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【技术分享】L-BFGS算法

2.4 BFGS算法   前面利用拟牛顿条件 (2.1) 推导出了DFP公式 (2.4) 。 2.5 L-BFGS(限制内存BFGS算法   在BFGS算法中,仍然有缺陷,比如当优化问题规模很大时,矩阵的存储和计算将变得不可行。为了解决这个问题,就有了L-BFGS算法。 该算法的计算过程如下,算法中出现的y即上文中提到的t: 2.21.png   算法L-BFGS的步骤如下所示。 微软提出了OWL-QN(Orthant-Wise Limited-Memory Quasi-Newton)算法,该算法是基于L-BFGS算法的可用于求解L1正则的算法。 ) 【4】L-BFGS算法 【5】BFGS算法 【6】逻辑回归模型及LBFGS的Sherman Morrison(SM) 公式推导 【7】Scalable Training of L1-Regularized

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优化算法——拟牛顿法之BFGS算法

一、BFGS算法简介 BFGS算法是使用较多的一种拟牛顿方法,是由Broyden,Fletcher,Goldfarb,Shanno四个人分别提出的,故称为BFGS校正。     同DFP校正的推导公式一样,DFP校正见博文“优化算法——拟牛顿法之DFP算法”。对于拟牛顿方程: ? 可以化简为: ? 令 ? 则可得: ? 在BFGS校正方法中,假设: ? 二、BFGS校正公式的推导    image.png image.png 三、BFGS校正的算法流程 image.png BFGS拟牛顿法的算法流程: ? # #coding:UTF-8 from numpy import * from function import * def bfgs(fun, gfun, x0): import * import matplotlib.pyplot as plt x0 = mat([[-1.2], [1]]) result = bfgs(fun, gfun

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    优化算法——拟牛顿法之BFGS算法

    一、BFGS算法简介 BFGS算法是使用较多的一种拟牛顿方法,是由Broyden,Fletcher,Goldfarb,Shanno四个人分别提出的,故称为BFGS校正。     同DFP校正的推导公式一样,DFP校正见博文“优化算法——拟牛顿法之DFP算法”。对于拟牛顿方程: ? 可以化简为: ? 令 ? ,则可得: ? 在BFGS校正方法中,假设: ? 则最终的BFGS校正公式为: ? 三、BFGS校正的算法流程     设 ? 对称正定, ? 由上述的BFGS校正公式确定,那么 ? 对称正定的充要条件是 ? 。     在博文“优化算法——牛顿法(Newton Method)”中介绍了非精确的线搜索准则:Armijo搜索准则,搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率,还有其他的一些准则,如Wolfe准则以及精确线搜索等 在利用Armijo搜索准则时并不是都满足上述的充要条件,此时可以对BFGS校正公式做些许改变: ? BFGS拟牛顿法的算法流程: ? 四、求解具体优化问题    求解无约束优化问题 ? 其中, ?

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    BFGS优化算法的C++实现

    *  * BFGS quasi-Newton method Dtype, typename Ftype>     class BFGS : public LineSearch<Dtype, Ftype>     {     public:         BFGS     #include <bfgs-impl.h> } // namespace splab #endif // BFGS_H   实现文件:   /*  * Copyright (c) 2008-  *  * Implementation for BFGS class <Dtype, Ftype>::BFGS() : LineSearch<Dtype, Ftype>() { } template <typename Dtype, typename Ftype> BFGS

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    机器学习算法实现解析——liblbfgs之L-BFGS算法

    在博文“优化算法——拟牛顿法之L-BFGS算法”中,已经对L-BFGS算法原理做了详细的介绍,本文主要就开源代码liblbfgs重新回顾L-BFGS算法原理以及具体的实现过程,在L-BFGS 其实在L-BFGS算法过程中也回提供默认的参数的方法,所以该方法有点多余。 2.3.7、拟合Hessian矩阵 在BFGS算法(优化算法——拟牛顿法之BFGS算法)中,其Hessian矩阵为: Hk+1=(I−skyTkyTksk)THk(I−yksTkyTksk)+sksTkyTksk L-BFGS的具体原理可以参见“优化算法——拟牛顿法之L-BFGS算法”。 在上述过程中,第一个循环计算出倒数第mm代时的下降方向,第二个阶段利用上面计算出的方法迭代计算出当前的下降方向。 ——拟牛顿法之L-BFGS算法 优化算法——OWL-QN

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    机器学习算法实现解析——liblbfgs之L-BFGS算法

