拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的算法。在树结构中，树是一种特殊的有向无环图，因此我们可以将拓扑排序应用于树的节点。
在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：
在以前很多人可能听过拓扑排序，但可能认为它太难而不愿接触学习，也不清楚是排啥序的，然而拓扑排序实际很简单，生活中也很常用，面试笔试也会遇到,所以掌握拓扑排序已是必要的！
今天博客的内容依然与图有关，今天博客的主题是关于拓扑排序的。拓扑排序是基于AOV网的，关于AOV网的概念，我想引用下方这句话来介绍： AOV网：在现代化管理中，人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，一个工程常被分为多个小的子工程，这些子工程被称为活动（Activity)，在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系，这样的图简称为AOV网。 说的简单点，AOV网就是表示一个工程中某些子项的先后顺序。就拿工地搬砖来说吧，只有砖厂送来砖，工人才能搬。那么砖厂送砖就是搬砖的前提。先这么
AOV网：如果用DAG图表示一个工程，其顶点表示活动，用有向边<Vi，Vj>表示活动Vi必须先于活动Vj进行的这样一种关系，则将这种有向图称为顶点表示活动的网络，记为AOV网。在AOV网中，活动Vj是活动Vi的直接后继，这种前驱和后继关系具有传递性，且任何活动Vi不能以它自己作为自己的前驱或后继。
在工程实践中,一个工程项目往往由若干个子项目组成。这些子项目间往往有两种关系: （1） 先后关系，即必须在某个项完成后才能开始实施另一个子项目。 （2） 子项目间无关系，即两个子项目可以同时进行,互不影响。
AOV，Activity On Vertex Network，即顶点活动网。一个工程常常会被分为多个小的子工程，这些子工程被称为活动，在有向图中，若以顶点表示活动，有向边（也可以称为弧）表示活动之间的先后关系，这样的图简称为AOV网。
分手厨房（Over Cooked!）是一款以高难度合作著称的游戏，在形形色色的厨房中，你需要和你的同伴一起克服重重难关，按照指定的顺序生产出美味佳肴，满足客人的味蕾。在游戏过程中，制作一道菜需要完成许多的步骤，以第一关中的寿司为例，需要蒸米饭、切鱼片、切黄瓜、然后用紫菜把他们包在一起，与此同时你还要兼顾洗掉脏盘子。不难看出，当有多个玩家参战的时候，这里有些工序是可以同时进行的（比如蒸米饭和切鱼片），但也有些工序是有顺序依赖的（比如只有一个案板，那么切鱼片和切黄瓜就不可能同时进行），那么，如何才能将所有的工序进行一个合理的排序，来保证其正常运作呢？
你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse - 1 。在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0, 1]。给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？
首先，我说将后序遍历结果进行反转就是拓扑排序的结果，有的读者说他看到的很多解法直接使用后序遍历，并没有进行反转，本文新增了对此的解释。
PHP数据结构（十）——有向无环图与拓扑算法 （原创内容，转载请注明来源，谢谢） 一、有向无环图概念 有向无环图又称为DAG图。与其对应的还有有向树、有环图。如下图所示。 二、、拓扑排序 拓扑排序
查看Castle的代码，在Castle.Core中内部的数据结构采用图，排序使用的拓扑排序算法： 对于一条有向边(u,v)，定义u < v；满足所有这样条件的结点序列称为拓扑序列。拓扑排序就是求一个有向图的拓扑序列的算法。 一个有向图顶点的拓扑序列不是惟一的。并不是任何有向图的顶点都可以排成拓扑序列，有环图是不能排的。 例子：比如排课问题，比如士兵排队问题等。 拓扑排序在实际生活中和算法中都有很大的应用。比如要排一下几门课程的先后次序，我们可以把课程抽象成结点，把什么课是什么课的
这次先讲理论，因为拓扑排序在日常工作中用的并不多，甚至于很多人可能忘了计算机中存在这样一种排序。我大概的整理一下拓扑排序的定义和应用，以便看了这题之后，对拓扑排序有一个比较深的印象。
