高斯混合模型 参数简介 ( 参数 ) II . 高斯混合模型 评分函数 ( 评价参数 ) III. 似然函数与参数 IV . 生成模型法 V . 对数似然函数 VI ....该 参数是最优参数 ; 似然函数 : 高斯混合模型 中 , 采用似然函数 , 作为评分函数 ; E = \prod_{j = 1} ^ n p(x_j) \prod 是多个乘积 , 与 \sum...对数似然函数 ---- 1 ....对数似然函数 : 对上述似然函数取对数 , 就可以将 成绩 \prod 变成 求和 \sum 形式 ; \begin{array}{lcl} F &=& logE = log( \prod_{j..., 使 对数似然函数 取值越来越大 ; ⑤ 最佳参数 : 当 对数似然函数 取最大值时 , 此时的参数就是最优参数 ; VI .
p=0.1,0.3或0.6 若在一次观测中，事件A发生了，试让你推想一下p取何值 最大似然原理 概率大的事件在一次观测中更容易发生； 在一次观测中发生了的事件其概率应该大 (1)若总体X属于离散型...,Xn的一个样本值，易知样本X1,...,Xn取x1,...,xn的概率，亦即事件{X1=x1,...,Xn=xn}发生的概率为： ? 它是θ的函数，L(θ)称为样本的似然函数。...的最大值，这里L(θ)称为样本的似然函数，若 ? 则称 ? 为θ的最大似然估计值，称 ?...若总体分布中包含多参数，即可令 ? 解k个方程组求的θ的最大似然估计值 小结：最大似然估计法的一般步骤： **写似然函数L ** ?...,xn）为样本观察值，求\lamda的最大似然估计值 解：总体X的概率密度函数为: ? ? 设总体X分布律为： ? 求参数p的最大似然估计量 ?
从概率角度来解释，我们最小化正确类的负对数似然，这可以解释为执行最大似然估计(MLE)，具体内容见第五模块——极大似然估计。...这种方法有一个很好的特点就是我们能够 解释在完整损失函数中的正则化项R(W)来自一个高斯先验权重矩阵W，在这个权重矩阵中，我们正在执行最大后验(MAP)估计，这里选用log函数的原理是交叉熵，想要深究的读者可以参考...在神经网络中 ，极大似然估计求得的目标参数值是权重矩阵W，类条件概率为（与交叉熵对应起来）： 求解极大似然函数步骤： ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的θ值。...2、实际中为了便于分析，定义了对数似然函数（Softmax的损失函数（交叉熵））： 由于Li都后半部分是个定值，所以我们只需要最优化Li = -fyi。...3、未知参数有多个（θ为向量） 则θ可表示为具有S个分量的未知向量： 记梯度算子： 若似然函数满足连续可导的条件，则最大似然估计量就是如下方程的解。
逻辑回归原理 逻辑回归实际上是使用线性回归模型的预测值去逼近真实标记的对数函数。 逻辑回归虽然名字叫回归，但实际确实一种分类算法。...对数函数是任意阶可导的凸函数，有很好的的数学性质，有许多数值优化算法都可以求出最优解。...最大化似然函数和最小化损失函数 经过一系列数学推导和证明，可知在逻辑回归模型中，最大化似然函数和最小化损失函数实际上是等价的，经典的数值优化算法，例如梯度下降和牛顿法，都可以求得其最优解。...泊松分布的概率质量函数为： 泊松分布表示（固定尺度的）连续区间（如时间，距离）上给定的事件发生次数的概率，所以可以看作泊松分布中n是无穷大的。...Regression 常规步骤 寻找h函数（即预测函数） 构造J函数（损失函数） 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）
所以 出现的概率满足概率密度函数： 把 代入到以上的高斯分布函数（即正态分布）中，变成以下式子： 到此，我们将对误差 的求解转换成对 的求解了。...的函数，这实际上是一个似然函数，根据不同的 值绘制一条曲线，曲线就是 的似然函数，y轴是这一现象出现的概率。...综上，我们得出求 的似然函数为： 4.5 对数似然 由于上述的累乘的方法不太方便我们去求解 ，我们可以转换成对数似然，将以上公式放到对数中，然后就可以转换成一个加法运算。...取对数以后会改变结果值，但不会改变结果的大小顺序。我们只关心 等于什么的时候，似然函数有最大值，不用管最大值是多少，即，不是求极值而是求极值点。注：此处log的底数为e。...对数似然公式如下： 对以上公式化简得： 4.6 损失函数 我们需要把上面那个式子求得最大值，然后再获取最大值时的 值。