    1、liblbfgs简介 liblbfgs是L-BFGS算法的C语言实现,用于求解非线性优化问题。 其实在L-BFGS算法过程中也回提供默认的参数的方法,所以该方法有点多余。 参数param.orthantwise_c表示的是L1正则的参数,若为0则不使用L1正则,即使用L-BFGS算法;若不为0,则使用L1正则,即使用OWL-QN算法。 L-BFGS的具体原理可以参见“优化算法——拟牛顿法之L-BFGS算法”。 在上述过程中,第一个循环计算出倒数第mm代时的下降方向,第二个阶段利用上面计算出的方法迭代计算出当前的下降方向。 ——拟牛顿法之L-BFGS算法 优化算法——OWL-QN

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    优化算法——拟牛顿法之L-BFGS算法

    一、BFGS算法    image.png 二、BGFS算法存在的问题    image.png 三、L-BFGS算法思路    image.png image.png 四、L-BFGS算法中的方向的计算方法 参考文献 libLBFGS: a library of Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (L-BFGS)

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    优化算法——拟牛顿法之L-BFGS算法

    一、BFGS算法     在“优化算法——拟牛顿法之BFGS算法”中,我们得到了BFGS算法的校正公式: ? 利用Sherman-Morrison公式可对上式进行变换,得到 ? 令 ? 二、BGFS算法存在的问题     在BFGS算法中,每次都要存储近似Hesse矩阵 ? ,在高维数据时,存储 ? 浪费很多的存储空间,而在实际的运算过程中,我们需要的是搜索方向,因此出现了L-BFGS算法,是对BFGS算法的一种改进算法。在L-BFGS算法中,只保存最近的 ? 次迭代信息,以降低数据的存储空间。 三、L-BFGS算法思路     令 ? , ? ,则BFGS算法中的 ? 可以表示为: ? 若在初始时,假定初始的矩阵 ? ,则我们可以得到: ? ? ? ? 若此时,只保留最近的 ? 步: ? 四、L-BFGS算法中的方向的计算方法 ?

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    深入机器学习系列之BFGS & L-BFGS

    2.5 L-BFGS(限制内存BFGS算法BFGS算法中,仍然有缺陷,比如当优化问题规模很大时,矩阵的存储和计算将变得不可行。为了解决这个问题,就有了L-BFGS算法。 为了求可行方向r,可以使用two-loop recursion算法来求。该算法的计算过程如下,算法中出现的y即上文中提到的t: ? 算法L-BFGS的步骤如下所示。 ? 微软提出了OWL-QN(Orthant-Wise Limited-Memory Quasi-Newton)算法,该算法是基于L-BFGS算法的可用于求解L1正则的算法。 简单来讲,OWL-QN算法是指假定变量的象限确定的条件下使用L-BFGS算法来更新,同时,使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。 ) 【4】L-BFGS算法 【5】BFGS算法 【6】逻辑回归模型及LBFGS的Sherman Morrison(SM) 公式推导 【7】Scalable Training of L1-Regularized

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    数值优化(6)——拟牛顿法:BFGS,DFP,DM条件

    下面是SR1算法的流程 ? 为什么这个算法采取的是信赖域算法的框架呢?这是因为一方面,矩阵 不保正定,如果使用线搜索会导致无法找到下降方向的问题。 虽然不是一般的超线性,但是依然算是超线性的收敛速度(准确来说是 步Q-超线性收敛速度) BFGS方法 BFGS方法应该算是拟牛顿算法中最有名的方法之一了。 事实上,13年有人给出了一个极好的例子来说明存在非凸函数使得BFGS方法无法收敛。在这样的情况下,对于算法做修正就成了重中之重。这一部分我们会介绍两个迭代中可以做的修正方法。 原始论文上提供的是 这两个方法都可以使得最终的算法在非凸情况下也可以具有全局收敛性。 到此,我们算是介绍好了BFGS方法的内容,后面我们会介绍一些其它的算法和理论。 统一拟牛顿方法的DM条件 讲完了BFGS,DFP和Brodyen-Family等具体的拟牛顿算法,下面提供一个很有意思的保证拟牛顿法收敛速度的定理。

