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PYTHON替代MATLAB在线性代数学习中的应用(使用Python辅助MIT 18.06 Linear Algebra学习)

内部列表类型得到完全错误的结果,不可用 [1, 2, 1, 2, 1, 2] >>> v1n*3 array([3, 6]) >>> v1*3 matrix([[3], [6]]) # 计算向量加法...SymPy跟NumPy语法差异还是比较大的,使用中需要特别注意。两个软件包,虽然都是Python中的实现,但并不是由同一支开发团队完成的。所以这种差异感始终是存在的。...但很可惜,通常的矩阵都不是标准正交矩阵。课程中介绍了格拉姆-施密特(Graham-Schmidt)正交化法,将一个列满轶的矩阵A,转换为一个由标准正交向量组构成的矩阵Q。...但计算机的发展让这些复杂计算都成为了一行函数的事情,所以很多基本的加法、乘法的运算,我们就忽略掉了。...既然有了S和Λ,是不是想用SymPy算回到矩阵A验证一下?

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高数计算,我Python替你承包了

SymPy完全是用Python写的,并不需要外部的库。 首先,我们通过pip安装一下sympy这个计算库吧! pip install sympy ? 可用SymPy进行数学表达式的符号推导和演算。...此公式被誉 为数学中最奇妙的公式,它将5个基本数学常数 用加法、乘法和幂运算联系起来。...数学表达式 创建一个符号使用symbols(),此函数会 返回一个Symbol对象,用于表示符号变量, 其有name属性,这是符号名,如: x0=symbols('x0') 其中左边的x是一个符号对象,...右边括 号中用引号包着的x是符号对象的name属性, 两个x不要求一样,但是为了易于理解,通常将 符号对象和name属性显示成一样,另外name 属性是引号包起来的。...数学公式中的符号一般都有特定的假设,例 如m、n通常是整数,z经常表示复数。

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Python 数学应用(一)

请注意,Decimal的参数是一个字符串,不是一个浮点数。...不幸的是,即使系统有解,solve例程也无法找到系数矩阵不是方阵的系统的解。 特征值和特征向量 考虑矩阵方程Ax = λx,其中A是一个方阵(n × n),x是一个向量,λ是一个数字。...但是,有很多情况下,直接将图存储到文件中不是在屏幕上呈现会更合适。在本示例中,我们将看到如何将图直接保存到文件中,不是在屏幕上显示。 准备工作 您需要要绘制的数据以及要存储输出的路径或文件对象。...这通常不是以最简形式表达的,因此我们使用sympy.simplify例程来简化结果: fp = sympy.simplify(sympy.diff(f)) # (x*(2 - x) + 2*x - 2...最重要的特性是能够执行符号微积分 - 不是我们在本章剩余部分中探索的数值微积分 - 并给出对微积分问题的精确(有时称为解析)解决方案。 SymPy 软件包中的diff例程对这些符号表达式进行微分。

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Gimbal Lock欧拉角死锁问题

本文主要就阐述这些旋转操作中,有可能面临到的一个重要问题--万向节死锁问题(Gimbal Lock)。...并且,如果给定欧拉角,那么从原始的向量到终点的向量是一一对应的,但是如果给定两个向量,其对应的旋转矩阵不是唯一的。或者说,两个向量之间变换的轨迹不是唯一的。...四元数(Quaternion)的定义 应该说,四元数的出现,并不是为了解决欧拉角死锁的问题。但是在后来长期的应用中,人们发现了四元数在几何旋转表示中的独特优势。...四元数Python代码实现 在Python的符号计算库Sympy中,已经支持了四元数的相关运算: from sympy import * from sympy.algebras.quaternion import...而在这个计算过程中,我们依然发现,如果使用欧拉角来进行旋转的话,只能计算出 \alpha+\gamma 的值,但是法对其进行求解,四元数则不存在这样的奇点。

