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Numpy中常用的10个矩阵操作示例

Numpy通常用于在Python中执行数值计算,并且对于矩阵操作做了特殊的优化。numpy通过向量化避免许多for循环来更有效地执行矩阵操作。...当使用*操作符将两个ndarray对象相乘时,结果是逐元素相乘。另一方面,当使用*操作符将两个矩阵对象相乘时,结果是点(矩阵)乘积,相当于前面的np.dot()。...逆 方阵的逆可以通过numpy linalg包的inv()函数找到。如果方阵的行列式不为0,它的逆矩阵就为真。...伪逆 即使对于奇异矩阵(行列式为0的方阵),也可以使用numpy linalg包的pinv()函数计算伪(真实)逆。...因此,numpy是一个功能强大的Python库。 我们还可以将一些矩阵运算结合起来进行复杂的计算。

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如何让奇异值分解(SVD)变得不“奇异”?

举个简单的例子,例如方阵 A 为: 那么对其进行特征分解,相应的 Python 代码为: 运行输出: 特征分解就是把 A 拆分,如下所示: 其中,特征值 λ1=3.41421356,对应的特征向量...02 对称矩阵的矩阵分解(EVD) 如果方阵 A 是对称矩阵,例如: 对称矩阵特征分解满足以下公式: 那么对其进行特征分解,相应的 Python 代码为: 运行输出: 特征分解就是把 A...因此,我们就可以分别对上面的方阵进行分解: 其中,Λ1 和 Λ2 是对焦矩阵,且对角线上零元素均相同,即两个方阵具有相同的零特征值,特征值令为 σ1, σ2, ... , σk。...Λ 并不是方阵,其维度为 mxn,Λ 对角线上的零元素就是 A 的特征值 λ1, λ2, ... , λk。...为 3x2 的矩阵: 则有: 计算得到特征向量 P 和对应的特征值 σ 为: 然后,有: 计算得到特征向量 Q 和对应的特征值 σ 为: 则我们看可以得到 A 的特征值为: 最后,整合矩阵相乘结果

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码农眼中的数学之~矩阵专栏(附Numpy讲解)

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (3,2) 2.2.2.数乘、数除 这个也比较简单,就是和每个元素相乘...[[4,3],[2,1]])print(A)print("-"*5)print(B) [[1 2] [3 4]]-----[[4 3] [2 1]] # 注意一下,Numpy里面的乘法默认是每个数对应相乘...必须是方阵才能进行幂运算,比如 A²=A×A(矩阵相乘前提: 第一个矩阵A的行=第二个矩阵A的列==>方阵) print(A)print("-"*5)print(C) [[1 2] [3 4]]---...-----[[ 5 23 41] [ 3 17 31] [ 9 41 73]] 2.3.3.上三角矩阵和下三角矩阵 image.png 性质(行列式后面会说) 上(下)三角矩阵的行列式为对角线元素相乘...如果只是2阶方阵,有更简单的公式(只能2阶使用,而消元法不受限制)矩阵是否可逆就看分母是否为0 image.png 扩展系列:伪逆矩阵 方阵可以求 伪逆矩阵 AXA=A,XAX=X image.png

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从几何看线性代数(2):矩阵

譬如 或 这类方阵,我们该如何在几何上理解它们呢?...不妨先找回我们在上一章中的思路: 就是一个由三个向量组成的向量组,这个向量组张成了一个二维空间,但这毕竟是基于向量组的思路;我们在方阵的理解中引入了对单位矩阵中各单位向量进行变换的思路,所以对于这样一个方阵...我们不妨先给这个方阵补0:,把它补成一个方阵: 因为这三个列向量它们各自本身就是只有 与 分量的向量,因此我们完全可以把它们视作z分量为0的三维向量。...方阵与向量相乘意味着什么? 上一节我们知道了:方阵意味着"名义的"升维与降维,同理,方阵与向量相乘意味着对原向量进行名义上的维度变换。因为这代表着用高维基表示低维向量。...那方阵相乘意味着什么呢? 以上面两个矩阵相乘为例,可以说:首先,我们试图在 空间中解释 两个向量,但由于缺少第三个分量,必然导致右侧的两个三维向量被降维到二维平面。

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Matlab.2

*Y运算结果为两个矩阵的相应元素相乘,得到的结果与X和Y同维,此时X和Y也必须有相同的维数,除非其中一个为1×1矩阵,此时运算法则与X*Y相同。...矩阵的乘方运算 (1)x^Y表示,如果x为数,而Y为方阵,结果由各特征值和特征向量计算得到。...(2)X^y表示,如果X是方阵、y是一个大于1的整数,所得结果由X重复相乘y次得到;如果y不是整数,则将计算各特征值和特征向量的乘方。 (3)如果X和Y都是矩阵,或X或Y不是方阵,则会显示错误信息。...在矩阵中,若数值为0的元素数目远远多于0元素的数目,并且0元素分布没有规律时,则称该矩阵为稀疏矩阵;与之相反,若非0元素数目占大多数时,则称该矩阵为稠密矩阵。...定义零元素的总数比上矩阵所有元素的总数为矩阵的稠密度。

