评论按，本文作者成指导，字节跳动算法工程师，本文首发于知乎（https://zhuanlan.zhihu.com/p/68349210），AI 科技评论获其授权转载，正文内容如下：
梯度下降法并不是下降最快的方向，它只是目标函数在当前的点的切平面（当然高维问题不能叫平面）上下降最快的方向。
梯形公式本质上依然还是基于微分差商，不过不同于之前直接使用微分的形式，这里更加严格的使用了积分的表达，即：
其中，m=2a+1,n=2b+1, w(s,t)是滤波器系数，f(x,y)是图像值。一般来说最小尺寸是3。
机器学习的传统是将基于规则的推断和统计学习对立起来，很明显，神经网络站在统计学习那一边。神经网络在统计模式识别中效果显著，目前在计算机视觉、语音识别、自然语言处理等领域中的大量问题上取得了当前最优性能。但是，神经网络在符号计算方面取得的成果并不多：目前，如何结合符号推理和连续表征成为机器学习面临的挑战之一。
冈萨里斯数字图像处理的那本书的一小点点东西，数字图像处理其实是学过了的，这里我只是把这本书完整看一遍，也是略略的看，查漏补缺，前两张略过了，从第三章开始。
选自TLP 机器之心编译 参与：Nurhachu Null、黄小天 本文介绍了牛顿法（Newton's Method），以及如何用它来解决 logistic 回归。logistic 回归引入了伯努利分布（Bernoulli distribution）中的对数似然概念，并涉及到了一个称作 sigmoid 函数的简单变换。本文还介绍了海森矩阵（这是一个关于二阶偏微分的方阵），并给出了如何将海森矩阵与梯度结合起来实现牛顿法。 与最初的那篇介绍线性回归和梯度的文章相似，为了理解我们的数学思想是如何转换成在二元分类问
一、边缘检测的概念 边缘检测是图像处理与计算机视觉中极为重要的一种分析图像的方法，至少在我做图像分析与识别时，边缘是我最喜欢的图像特征。边缘检测的目的就是找到图像中亮度变化剧烈的像素点构成的集合，表现出来往往是轮廓。如果图像中边缘能够精确的测量和定位，那么，就意味着实际的物体能够被定位和测量，包括物体的面积、物体的直径、物体的形状等就能被测量。在对现实世界的图像采集中，有下面4种情况会表现在图像中时形成一个边缘。 深度的不连续（物体处在不同的物平面上）； 表面方向的不连续（如正方体的不同的两个面）； 物体材
上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解的方法：博客地址 微分方程组复杂时，无法求出解析解时，就需要求其数值解，这里来介绍。 以下内容按照Matlab官方文档提供的方程来展开（提议多看官方文档）
前 言 无论是要解决现实生活中的难题，还是要创建一款新的软件产品，我们最终的目标都是使其达到最优状态。作为一名计算机科学专业的学生，我经常需要优化各种代码，以便提高其整体的运行速度。 一般情况下，最优状态会伴随问题的最佳解决方案。如果阅读近期发表的关于优化问题的文章的话，你会发现，优化问题在现实生活中扮演着非常重要的作用。 机器学习中的优化问题与我们刚刚提到的内容有些许不同。通常情况下，在优化的过程中，我们非常清楚数据的状态，也知道我们想要优化哪些区域。但是，在机器学习中，我们本就对“新数据”一无所知，更不
本篇文章向大家介绍梯度下降（Gradient Descent）这一特殊的优化技术，我们在机器学习中会频繁用到。 前言 无论是要解决现实生活中的难题，还是要创建一款新的软件产品，我们最终的目标都是使其达到最优状态。作为一名计算机科学专业的学生，我经常需要优化各种代码，以便提高其整体的运行速度。 一般情况下，最优状态会伴随问题的最佳解决方案。如果阅读近期发表的关于优化问题的文章的话，你会发现，优化问题在现实生活中扮演着非常重要的作用。 机器学习中的优化问题与我们刚刚提到的内容有些许不同。通常情况下，在优化的
f(x)在点x_{0}处可导 \iff f(x)在点x_{0}处左、右导数皆存在且相等。
AI 科技评论消息：NeurIPS 2018 于 12 月 3 日—12 月 8 日在加拿大蒙特利尔会展中心（Palais des Congrès de Montréal）举办，今年共计有 9 场 Tutorial 、7 场主题 Talk 和 41 场 Workshop，相较去年来说，不管是主题活动，还是投稿论文，亦或是参会人数，都上了一层新的台阶。
不过，如果离散点不够密集，那么使用上述方式进行的微分估计事实上会带来比较大的误差，因此，我们需要对其进行一下调整，此时一种比较直接的方式就是我们先用一个插值函数来对曲线进行拟合，然后再求取插值函数的微分结果作为目标函数的微分结果。