说到 Android 启动优化，大家第一时间可能会想到异步加载。将耗时任务放到子线程加载，等到所有加载任务加载完成之后，再进入首页。
很多读者留言说要看「图」相关的算法，那就满足大家，结合算法题把图相关的技巧给大家过一遍。
今天看了下leetcode周赛的题目，没怎么做，第四题是一道Hard题目，看了下题意感觉要用拓扑排序，但是这道题除了依赖关系，还有一个分组的变量，导致这道题处理起来会复杂些，可能需要2次拓扑排序或者1次复杂的拓扑排序。
在有向图中，以某个节点为起始节点，从该点出发，每一步沿着图中的一条有向边行走。如果到达的节点是终点（即它没有连出的有向边），则停止。
以前一直不太懂拓扑排序的实现，今天在知乎上面看到一篇文章讲拓扑排序，讲的特别清楚，一下子明朗了。链接如下：https://zhuanlan.zhihu.com/p/135094687。
为了保证总项目的顺利进行，必须要对这些子项目进行一定的先后顺序规化，为了解决这类问题，我们可以采用拓扑排序的方法。
上一篇：Dijkstra算法 如果加权有向图不含有向环，则下面要实现的算法比Dijkstra算法更快更简单。它有以下特点： 能够在线性时间内解决单点最短路径问题 能够处理负权重的边 能够解决相关的问题，例如找出最长的路径 该方法将顶点的放松与拓扑排序结合起来，首先将distTo[s]初始化为0，其他distTo[]初始化为无穷大，然后一个个地按照拓扑排序放松所有顶点。 按照拓扑排序放松顶点，就能在和V+E成正比的时间内解决无环加权有向图的单点最短路径问题。 public class AcyclicSP {
对于有向图来说，深度优先遍历下，若从head出发到结束时出现一条从head的下级节点mid开始指向head的一条路径，则必定此图有环。
关于排序，其实还有很多，比如常见的希尔排序，桶排序，计数排序和基数排序，由于要过渡到数据结构有向图，因此需要了解拓扑排序和邻接矩阵概念。
拓扑排序是图论当中一个非常简单也非常常用的算法，它有很多的功能。它可以用来检测有向图当中是否存在环，也可以用来解决存在依赖的调度问题。下面我们就来看看这个算法的庐山真面目吧。
拓扑排序：如果图中从v到w有有一条有向路径，则v一定要排在w之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序。获得拓扑序的过程就是拓扑排序。
这是《python算法教程》的第4篇读书笔记。这篇笔记的主要内容为拓扑排序。 拓扑排序简介 在将一件事情分解为若干个小事情时，会发现小事情之间有完成的先后次序之分，若不按照特定的顺序完成，则会使得整件
一个项目往往会包含很多代码源文件。编译器在编译整个项目时，需按照依赖关系，依次编译每个源文件。比如，A.cpp依赖B.cpp，那在编译时，编译器需要先编译B.cpp，才能编译A.cpp。 编译器通过分析源文件或者编译配置文件（比如Makefile文件），来获取这种局部的依赖关系。那编译器又该如何通过源文件两两之间的局部依赖关系，确定一个全局的编译顺序呢？
拓扑排序在工程管理领域中的应用广泛，可用于判断工程能否顺利开展，即判断有向图中是否存在回路。对于一个有向图，先由键盘输入其顶点和弧的信息，采用恰当存储结构保存该有向图后，依据拓扑排序算法思想输出其相应的顶点拓扑有序序列，并提示用户是否存在回路。
No.31期 拓扑排序 Mr. 王：很好，你还记得这个问题。接下来我们来讨论另一种磁盘中的大数据算法策略，叫作时间前向处理方法。在这种策略中，我会讲解求解最大独立集的方法。先介绍一个时间前向独立集的其
拓扑排序是通过对有向无环图进行深度优先搜索实现的，对于一个有向无环图G来说，其拓扑排序是G中所有节点的一种线性排序，有很多生活活动都可以使用有向无环图来指明事件的优先顺序，比如下图所示的早晨起床过程：
在选修某些课程之前需要一些先修课程。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：
本题涉及到了拓扑排序相关的概念，如果对拓扑排序不了解的，建议看这篇文章AOV网与拓扑排序