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    划重点!十分钟掌握牛顿法凸优化

    我们知道,梯度下降算法是利用梯度进行一阶优化,而今天我介绍的牛顿优化算法采用的是二阶优化。本文将重点讲解牛顿法的基本概念和推导过程,并将梯度下降与牛顿法做个比较。 从整体效果来看,牛顿法优化速度没有梯度下降算法那么快。所以,目前神经网络损失函数的优化策略大多都是基于梯度下降。 值得一提的是,针对牛顿法的缺点,目前已经有一些改进算法。这类改进算法统称拟牛顿算法。 比较有代表性的是 BFGS 和 L-BFGSBFGS 算法使用近似的方法来计算 Hessian 矩阵的逆,有效地提高了运算速度。 L-BFGS 算法是对BFGS 算法的改进,不需要存储 Hessian 近似逆矩阵, 而是直接通过迭代算法获取本轮的搜索方向,空间成本大大降低。 总的来说,基于梯度下降的优化算法,在实际应用中更加广泛一些,例如 RMSprop、Adam等。但是,牛顿法的改进算法,例如 BFGS、L-BFGS 也有其各自的特点,也有很强的实用性。

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    用数据说话:把自拍照变成毕加索名画 哪种算法最高效?

    反观 Adam 和 L-BFGS 算法则能够快速收敛,并且误差也基本相同。 实验2:100 次循环,600 x 600 像素 当参数增多时,L-BFGS 算法应该表现的更好。 但 Adam、Adagrad 和 L-BFGS 三种算法的收敛情况则相对较好,其中效果最好的 L-BFGS 大约比 Adam 的优化效果好 50% ,并且速度也更快。 ? 总体上,L-BFGS 算法的收敛效果最好,速度也最快。 改变学习率。 Adam 在学习率较小时,收敛情况提升明显,随着循环次数的增大,收敛效果几乎与 L-BFGS 算法相当,但收敛情况最好的依然是 L-BFGS 算法。 虽然试验结果显示 L-BFGS 算法的收敛速度最快,效果最好,但按照个人习惯,他用 Adam 算法的情况反而更多。另外,究竟哪种算法效果最好,也不能一概而论,还是要根据数据类型和项目要求灵活选择。

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    【数学应用】机器学习常用最优化算法小结

    3)算法 算法便是对应上面最后一步最优模型的具体求解方法,称为最优化算法。 优化算法小结 在机器学习模型求解过程中,一般采用迭代法。 常见的迭代优化算法有梯度下降,牛顿法,拟牛顿,高斯-牛顿,BFGS,L-BFGS。。。 1)梯度下降 梯度下降也称为最速下降法,属于一阶优化算法。 5)BFGS算法 上述拟牛顿法中,仍然涉及到近似矩阵的求逆过程,计算量仍然很大。BFGS算法就是进一步对上述的近似矩阵的逆求取一个近似矩阵,求取的过程也是通过建立一系列等式展开的。 6)L-BFGS算法 BFGS法比较适合于解决参数规模适中的无约束最优化问题,而当参数维度特别大时,由于上述获得的近似矩阵随着迭代更新次数的增加将越来越变得稠密,便将导致存储空间不足和计算复杂度过高的问题 L-BFGS算法正是为了解决以上问题提出来的,为了减少矩阵所占的存储空间,L-BFGS利用最近几次迭代过程中的曲率信息来构建当前迭代所需的Hessian近似矩阵;而为了减少计算量,L-BFGS则是首先给当前迭代过程一个

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    “轻易强快”的Spark on Angel,大数据处理爽到爆!

    我们将以L-BFGS为例,来分析Spark在机器学习算法的实现上的问题,以及Spark on Angel是如何解决Spark在机器学习任务中的遇到的瓶颈,让Spark的机器学习更加强大。 L-BFGS算法说明 L-BFGS模型参数更新过程如下: ? 其中,wk 是模型参数, pk = Hk-1 gk 是搜索方向, λ 是通过线性搜索得到的步长。 计算pk = Hk-1 gk 伪代码如下所示,这是人们常说的two-loop recursion算法,是Limited-BFGS算法的核心部分。返回值 r 是我们所要的pk。 ? 其中,H0-1 是单位阵,yk=gk-gk-1, sk=wk-w k-1k-1,L-BFGS算法将最近 m 轮生成的 yk 和 sk 序列,记做 {yk} 和 {sk}。 L-BFGS的Spark on Angel 实现框架 Spark on Angel借助Angel PS-Service的功能为Spark引入PS的角色,减轻整个算法流程对driver的依赖。

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    Spark 机器学习的加速器:Spark on Angel

