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数值积分|高斯积分

还可以用梯形中位线表示 上式的意义是:一次函数的高斯积分需要一个高斯积分点即x=0的位置,确定的权重是2,积分点的函数值是f(0)。...对于式(3),取一般的二次函数 ,可以验证: 上式的意义是:二次函数的高斯积分需要两个高斯积分点 和 ,权重各为1,就可以计算积分了。...再来看三次函数 ,可以验证: 由此得到的规律是:四次,五次曲线有三个高斯积分点,六次曲线和七次曲线则需要四个高斯积分点,规律也是一样的。...也就是说,n个高斯积分点可以计算2n-1次及以下的函数积分。 ? 高斯积分点是强制使这种数值积分结果与前2n-1阶多项式的积分相等解出来的。比如你打算使用n个点,你还有n个未知权重。...你就要使这种数值积分的结果等于对应的从0到2n-1的所有多项式项在区间内的积分结果。这样你就有一个2n阶的非线性方程组,解了它,就能获得积分点和权重值。

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数值积分|自适应梯形积分

在区间 上,采用梯形公式计算 的定积分 如果将区间 二等分,采用梯形公式计算 的定积分 其中 如果将区间 三等分,采用梯形公式计算 的定积分 其中 由此可以得到递推式 表示两次迭代的相对误差...python代码 import math ###自适应梯形公式求积分 ### y = 1/( 1+x^2 ) def Func(x): return 1/( 1+pow(x,2) ) def...AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间 n...= 1e-6) print(T) 计算结果是0.24497869339807107,精确值为: 算法基本原理:把原区间分为一系列小区间(n份),在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分...,当小区间足够小时,就可以得到原来积分的近似值,直到求得的积分结果满足要求的精度为止。

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广义积分

反常积分又叫广义积分,是对普通定积分的推广,指含有无穷上限/下限,或者被积函数含有瑕点的积分,前者称为无穷限广义积分,后者称为瑕积分(又称无界函数的反常积分)。 ?...因此,有必要对定积分的概念加以推广,使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分,由于它异于通常的定积分,故称之为广义积分,也称之为反常积分。...类型 1.无穷区间反常积分 每个被积函数只能有一个无穷限,若上下限均为无穷限,则分区间积分。 ? 2.无界函数反常积分 即瑕积分,每个被积函数只能有一个瑕点,多个瑕点则分区间积分。 ?...定积分的两个重要前提要求是闭区间和函数有界,而广义积分正是在闭区间和函数有界的基础上,放宽约束条件从而延申出来的概念,所以可以认为广义积分是特殊的定积分,但是一定要切记,广义积分不是定积分。...如果放宽闭区间约束,即一个定积分的上限或者下限趋于无穷大,则称此积分为无穷区间上的广义积分。 如果放宽函数有界的约束,即被积函数无界,则称此积分为无界函数的广义积分,亦可称为瑕积分

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数值积分|自适应辛普森积分公式

在 数值积分| 辛普森公式 提到,辛普森积分最简单的形式是 也就是说至少要三个积分点,两个积分子区间。所以,自适应辛普森积分公式要从S1起步,即 ?...python代码 import math ###自适应辛普森公式求积分 ### y = 1/( 1+x^2 ) def Func(x): return 1/( 1+pow(x,2) )...def AdaptiveSimpsonCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间...计算结果是0.7853981628062056,精确值为 算法基本原理:把原区间分为一系列小区间(n份),在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分,当小区间足够小时,就可以得到原来积分的近似值...,直到求得的积分结果满足要求的精度为止。