什么是拓扑排序？ 简单来说，在做一件事之前必须先做另一(几)件事都可抽象为图论中的拓扑排序，比如课程学习的先后，安排客人座位等。 一个图能拓扑排序的充要条件是它是有向无环图。将问题转为图，比如A指向B代表完成B前要先完成A，那么用数组记录入度，从入度为0的开始搜索(bfs/dfs)和维护数组，即可得到拓扑排序。
对于许多复杂的计算，在内存或计算时间内，连续的计算函数的直接调用都是不可行的。为了更加有效的提高资源使用率、促进多批数据的消费，Arrow提供了一套流式执行引擎，称为Acero。
有向图和无向图的表示法有略微的区别，注意看 G1有箭头，有向图，表示方法是 V={V~0~，V~1~，V~2~，V~3~} E = {<V~0~，V~1~>，<V~1~，V~2~>，<V~1~，V~0~>，<V~2~，V~0~>，<V~2~，V~3~>} G2无箭头，无向图，表示方法是 V={V~0~，V~1~，V~2~，V~3~} E = {(V~0~，V~1~)，(V~1~，V~2~)，(V~0~，V~2~)，(V~2~，V~3~)}
应用图解决现实问题是我们使用图这种数据结构的原因所在。 最小生成树是图的应用中很常见的一个概念，一个图的最小生成树不是唯一的，但最小生成树的边的权值之和纵使唯一的。最小生成树的算法主要有Prim算法和Kruskal算法。这两种算法都是基于贪心算法策略（只考虑眼前的最佳利益，而不考虑整体的效率）。 拓扑排序是指由一个有向无环图的顶点组成的序列，此序列满足以下条件：
上篇博客我们介绍了AOV网的拓扑序列，请参考《数据结构(七) AOV网的拓扑排序(Swift面向对象版)》。拓扑序列中包括项目的每个结点，沿着拓扑序列将项目进行下去是肯定可以将项目完成的，但是工期不是最优的。因为拓扑序列是一个串行序列，如果按照该序列执行项目，那么就是串行执行的。我们知道在一个项目中的一些子工程是可以并行来完成的，这也就类似我们的多线程。今天我们要解决的问题就是找出一个关键路径，是工期最优并保证工程的完成。什么是关键路径，我们在下方会进行详细介绍。 一、关键路径概述 在聊关键路径之前，我们先
有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向图的一种。常常被用来表示事件之间的驱动依赖关系，管理任务之间的调度。拓扑排序是对DAG的顶点进行排序，使得对每一条有向边(u, v)，均有u（在排序记录中）比v先出现。
大家好，我是小魔龙，Unity3D软件工程师，VR、AR，虚拟仿真方向，不定时更新软件开发技巧，生活感悟，觉得有用记得一键三连哦。
Problem Description 有N个比赛队（1<=N<=500），编号依次为1，2，3，。。。。，N进行比赛，比赛结束后，裁判委员会要将所有参赛队伍从前往后依次排名，但现在裁判委员会不能直接获得每个队的比赛成绩，只知道每场比赛的结果，即P1赢P2，用P1，P2表示，排名时P1在P2之前。现在请你编程序确定排名。
本题是在leetcode 207. 课程表—拓扑排序篇一上，增加了一个记录拓扑序列的功能，因此建议没有看前一篇的同学，先看前一篇，再来阅读本篇
有向无环图可以用来表示各种事物的顺序，比如工作顺序。一些事情必须在另一些事情完成之后才能开始进行。那么，为了获得正确的工作顺序（一件事情开始之前，必须保证它的前置条件全部满足），就需要用到拓扑排序。
图由两个部分组成，一是点node，二是边edge。 图的表示方法由邻接表法和邻接矩阵法。当然还有其他的方式。 如下所示，有一无向图，其邻接表和邻接矩阵示意图为：
当我们学习数据结构的时候，总是觉得很枯燥，而当我们解决实际问题的时候，又往往因为对数据结构了解的匮乏而束手无策。从问题中来，到问题中去，在某一点上的深入思考并且不断的实践积累，或许是个笨办法，但笨办法总是比没办法好一些。本文是老码农对DAG的随手笔记，积累成文。
一个 无环的有向图称为有向无环图（Directed Acycline Graph），简称DAG图，所以直接看图。
在图论中，拓扑排序(Topological Sorting) 是一个 有向无环图(DAG,Directed Acyclic Graph) 的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：
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