想要初步了解ADRC，可以从韩京清教授的一篇文献和一本书看起 1.文献： 从PID技术到“自抗扰控制”技术（《控制工程》，2002） 2.书： 自抗扰控制技术——估计补偿不确定因素的控制技术
本论文提出一种Hessian-Hamiltonian MC Rendering算法，简称H2MC，该算法基于Metropolis Light Transport，引入了Hamiltonian力学的思路，将光路贡献和转移概率类比为重力和势能，很好的提高了MLT中的accept rate，意味着有更高的收敛效率，但本身因为需要计算光路的一阶导，以及二阶导（Hessian Matrix），计算量比较大，因此，适用于渲染复杂场景，比如caustics，多次反弹的glossy材质以及运动效果（时间维度的求导）。
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
【导读】我们在上一节的内容中已经为大家介绍了台大李宏毅老师的机器学习课程的regression问题，其中简要提及了梯度下降（gradient descent），这一节将主要针对梯度下降问题展开分析。本文内容涉及机器学习中梯度下降的若干主要问题：调整学习率、随机梯度下降、feature scaling、以及如何直观的理解梯度下降。话不多说，让我们一起学习这些内容吧。 春节充电系列：李宏毅2017机器学习课程学习笔记01之简介 春节充电系列：李宏毅2017机器学习课程学习笔记02之Regression 课件网址
Rimmer 博士是一位退休的心脏病专家，自1988年以来一直使用Mathematica。他对数学统计，金融市场，全球定位系统，信息知识和医学感兴趣；他在 Mathematica Journal和Wolfram演示项目上发表了很多文章。
求解单变量微分方程的解 x ˙ ( t ) = 2 ∗ x ( t ) \dot{x}(t) = 2 * x(t) x˙(t)=2∗x(t)
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。
导数与微分是微积分内容的基础，就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数，导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数。微分在描述形式略有区别，但是其计算方法还是一样，只不过多元函数需要多计算几个导数而已.
需要说明的是：边缘和物体间的边界并不等同，边缘指的是图像中像素的值有突变的地方，而物体间的边界指的是现实场景中的存在于物体之间的边界。
算法：基于Laplace算子的图像边缘检测是应用于仅考虑边缘位置而不考虑其周围的像素灰度差值的图像边缘检测。Laplace算子是二阶微分算子，是一个x方向的二阶导数和y方向的二阶导数之和近似微分。
两年前第一次接触到PID觉得很高深，很神奇；后来逐渐觉得单纯的PID小儿科了，又了解到专家PID，模糊PID，神经网络PID这些改进算法，再后来又知道了ADRC，便感控制领域浩如烟海，所学不过沧海一粟。然便纵真理无穷，进一寸自有一寸的欢喜。 不敢说看了几篇论文，听了几节报告，做了几次仿真，就吃透ADRC了，不过只是一些粗浅的理解，记录一行歪歪斜斜的足迹。以便回首过眼云烟之时，可以安慰自己一句，我已经飞过。
张量是矢量和矩阵概念的推广，标量是0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量好比是立方体矩阵。
Laplacian 算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度grad的散度div。可使用运算模板来运算这定理定律。
有时我们需要计算输入和输出都为向量和函数的所有偏导数。包含所有这样的偏导数的矩阵被称为Jacobian矩阵。具体来说，如果我们有一个函数 , 的Jacobian矩阵 定义为 。有时，我们也对导数的导数感兴趣，即二阶导数(second derivative)。例如，有一个函数 ， 的一阶导数(关于 )关于 的导数记为 为 。二阶导数告诉我们，一阶导数(关于 )关于 的导数记为 。在一维情况下，我们可以将 为 。二阶导数告诉我们，一阶导数如何随着输入的变化而改变。它表示只基于梯度信息的梯度下降步骤是否会产生如我们预期那样大的改善，因此它是重要的，我们可以认为，二阶导数是对曲率的衡量。假设我们有一个二次函数(虽然实践中许多函数都是二次的，但至少在局部可以很好地用二次近似)，如果这样的函数具有零二阶导数，那就没有曲率，也就是一条完全平坦的线，仅用梯度就可以预测它的值。我们使用沿负梯度方向下降代销为 的下降步，当该梯度是1时，代价函数将下降 。如果二阶导数是正的，函数曲线是向上凹陷的(向下凸出的)，因此代价函数将下降得比 少。