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从零开始深度学习(九):神经网络编程基础

来看一些广播的例子: 在 numpy 中,当一个 的列向量与一个常数做加法时,实际上会将常数扩展为一个 的列向量,然后两者做逐元素加法。结果就是右边的这个向量。...它既不是一个行向量不是一个列向量,这也导致它有一些不是很直观的效果。 比如 和 的转置阵最终结果看起来一样,shape 也是一样的。...相反,设置 为 ,这样就是一个5行1列的向量。在先前的操作里 和 的转置看起来一样,现在这样的 变成一个新的 的转置,并且它是一个行向量。...当输出 的转置时有两对方括号,之前只有一对方括号,所以这就是 1行5列的矩阵和一维数组的差别。 如果这次再输出 和 的转置的乘积,会返回一个向量的外积,也就是一个矩阵。...,目前主流的是 Google的TensorFlow、Facebook的pytorch 还有 百度的paddlepaddle,如果是研究的话,我建议使用TensorFlow,因为它更好理解一下基础原理,不是单纯的调包侠

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Python科学计算学习之高级数组(二)

举例来说,执行 x = 1234+5678 ,对编译型语言,是从内存读入两个short int到寄存器,然后读入加法指令,通知CPU内部的加法器动作,最后把加法器输出存储到x对应的内存单元(实质上,最后这个动作几乎总会被自动优化为...“把加法器输出暂存到寄存器不是内存单元,因为访问内存的时间消耗常常是访问寄存器的几十倍”)。...规则:尽可能避免使用for循环采用向量化形式,善用python的numpy库中的内置函数。例如:np.exp ,np.log ,np.maxmum(v,0) 等。...例如,当一个向量(一维数组)和一个标量(零维数组)相加时,为了能够执行加法,标量需扩展为向量,这种通用机制称为广播。...1 2 3 4]  [0 1 2 3 4]  [0 1 2 3 4]] 注意:numpy内部不会使用repeat进行数据扩展,而是使用内部集成的函数ogrid(创建广播预算用的数组)和mgrid函数(返回是进行广播后的数组

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Python 运算符重载

没关系,毕竟这个运算符重载在 Python 里面完全不是难点,C++另当别论。...——取模、反向、加法、减法、数乘、数量积和向量积。...很简单,我们是不是发现在数学上左边一条竖线右边一条竖线类似于绝对值?Python 中取绝对值函数不就是内置函数 abs 吗?那么我们只要让 abs 这个函数对向量实例起作用不就行了吗?...2)**0.5 反向 在物理中我们应该都学过矢量是负值表示方向反了,在数学的向量中也是如此,在这里我通过给向量实例前面添加负号来获取与原向量大小相等方向相反的向量,具体怎么做很简单,就是把原向量的每个坐标的分量取个相反数并传入构造方法构造新向量返回...""" return Vector(-self.x, -self.y, -self.z) 加法和减法 向量加法和减法逻辑类似,向量加法就是对应坐标相加之后得到新向量

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MADlib——基于SQL的数据挖掘解决方案(3)——数据类型之向量

向量加法也具有一些我们熟知的性质。...如果u、v和w是3个向量,则向量加法具有如下性质。 向量加法的交换律。加的次序不影响结果:u + v =v + u。 向量加法的结合律。...引述向量v的分量。注意, ? 是向量v的一个分量, ? 是向量集中的一个向量。从向量的分量角度看,向量加法变得简单并易于理解。为了将两个向量相加,我们只需要简单地将对应的分量相加。...如果一个向量集中的每个向量都不能表示成该集合中其它向量的线性组合,则该集合是线性独立的。如果一个向量不是线性独立的,则它们是线性依赖的(linearly dependent)。...,其中每个词是向量的一个分量(属性),每个分量的值对应词在文档中出现的次数。