1、经典损失函数：分类问题和回归问题是监督学习的两大种类。这一节将分别介绍分类问题和回归问题中使用到的经典损失函数。分类问题希望解决的是将不同的样本分到事先定义到的经典损失函数。...交叉熵刻画了两个概率分布之间的距离，它是分类问题中试用版比较广的一种损失函数。交叉熵是一个信息论中的概念，它原本是用来估计平均编码长度的。...这一行代码包含了4个不同的tensorflow运算。通过tf.clip_by_value函数可以将一个张量中的是数值限制在一个范围之内，这样就可以避免一些运算错误(比如log0是无效的)。...这样通过tf.clip_by_value函数就可以保证在进行log运算时，不会出现log0这样的错误或者大于1的概率。第二个运算是tf.log函数，这个函数完成了对张量所有元素依次求对数的功能。...2、自定义损失函数：tensorflow不仅支持经典的损失函数。还可以优化任意的自定义损失函数。下面介绍如何通过自定义损失函数的方法，使得神经网络优化的结果更加接近实际问题的需求。
简单地说，当我们知道产生某个过程的分布并且我们想从它中推断可能的抽样值时，我们使用这个函数。 对于似然函数，我们所知道的是样本，即观测数据1，…，。...我们可以这样写: 我们准备定义参数为和的高斯分布的似然函数: 作为对似然函数有更多直观了解，我们可以生成足够多的样本来直观地了解它的形状。...我们已经看到了我们想要达到的目标最大化似然函数的对数变换。但是在深度学习中，通常需要最小化损失函数，所以直接将似然函数的符号改为负。...使用tf.GradientTape()，它是访问TensorFlow的自动微分特性的API。然后指定要训练的变量，最小化损失函数并应用梯度。...最后通过定义一个TensorFlow变量、一个负对数似然函数并应用梯度，实现了一个使用TensorFlow Probability的自定义训练过程。 作者：Luís Roque
在上一篇推送中我们讲述了机器学习入门算法最小二乘法的基本背景，线性模型假设，误差分布假设（必须满足高斯分布）然后引出似然函数能求参数（权重参数），接下来用似然函数的方法直接求出权重参数。...1 似然函数 首先构建似然函数 L( | x) ，假设一共有 m 个房屋相关样本，那么进一步得到似然函数（它是参数 为自变量的函数，这个一定要注意了，似然函数将概率转化为似然，这个还是似然的强大之处了...上式的意思是 m 个样本的误差分布的概率乘积，这就是概率似然函数。 提到似然函数，那不得不提最大似然函数估计吧，为什么呢？...2 极大似然估计 为了让上式最大，因为是各项相乘，不好求最大值，想到取对数，称为对数似然，这样就转换为求和了吗！ ? 转化后的结果为： ?...以上我们通过数学的方法，借助似然函数，然后求似然函数对数的极大似然估计，直接把参数求出来了，这是必然？还是巧合？ 机器学习的参数一般是不能通过直接求解得出的，所以很明显是个巧合啊！
而逻辑回归的推导中，它假设样本服从于伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着求取对数等（Log损失函数中采用log就是因为求解过中使用了似然函数，为了求解方便而添加log，因为添加log...但逻辑回归并没有极大化似然函数，而是转变为最小化负的似然函数，因此有了上式。 已知逻辑函数（sigmoid函数）为： ? 可以得到逻辑回归的Log损失函数： ? image.png ?...则全体样本的经验风险函数为： ? 该式就是sigmoid函数的交叉熵，这也是上文说的在分类问题上，交叉熵的实质是对数似然函数。...在深度学习中更普遍的做法是将softmax作为最后一层，此时常用的仍是对数似然损失函数，如下所示： ?...以上主要讲了损失函数的常见形式，在神经网络中应用较多的是对数损失函数（交叉熵）和平方损失函数。
一、LogLoss对数损失函数（逻辑回归，交叉熵损失） 有些人可能觉得逻辑回归的损失函数就是平方损失，其实并不是。...平方损失函数可以通过线性回归在假设样本是高斯分布的条件下推导得到，而逻辑回归得到的并不是平方损失。...在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等等。...而逻辑回归并没有求似然函数的极值，而是把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数（即max F(y, f(x)) —> min -F(y, f(x)))。...刚刚说到，取对数是为了方便计算极大似然估计，因为在MLE（最大似然估计）中，直接求导比较困难，所以通常都是先取对数再求导找极值点。