偏导数刻画了函数沿坐标轴方向的变化率，但有些时候还不能满足实际需求。为了研究函数沿着任意方向的变化率，就需要用到方向导数。
在本文中，我将尝试简要介绍一下这篇论文的重要性，但我将强调实际应用，以及我们如何应用这种需要在应用程序中应用各种神经网络。
来源：DeepHub IMBA本文约1800字，建议阅读10分钟本文利用可视化方法，为你直观地解析牛顿迭代法。 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。 以 Isaac Newton 和 Joseph Raphson 命名的 Newton-Raphson 方法在设计上是一种求根算法，这意味着它的目标是找到函数 f(x)=0 的值 x。在几何上可以将其视为 x
MATLAB有很多用于求解微分方程的内置函数。MATLAB包含了用于求解常微分方程（ODE）的函数，微分表达式一般如下
现在是 2022-1-1，我简单的点评一下今年各位老师的出卷，如果读者想刷这一年的，可以作为参考
过冷水最近有接触一点点动力学的知识。作为动力学入门，当然的会解动力学方程了。于是本期过冷就教大家解动力学微分方程。
图像分割就是把图像分成若干个特定的、具有独特性质的区域并提出感兴趣目标的技术和过程。现有的图像分割方法主要分以下几类：基于阈值的分割方法、基于区域的分割方法、基于边缘的分割方法以及基于特定理论的分割方法等。单色图像的分割算法通常基于灰度值的不连续性和相似性。
其主要用于边缘检测，在技术上它是以离散型的差分算子，用来运算图像亮度函数的梯度的近似值， Sobel算子是典型的基于一阶导数的边缘检测算子，由于该算子中引入了类似局部平均的运算，因此对噪声具有平滑作用，能很好的消除噪声的影响。Sobel算子对于象素的位置的影响做了加权，与Prewitt算子、Roberts算子相比因此效果更好。Sobel算子包含两组3×3的矩阵，分别为横向及纵向模板，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。缺点是Sobel算子并没有将图像的主题与背景严格地区分开来，换言之就是Sobel算子并没有基于图像灰度进行处理，由于Sobel算子并没有严格地模拟人的视觉生理特征，所以提取的图像轮廓有时并不能令人满意。
1、一般的最优化问题要最小化的性能指标定义在数域上，而变分问题的性能指标（目标泛函）的定义域是函数的集合。
解析：分析，题目给出了偏导数，所以我们首先求出偏导数，根据偏导数对应的法则，可以求得
答：假设有一副图像，共有像素个数为n=MN（M行N列），像素灰度值取值范围为（0～255），那么该图像的灰度值的个数为L=256，为了提高图像的对比度，通常我们都希望像素的灰度值不要都局促到某一个狭窄的范围，也就是我们通常说的图像灰度值的动态分布小。最好是在有效灰度值取值范围上，每个灰度值都有MN/L个像素，这个时候我们就可以得到一张对比度最理想的图像，也就是说像素的取值跨度大，像素灰度值的动态范围大。
边缘检测的目的是标识数字图像中亮度变化明显的点。图像属性中的显著变化通常反映了属性的重要事件和变化。边缘的表现形式：
自注意力机制（self-attention）广泛应用于人工智能的各个领域，成功地提升了不同模型的性能。然而，目前对这种机制的解释主要基于直觉和经验，而对于自注意力机制如何帮助性能的直接建模仍然缺乏。为了缓解这个问题，在本文中，基于残差神经网络的动力系统视角，我们首先展示了在常微分方程（ODEs）的高精度解中存在的本质刚度现象（SP）也广泛存在于高性能神经网络（NN）中。因此，NN在特征层面上测量SP的能力是获得高性能的必要条件，也是影响NN训练难度的重要因素。类似于在求解刚性ODEs时有效的自适应步长方法，我们展示了自注意力机制也是一种刚度感知的步长适配器，它可以通过细化刚度信息的估计和生成自适应的注意力值，增强模型测量内在SP的表征能力，从而提供了一个关于为什么和如何自注意力机制可以提高模型性能的新理解。这种新的视角也可以解释自注意力机制中的彩票假设，设计新的表征能力的定量指标，并启发了一种新的理论启发式方法，StepNet。在几个流行的基准数据集上的大量实验表明，StepNet可以提取细粒度的刚度信息并准确地测量SP，从而在各种视觉任务中取得显著的改进。
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