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放弃深度学习?我承认是因为线性代数

线性代数:连续的不是离散的数学形式,许多计算机科学家不太了解它。对于理解和使用许多机器学习算法,特别是深度学习算法,理解线性代数是非常重要的。 为什么需要数学?...向量 向量是一维有序数组,是一阶张量的例子。向量被称为向量空间的对象的片段。向量空间可以被认为是特定长度(或维度)的所有可能向量的全部集合。...在 Python 中定义矩阵的操作: 矩阵加法 矩阵可以与标量、向量和其他的矩阵相加。这些运算都有严格的定义。这些技巧在机器学习和深度学习中会经常用到,所以值得熟练运用这些技巧。 ?...矩阵-矩阵加法 C=A+B(矩阵 A 和 B 应该有相同的形状) 这类方法返回矩阵的形状,并将两个参数相加后返回这些矩阵的总和。如果这些矩阵的形状不相同,则程序会报错,无法相加。 ?...我们使用像 tensorflow 或 Pytorch 这样的 Python 库来声明张量,不是用嵌套矩阵。 在 Pytorch 中定义一个简单的张量: ?

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矩阵分析笔记(一)线性空间

线性空间的定义 线性空间是定义在数域 F 上满足某些运算规律的向量集合,数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域,再讲线性空间 什么是数域?...中每一个元素\alpha,都有V中的元素\beta,使得\alpha+\beta=0,其中,0代表的是零元素,但不一定永远都是0这个数,视具体题目而定 \alpha · 1=\alpha,其中1是数,不是向量...,举例说明V不是\mathbb{R}上的线性空间 解:V是由次数为n的n次多项式f(x)构成的集合,显然加法不封闭。...因此V不是\mathbb{R}上的线性空间 线性空间的性质 加法零元唯一 证:设0_1,0_2是两个零元,则0_1=0_1+0_2=0_2 加法负元唯一 证:设\alpha的负元为\beta_1,\beta...\frac{2}{5} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)·2 $$ 数字2,可以看作是1×1的矩阵,向量是3×1的。

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NumPy 秘籍中文第二版:一、使用 IPython

您可以在这个页面上在云中尝试 IPython 不将其安装在系统上。 与本地安装的软件相比,会有一些延迟,因此这不如真实的软件好。...IPython 是科学家根据实验创建的。 IPython 提供的交互式环境被许多人视为对 MATLAB,Mathematica,Maple 和 R 的直接回答。...保存会话:我们可能希望能够返回到我们的实验。 在 IPython 中,很容易保存会话以供以后使用。...设置openssl命令不是火箭科学,但这可能很棘手。 不幸的是,这超出了本书的范围。 好的一面是,在线上有很多教程可以帮助您进一步发展。...显然,SymPy 是一款有趣的软件,但对于我们穿越 NumPy 的过程而言并不是必需的。 将此视为可选或额外的秘籍。 就像甜点一样,可以随意跳过它,尽管您可能会错过本章中最甜的部分。

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向量的点乘和叉乘

如 【点乘】 在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受在实数R上的两个向量返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。...【叉乘】 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。...c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。 *运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。...: a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0 分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。...求解光照的核心在于求出物体表面法线,叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。

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Java 通过向量,计算移动方向,计算线段角度等

可以通过向量计算两条线段的夹角度数等。 2. 获取线段的向量 向量可以进行加法和减法运算。向量加法运算是将两个向量的分量相加,得到一个新的向量。...//向量加法: double[] sum = new double[2]; sum[0] = ABx + CDx;...是线段1和线段2的向量和。减法也就是将+号跟换为-号而已。 } 我们得到的向量有什么用处呢?下面就是向量的一些简单使用场景了。 3....如果p1的Y值大于p2,返回的就是:-179°~0 中间的值。 如果p1的Y值小于p2,返回的就是:0~180°中间的值。 我们如果结合手机或者电脑屏幕的坐标来计算。...简单理解就是,点p1在p2的上方,那么计算的就是从x轴出发顺时针的角度,也就是0~180° 点p1在点p2的下方,那么计算的就是从x轴出发,逆时针的角度。也就是-179°~0。