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每个数据科学家都应该知道的20个NumPy操作

NumPy (Numerical Python)是一个科学计算包,它提供了许多创建和操作数字数组的方法。...单位矩阵 单位矩阵是一个对角线为1,其他位置为0的方阵(nxn)。可以用Np.eye 或 np.identity来创建。 ? 6....矩阵必须是方阵(即行数等于列数)才能计算行列式。对于高维数组,最后两个维度必须是正方形。 17. Inv 计算矩阵的逆。 ? 矩阵的逆矩阵是与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。不是每个矩阵都有逆矩阵。...如果矩阵A有一个逆矩阵,则称为可逆或奇异。 18. Eig 计算一个方阵的特征值和右特征向量。 ? 19. 点积 计算两个向量的点积,这是关于它们的位置的元素的乘积的和。...矩阵相乘 Matmul 矩阵乘法。 ? 我们已经讨论了NumPy的基本操作。在NumPy上有更高级的操作,但最好先理解基础操作。 感谢您的阅读。

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日拱一卒,麻省理工的线性代数课,矩阵乘法和逆矩阵

我们一一来介绍,首先是最基础也是国内线性代数课本上提到的一种:行列向量相乘法: 行列向量相乘 对于矩阵 C 中的元素 C_{i, j} 而言,它是 A 矩阵中第 i 行与 B 矩阵中第 j 列的乘积。...行列相乘 A 矩阵的第 i 行与 B 矩阵的第 j 列相乘,一样能得到一个 m * p 的矩阵。...首先,并不是所有方阵都有逆矩阵。如果一个方阵 A 的逆矩阵存在,记作 A^{-1} 。可以得到: A^{-1}A= I 。...在课上老师告诉我们,对于方阵它的左逆矩阵和右逆矩阵是一样的,即 A^{-1}A= AA^{-1} 。但对于方阵这不成立。 对于逆矩阵存在的矩阵,我们称其为可逆矩阵或者是非奇异矩阵。...另外一种判断方式是,如果能够找到零向量 x ,使得 Ax=0 ,那么矩阵 A 是奇异矩阵。 比如:在上面这个例子当中。

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深度学习中的数学(二)——线性代数

1.9 矩阵和张量的基本运算 加\减(对应位置相加\减) 数加\数减(一个数与矩阵加减) 点乘(对应位置相乘) 数乘(一个数与矩阵相乘) 叉乘(满足mxn@nxp–>mxp;或者HXY@HYN–>HXN...np.multiply(a,b))# [ 2 6 12] print(a*b)# [ 2 6 12] print(np.sum(a*b)) # 20 # 矩阵乘法(叉乘) # a的列数等于b的行数方可相乘...print(a.dot(b.T)) print(np.matmul(a,b.T)) #三个结果都是: #[[ 5 14] # [14 50]] 1.10 逆和伪逆 逆的运算相当于矩阵的除法运算 只有奇异方阵才有逆...稀疏矩阵:在矩阵中,若数值为0的元素数目远远多于0元素的数目,并且0元素分布没有规律时,则称该矩阵为稀疏矩阵;与之相反,若非0元素数目占大多数时,则称该矩阵为稠密矩阵。...2.8 奇异值分解(SVD) 奇异值的优点在于其不受限于原始矩阵A是否是方阵这个约束。但不是方阵可以用逆求得,不是方阵求出来的特征值叫做奇异值。

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万字长文带你复习线性代数!

如果矩阵有m行和n列,我们就说矩阵的大小为m*n,如果m=n,我们称为方阵(square matrix)。 矩阵的元素下标表示,先行后列: ? 矩阵与标量相乘:每一个元素分别与该标量相乘。...如果S中包含一个零向量,那么其张成的空间是一条直线: ? ? 如果一个向量集包含两个不平行的零向量,那么其可以张成整个二维平面: ?...(4)对角矩阵相乘 ? 6.3 分块矩阵乘法 分块矩阵相乘和普通矩阵相乘其实是相同的: ?...因此,对于一个方阵的行列式,它是n!项的和(n!是n个元素的全排列的个数),对于每一项,它是从每一行选择一个元素进行相乘,而这些元素分别属于不同列。 ? 有了代数余子式,我们可以得到矩阵A的伴随矩阵。...我们之前介绍的对角化,只能针对方阵,那么对于方阵来说,我们可不可以用类似对角化的方式对矩阵进行分解呢?

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【读书笔记】之矩阵知识梳理

.矩阵的乘法(matrix product):两个矩阵相乘,表示成:C=AB. ? 元素对应乘积(element-wise product):两个矩阵中对应元素乘积,表示成: ?...特征分解 特征向量(eigenvector):方阵A的特征向量是指与A相乘后相当于对该向量进行缩放的零向量v。λ则被称为这个矩阵A的特征值(eigenvalue) ?...) 伪逆 伪逆(Moore-Penrose pseudoinverse):对于方阵矩阵,没有逆矩阵的定义。...矩阵D的伪逆,是对其零元素取到数之后转置得到的。 ? 矩阵的迹操作 矩阵的迹(Trace):矩阵主对角线上所有元素的和称为矩阵的迹。表示为: ? 迹的一些性质: ? ?...行列式 行列式(determinant):一个方阵的行列式,是将方阵映射到实数的一个函数。记做det(A).行列式等于矩阵特征值的乘积.

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