一般的训练生成模型必须先求解对数似然函数（也就是说以似然函数作为损失函数），然后使其最大，VAE的想法是：虽然无法求解准确的对数似然函数，但可以设法得到对数似然函数的下界，然后令下界极大即可，这就相当于近似地令对数似然函数达到极大了...现在可以计算样本的似然为： ? 相应的对数似然为： ? 所以只需要把编码器的最后一层激活函数设计为sigmoid函数，并使用二分类交叉熵作为解码器的损失函数即可。...现在可以计算样本的似然函数为： ? 相应的对数似然为： ? 所以需要把编码器的最后一层激活函数设计值域为全体实值的激活函数，并使MSE作为损失函数即可。...VAE希望将解码器部分对应的损失函数最大，本质上是希望样本的重构误差最小，这在伯努利分布中非常明显，在高斯分布中，MSE损失希望将编码器的输出（高斯分布的均值）与样本接近。...小评 VAE与GAN不同，GAN属于隐式概率生成模型，在GAN中没有显式出现过似然函数，而VAE属于显式概率生成模型，它也力求最大化似然函数，但是不像FVBN模型中存在精确的似然函数以供最大化，VAE得到了似然函数的下界
ELBO 是边缘似然函数对数的下界 ，我们通过引入一个额外的分布 来构造 ELBO。 与后验概率 越接近，则证据下界越严格。 EM 算法和 VAE 都会迭代式地优化 ELBO。...通常而言，我们计算「证据」的对数来处理独立同分布的数据： 这样一来，完整的对数似然可以被分解为每个数据点的对数似然之和。...在本文接下来的部分中，我们在分析中只考虑一个数据点的对数似然 ，然而仍然会在算法描述中考虑多个数据点。...（2）给定 ，可以估计边缘似然 ，因此 也易于计算。这种情况下，利用自动微分工具（例如，Tensorflow、Ptroech）运行梯度法 是最流行、最直接的方法。...VAE 需要最小化 ，因此限制了 z 的空间。同时，VAE 也需要在模型中最大化训练数据 x 的对数似然。
损失函数是模型优化的目标，所以又叫目标函数、优化评分函数，在keras中，模型编译的参数loss指定了损失函数的类别，有两种指定方法： model.compile(loss='mean_squared_error...或者 from keras import losses model.compile(loss=losses.mean_squared_error, optimizer='sgd') 你可以传递一个现有的损失函数名...，或者一个TensorFlow/Theano符号函数。...该符号函数为每个数据点返回一个标量，有以下两个参数: y_true: 真实标签. TensorFlow/Theano张量 y_pred: 预测值....TensorFlow/Theano张量，其shape与y_true相同 实际的优化目标是所有数据点的输出数组的平均值。
对于所有样本来说，我们可以计算出它的似然函数，我们对模型的训练就是要极大化这个似然函数。 ? 常用的做法是通过log来将比较难处理的连乘形式似然函数转换成连加形式的对数似然函数，其单调性不变。 ?...可以看到对数似然函数是负号的形式，而且第一项是一个常数，所以我们通过进一步的改写将最大化以上的对数似然函数变化为最小化以下的负对数似然函数。 ?...大家应该注意到了，这不就跟均方损失函数的形式几乎一样吗？正是如此，最大化似然函数和最小化均方损失函数是等价的。...所以，在回归任务中，估计值和真值误差服从高斯分布的假设下，我们以均方误差作为损失函数来训练模型是合理的。...刚刚我们已经介绍过了，我们通过常规操作，可以将最大化似然函数的目标转化为最小化负对数似然函数。 ? 我们又能发现，这显然就是我们的交叉熵损失函数。
EM最大期望算法是一个数值求解似然函数极大值的迭代算法，就好像梯度下降算法是一种数值求解损失函数极小值的迭代算法一样。...而EM算法是一个类似梯度下降算法的迭代算法，它首先给随机变量分布参数赋初始值，然后寻找到了一个便于优化的似然函数的下界 (恰好为似然函数在某个分布下的期望Expectation，期望中消去了隐变量)，并通过不断地优化...当 和 确定时， 的分布函数由 给出。 按照极大似然原理，并使用全概率公式，似然函数可以写成 ? 对数似然函数可以写成 ?...对数似然函数中，由于有对 的求和，如果尝试对 求偏导等于0来计算最优的 ，将难以得到对应的解析解。这和目标函数非常复杂时，无法直接解析求解只能使用梯度下降这类迭代算法是一样的。...大概原理如下，我们首先给 赋初始值 ，然后在此基础上，找到一个可以使得对数似然函数变大的 ，然后再在此基础上找到一个能够使对数似然函数变得更大的 ,如此便可不断地提高对数似然函数的值。