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开源图书《Python完全自学教程》12.4科学计算

图12-4-4 显示代码块中的行号 将鼠标移动到代码块中并单击,如图12-4-5所示,开始输入一行代码,然后回车,输入第二行——注意,这里与 Python 交互模式不同,回车意味着换行,不是执行当前行代码...也能生成矩阵对象: [5]: np.mat("1 2 3; 4 5 6") [5]: matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) 以这两种形式表示的矩阵,在矩阵加法和数量乘法上没有任何差别...首先来看数组 a 和 b ,如果计算 a * b ,其所得并不是它们所表征的矩阵乘法结果。...[9]: a * b # 数组相乘,不是矩阵乘法 [9]: array([[ 2, 12], [ 56, 99]]) 矩阵对象 ma 和 mb 直接相乘 ma *...[18]: from sympy import * from sympy.solvers.solveset import linsolve x1, x2, x3, x4 = symbols

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Python中的numpy模块

Matlab则通过end关键字完成倒序索引且不允许索引中出现负数;三是Python中的索引均从0开始计数,Matlab则是从1开始计数。...以向量为例,i = 0时将返回向量的第一个数,i = 2时将返回向量的第三个数,如果索引值大于等于向量长度,则会报错。i = -1时将返回向量的倒数第一个数,i = -4将返回向量的倒数第四个数。...如果输入的是一个向量,则返回只含有长度一个值的元组。如果输入的是一个矩阵,则返回行数和列数构成的元组。如果输入的是张量,则返回行数,列数和层数构成的元组。...如果输入的是一个向量,则返回单个数占用的内存大小。如果输入的是一个矩阵,则返回两个数构成的元组,第一个数是每一行占用的内存大小,第二个数是每一数占用的内存大小。...亦或是行向量加上矩阵,这要求行向量的列数等于矩阵的列数,做加法运算时,系统会将该行向量临时扩充为与该矩阵同行数的矩阵。

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【连载】如何掌握openGauss数据库核心技术?秘诀二:拿捏执行器技术(2)

§ 函数调用:函数调用过程中需要维护参数和返回地址在栈帧的管理,处理完成之后还要调回到之前的栈帧,因此在用户的函数调用过程中,CPU要消耗额外的指令来进行函数调用上下文的维护。...SIMD可以一条指令执行多个位宽数据的计算。比如当前最新的体系结构已经支持512位宽的SIMD指令,那么对于16位整型的加法,可以并行执行32个整型对的加法。...秘诀二:拿捏执行器技术(1)】的表达式计算小节中,介绍了基于遍历树的表达式计算框架,这种框架的好处是清晰明了,但是在性能上却不是最优,主要有以下几个原因: § 表达式计算其框架的通用性决定了其执行模式要适配各种不同的操作符和数据类型...传统的执行引擎数据流遵循一次一元组的传输模式,向量化引擎将这个模型改成一次一批元组的模式,这种看似简单的修改却带来巨大的性能提升,如图6所示。...§ 一次一元组的函数模型在控制流的调动下,每次都需要进行函数调用,调用次数随着数据增长增长,一批元组的模式则大大降低了执行节点的函数调用开销,如果我们设定一次一批的数量为1000,函数调用相对于一次一元组能减少三个数量级

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Python数学建模算法与应用 - 常用Python命令及程序注解

排序将根据生成的排序值进行,不是直接对元素本身进行比较。 例如,假设有一个列表 nums,我们想按照数字的绝对值进行排序。...sorted 函数将根据这些绝对值对元素进行排序,不是直接对元素本身进行比较。 通过使用 key 参数,我们可以灵活地定义排序的规则,以适应不同的排序需求。...因为切片操作返回的是视图不是副本,所以 d 是一个形状为 (1, 1) 的二维数组,其中元素值为 6。...结果存储在一个名为 s2 的新 Series 对象中,与 s1 类似,但是包含每个分组的求和值不是均值。...as sp 这行代码导入了SymPy库,SymPy是一个用于符号数学的Python库。

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