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数值积分|二元函数的高斯积分

一元函数高斯积分积分区域为[-1,1],二元函数的高斯积分区域为 ,也就是一个边长为2的正方形区域,称为标准区域。 ?...考虑二重积分 利用累次积分和一元函数的高斯积分公式可以得到: 或者 这就是二元函数的高斯积分公式。其中W表示积分点权重,n表示积分点数目。n随着被积函数阶次增加而增加。...实际应用中,积分区域大多是非标准区域。比如 ? 这时就需要将非标准区域映射到标准区域,即 x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) 其中 是是xOy坐标系下四个顶点的坐标。...[算例] 利用高斯公式计算二重积分 其中0<x<2,0<y<1/2x+2 ?...四个顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,3),(0,2) 雅可比矩阵 采用4个积分点的高斯积分 ? 注意这里的 是高斯积分点的坐标, 。接下来用Python编程可得到结果。

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数值积分|第二类反常积分

1 概述 第二类反常积分是值积分区间包含奇异点(singular points)。常规计算方法是将积分积分区间在奇异点内收,然后按照定积分来处理,再将计算结果取极限。如图1所示: ? ?...2 算法实现 image.png python代码如下: import math ### 第二类反常积分数值分析 ### y = 1/sqrt(x) ### 积分区间(0, 1] def Func...return 1/ math.sqrt(x) def Improp2(Func, a, b, eps = 1e-6): ### ### a为区间的左端点,是奇异点 ###子区间积分时...def AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间...第二类反常积分的数值算法大致思路就是在奇异点附近划分一个子区间,将这个子区间二等分,将其中之一积分,剩下的再二等分,将其中之一积分,如此下去,不断扩展积分区间,若扩展前后的积分的相对误差满足要求,则停止计算

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积分中值定理

在一元积分理论中,积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理.它们都是微积分学中的基本定理,本文介绍相关内容。...的最小值和最大值,那么根据极值定理,可以得到以下式子成立: m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) 上图当中灰色阴影部分就是定积分的结果,蓝色的矩形面积是...由于m和M分别是最小值和最大值,所以我们可以得到 \int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x 第一积分中值定理...第一积分中值定理的推广 ,使得 \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) d x 证明 由于 g(x) 连续不变符号,不妨设 g(x) \...参考资料 https://zhuanlan.zhihu.com/p/614978825 https://baike.baidu.com/item/积分中值定理/538584?

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积分放缩法

放缩法的基本原理是通过找到一个上界和一个下界来限定积分的范围,本文记录相关内容。...描述 一 对于函数的某段单调区间上的积分计算,用分段的矩形面积近似积分结果,不同划分矩形的方式得到的结果与积分真实结果存在固定的大小关系。 以递增函数为例。...RHS 从 f(x) 向左绘制矩形区域 如此划分的矩形面积和大于积分结果: \int_1^{n}f(x)dx \le \sum _{i=2}^nf(i) LHS 从 f(x) 向右绘制矩形区域 如此划分的矩形面积小于积分结果...) 得到在这种情况下: \sum _{i=1}^{n-1}f(i) \le \int_1^{n}f(x)dx \le\sum _{i=2}^nf(i) 描述 二 在函数的单调区区间上,函数值与矩形积分之间存在固定的大小关系...LHS 上的积分小于等于矩形面积: \int_n^{n+1}f(x) \le f(n) RHS 上的积分大于等于矩形面积: f(n) \le \int_{n-1}^{n}f(x) 因此有:

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积分梯形法则

一阶牛顿-柯特斯闭型积分公式称为梯形法则(trapezoidal rule),下面先介绍牛顿-柯特斯公式。...牛顿-柯特斯公式 牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes formulas)是一种常用的数值积分公式。...在积分过程中,如果积分区间两端的数据点是已知的,则称为闭型积分,反之,若积分区间超出了数据范围,则称为开型积分 。这里主要介绍闭型积分公式。...[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right] d x 积分的结果为 I=(b-a) \frac{f(a)-f(b)}{2} 此公式称为梯形法则。...从几何上看,梯形法则相当于用连接f(a)和f(b)的直线与坐标轴所围梯形的面积来逼近积分。 梯形法则的误差 很明显,在使用直线段下的积分逼近曲线积分的过程中,不可避免地会引入误差 。

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