于是在对问题求解上： 贝叶斯学派最大化似然函数和先验分布的乘积 频率学派最大化似然函数（最大似然估计） 好像都挺有道理，哈哈，不过本书重点讨论贝叶斯方法，还举了一个列子，说明频率学派的最大似然函数存在过拟合问题...现在我们根据某个μ和σ^2生成一组数据，构成集合D，大小为N，如果按照频率学派的观点来说，我们需要最大化： [图片] 直接的做法直接求导，但是乘积求导法则复杂，所以先取对数，求最大似然【对数】函数 ，...，容易得到参数w的偏导，和多项式拟合中求损失函数偏导的式子是一样的。...但如多项式拟合中得出的结论一样，因为wML的求解只关注损失函数，所以不可避免的带来了过拟合问题。这也是为什么说单纯的求解最大对数似然函数会存在如前所述的各种过拟合现象。这里算是一个比较具体的佐证。...（这里好像有着共轭先验的知识） 这样，根据贝叶斯定理，最大化后验分布，即最大化似然函数和先验分布的乘积，有： [图片] 接着对数似然，求参数ww的偏导，能够得到最大化： [图片] 嘿，一加这个先验分布
为了方便计算，通常转换成对数似然函数： l(\theta) = \log L(\theta) = \sum_{i=1}^{m} \log P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) 我们的目标是最大化对数似然函数...为了将最大化对数似然函数转换为最小化问题（因为大多数优化算法是针对最小化问题设计的），我们可以将对数似然函数取负号，得到对数损失函数 J(\theta) 。...(i)}) \log(1 - h_{\theta}(x^{(i)}))] 这就是对数损失函数在最大似然估计角度的解释。...而当预测值与实际类别偏离较大时，对数损失函数的值会变得非常大。 换句话说，对数损失函数是一种衡量模型预测准确性的指标。它可以直观地告诉我们模型在分类任务中的表现如何。...总结 在逻辑回归中，对数损失函数是用来衡量模型预测值与实际类别之间差异的重要指标。 通过最大化似然函数或者几何角度的解释，我们可以理解为什么选择对数损失函数作为逻辑回归的损失函数。
深度学习中普遍的做法是将softmax作为最后一层，此时常用的代价函数是对数似然代价函数。对数似然代价函数与softmax的组合和交叉熵与sigmoid函数的组合非常相似。...所以，根据似然函数的定义，单个样本的似然函数即： 所以，整个样本集（或者一个batch）的似然函数即： 所以在累乘号前面加上log函数后，就成了所谓的对数似然函数： 而最大化对数似然函数就等效于最小化负对数似然函数...2.6.3 逻辑回归为什么使用对数损失函数 假设逻辑回归模型 ： 假设逻辑回归模型的概率分布是伯努利分布，其概率质量函数为： 其似然函数为： 对数似然函数为： 对数函数在单个数据点上的定义为： 则全局样本损失函数为...： 由此可以看出，对数损失函数与极大似然估计的对数似然函数本质上是相同的。...所以逻辑回归直接采用对数损失函数。 2.6.4 对数损失函数是如何度量损失的 例如，在高斯分布中，我们需要确定均值和标准差。如何确定这两个参数？最大似然估计是比较常用的方法。
在之前的篇章中我分享过2D和3D分割模型的例子，里面有不同的分割网络Unet，VNet等。今天我就从损失函数这个方向给大家分享一下在分割模型中常用的一些函数。...1、dice_loss 我在之前的文章中用的损失函数一直都是dice_loss，在这篇文章中《V-Net: Fully Convolutional Neural Networks for Volumetric...2、tversky_loss 分割任务中的主要挑战之一是数据的不平衡性，例如癌症区域和非癌症区域相差很大，所以有一些文章为了解决数据不平衡性问题，提出了一些改进的损失函数，在这篇文章中《Tversky...我用tensorflow复现了上面三种损失函数的2D版本和3D版本，具体实现我已经分享到github上： https://github.com/junqiangchen/Image-Segmentation-Loss-Functions...欢迎大家可以分享其他分割模型损失函数，让我们一起学习交流。
的概率，即似然 Likelihood，为所有 ? 的累乘 ? 通常为了计算方便，我们通常最大化对数似然 Log-Likelihood ? 去掉与 ?...也就是说在模型输出与真实值的误差服从高斯分布的假设下，最小化均方差损失函数与极大似然估计本质上是一致的，因此在这个假设能被满足的场景中（比如回归），均方差损失是一个很好的损失函数选择；当这个假设没能被满足的场景中...的概率为 ? 与上面推导 MSE 时类似，我们可以得到的负对数似然实际上就是 MAE 损失的形式 ?...对似然取对数，然后加负号变成最小化负对数似然，即为交叉熵损失函数的形式 ? 下图是对二分类的交叉熵损失函数的可视化，蓝线是目标值为 0 时输出不同输出的损失，黄线是目标值为 1 时的损失。...之间，同时所有维度的输出和为 1，用于表示一个概率分布。 ? 其中 ? 表示 K 个类别中的一类，同样的假设数据点之间独立同分布，可得到负对数似然为 ? 由于 ?
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