    我们将以L-BFGS为例,来分析Spark在机器学习算法的实现上的问题,以及Spark on Angel是如何解决Spark在机器学习任务中的遇到的瓶颈,让Spark的机器学习更加强大。 1. L-BFGS算法说明 L-BFGS模型参数更新过程如下: wk+1← wk-λ·pk 其中,wk 是模型参数, pk = Hk-1 gk 是搜索方向, λ 是通过线性搜索得到的步长。 计算pk = Hk-1 gk 伪代码如下所示,这是人们常说的two-loop recursion算法,是Limited-BFGS算法的核心部分。 返回值 r 是我们说要的pk。 其中,H0-1 是单位阵,yk=gk-gk-1, sk=wk-w k-1k-1,L-BFGS算法将最近 m 轮生成的 yk和 sk 序列,记做 {yk} 和 {sk}。 3)driver上更新模型 w,并将 w 广播到每个Executor 2.2 性能分析 基于Spark的L-BFGS实现的算法优点比较明显: HDFS I/O Spark可以快速读写HDFS上的训练数据

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    【技术分享】Spark机器学习的加速器:Spark on Angel

    我们将以L-BFGS为例,来分析Spark在机器学习算法的实现上的问题,以及Spark on Angel是如何解决Spark在机器学习任务中的遇到的瓶颈,让Spark的机器学习更加强大。 1. L-BFGS算法说明 L-BFGS模型参数更新过程如下: 1.png 其中, 2.png 是模型参数, 3.png  是搜索方向, 4.png 是通过线性搜索得到的步长。 计算 5.png  伪代码如下所示,这是人们常说的two-loop recursion算法,是Limited-BFGS算法的核心部分。 返回值 r 就是我们说要的 6.png . 7.png 其中, 8.png 是单位阵, 9.png , 10.png  ,L-BFGS算法将最近 m 轮生成的 11.png  和 12.png 序列 driver上更新模型  30.png ,并将 30.png 广播到每个Executor 2.2 性能分析 基于Spark的L-BFGS实现的算法优点比较明显: HDFS I/O Spark可以快速读写

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    待完善 | R语言 | 优化函数 | optimize,optimise,optim

    ., method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG", "L-BFGS-B", "SANN", "Brent"), list(), hessian = FALSE) optimHess(par, fn, gr = NULL, ..., control = list()) 对于多元的,它的求解难度较大,涉及到的优化算法很多 ,对于不同类型的算法,其适用范围也有所不一样。 注意:需要完善的有 optimize optimise optim optimHess 优化算法的适用范围:”Nelder-Mead”,”BFGS”,”CG”,”L-BFGS-B”,”SANN”,”Brent

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    机器学习中牛顿法凸优化的通俗解释

    我们知道,梯度下降算法是利用梯度进行一阶优化,而今天我介绍的牛顿优化算法采用的是二阶优化。本文将重点讲解牛顿法的基本概念和推导过程,并将梯度下降与牛顿法做个比较。 1. 从整体效果来看,牛顿法优化速度没有梯度下降算法那么快。所以,目前神经网络损失函数的优化策略大多都是基于梯度下降。 值得一提的是,针对牛顿法的缺点,目前已经有一些改进算法。这类改进算法统称拟牛顿算法。 比较有代表性的是 BFGS 和 L-BFGSBFGS 算法使用近似的方法来计算 Hessian 矩阵的逆,有效地提高了运算速度。 L-BFGS 算法是对BFGS 算法的改进,不需要存储 Hessian 近似逆矩阵, 而是直接通过迭代算法获取本轮的搜索方向,空间成本大大降低。 总的来说,基于梯度下降的优化算法,在实际应用中更加广泛一些,例如 RMSprop、Adam等。但是,牛顿法的改进算法,例如 BFGS、L-BFGS 也有其各自的特点,也有很强的实用性。

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    无约束最优化问题求解

    二阶求解方法有牛顿法,拟牛顿法,BFGS,L-BFGS 等,用二阶梯度(超曲面)的信息求解,计算复杂,收敛快,不需要超参数。 牛顿法 用损失函数的二阶偏导数寻找更好的训练方向. 理解L-BFGS算法 是一种拟牛顿法 由中值定理我们知道 image.png 所以有 image.png 同时,Hessian矩阵是对称矩阵。 的QuasiUpdate\mathbf{QuasiUpdate}QuasiUpdate 定义为 image.png 其中 image.png 下面是完整算法 \begin{aligned} \\ & BFGS 每次迭代的复杂度O(n2)O(n^2)O(n​2​​)$, 而L-BFGS, limited-mem BFGS, 是 O(nm),m=5 40O(nm), m=5 ~ 40O(nm),m=5 每次迭代, 沿着共轭方向 (conjugate directions) 执行搜索的, 所以通常该算法要比沿着梯度下降方向优化收敛得更迅速. 共轭梯度法的训练方向是与海塞矩阵共轭的.

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