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反向传播Back Propagation

如图,我们尝试求$e=cd=(a+b)(b+1)$的偏导假设现在要求$a=2,b=1$时的梯度,我们用偏导定义求出不同层偏导的关系 ? $路径上偏导乘积的和这里面就有一个问题:$c \rightarrow e$路径跑了两遍.如果面对更复杂的网络通路,这种重复的遍历会更多,必然会引起效率的下降. 做法是: 从最上层节点开始,初始值为1,以层为单位处理.第一层$e$为1 到第二层,用1乘以到达下一层节点路径上的偏导值,结果存在这个节点.所以,$c = 1 2 = 2, d = 1 3 = 3$ ,即e对c的偏导值是2,e对d的偏导值是3. 第三层,$a = 2 1 = 2, b = 2 1 + 3 * 1 = 5$,即e对a的偏导值是2,e对b的偏导值是5 通过以上就可以对BP的工作原理有了一定了解.

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如何直观地解释 back propagation 算法？

为此，我们需求出cost函数H对每一个权值Wij的偏导数。而BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器。我们以求e=(a+b)*(b+1)的偏导[3]为例。在图中，引入了中间变量c,d。为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。 ? 利用链式法则我们知道： ? 以及 ? 。的值等于从a到e的路径上的偏导值的乘积，而 ? 的值等于从b到e的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。也就是说，对于上层节点p和下层节点q，要求得 ? 然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以"层"为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。

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机器学习(1)--线性回归理论推导

求w和b的偏导：令偏导为0： 2.多元线性回归矩阵X的每一行的前n个元素代表一条数据标签，共有m个数据。最后一行元素恒置为1，为了求导的方便，把当作线性模型中的偏置(bias)。注：由于是个实数c，loss=c1c1+c2c2+...+cm*cm。可写成。上式可改写成矩阵相乘的方式，我们要求loss最小时，w的取值，所以对w求偏导，使其为0。求偏导过程如下所示：故得求得的W即为最优权值。 3.局部加权线性回归为了突出要预测的值的周边重要性，减弱距离远的值对W的影响，使其能局部最优。同样，上式可以转换成矩阵相乘的格式：对W求偏导，过程如下所示：令偏导为0，即由于M是对角矩阵，即：求得的W即为最优权值。

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前向传播算法(Forward propagation)与反向传播算法(Back propagation)「建议收藏」

为此，我们需求出cost函数H对每一个权值Wij的偏导数。而BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器。我们以求e=(a+b)*(b+1)的偏导[3]为例。它的复合关系画出图可以表示如下：在图中，引入了中间变量c,d。为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。 b} ∂b∂e的值等于从b到e的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。下面我们看如何反向传播根据公式，我们有：这个时候我们需要求出C对w的偏导，则根据链式法则有：同理有：到此我们已经算出了最后一层的参数偏导了.我们继续往前面链式推导：我们现在还需要求，

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sigmoid和tanh求导的最终结果,以及Sigmoid函数与损失函数求导

如上图所示，我们从上往下开始计算，将每个单元的值计算出来，然后计算每个单元的偏导数，保存下来；接下来继续计算子单元的值，子单元的偏导数，保存下来；将最后的子单元到根节点所在的路径的所有偏导乘起来，就是该函数对这个变量的偏导，计算的本质就是从上往下，计算的时候将值存起来，乘到后面的单元上去，这样每个路径的偏导计算只需要一次，从上到下计算一遍就得到了所有的偏导数。实际上BP(Backpropagation，反向传播算法)，就是如此计算的，如果现在有一个三层的神经网络，有输入、一个隐藏层，输出层，我们对损失函数求权重的偏导数，它是一个复杂的复合函数，如果先对第一层的权重求偏导，然后在对第二层的权重求偏导，会发现，其中有很多重复计算的步骤，就像上面的简单函数的示例，所以，为了避免这种消耗，我们采用的就是从后往前求偏导，求出每个单元的函数值，求出对应单元的偏导数，保存下来，一直乘下去下面用一个简单的示例来演示一下反向传播求偏导的过程： ? 那么我们会有两个初始的权重矩阵： ?

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跬步神经网络1-基本模型解析

为求L的极小值，使用梯度下降的方法对每个变量求偏导，算出 **Δw、Δb 更新 w = w - lr Δw b = b - lr Δb lr 是步长（learning rate）激活函数需要复习的知识点，导数和偏导数、链式法则、梯度下降导数：二维几何场景下，可以理解为曲线上某点的斜率，在求函数极小值的时候，可以根据斜率确定下一步 X 该增大还是减小偏导数：存在多个变量的情况下，x的偏导就是假设其他变量都是常数梯度下降：求导或偏导得到斜率确定变化值，更新变量得到新的值，重复上面的操作，直到斜率为0或小于设置的某个阈值（比如0.000001） x = x - lrΔx y = 为了更新 W24、W25，需要求 E关于W24、W25的偏导： ? ? ? ? 计算W12偏导比较麻烦一些 ? 根据上面的结果，总结下面的公式： ? 不同的激活函数和损失函数，求导的方程不一样。下一步打算根据上面的公式，用c++写个小程序动手跑一遍，加深理解，尝试解决简单问题，然后熟悉成熟框架。

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sigmoid和tanh求导的最终结果,以及Sigmoid函数与损失函数求导

如上图所示，我们从上往下开始计算，将每个单元的值计算出来，然后计算每个单元的偏导数，保存下来；接下来继续计算子单元的值，子单元的偏导数，保存下来；将最后的子单元到根节点所在的路径的所有偏导乘起来，就是该函数对这个变量的偏导，计算的本质就是从上往下，计算的时候将值存起来，乘到后面的单元上去，这样每个路径的偏导计算只需要一次，从上到下计算一遍就得到了所有的偏导数。实际上BP(Backpropagation，反向传播算法)，就是如此计算的，如果现在有一个三层的神经网络，有输入、一个隐藏层，输出层，我们对损失函数求权重的偏导数，它是一个复杂的复合函数，如果先对第一层的权重求偏导，然后在对第二层的权重求偏导，会发现，其中有很多重复计算的步骤，就像上面的简单函数的示例，所以，为了避免这种消耗，我们采用的就是从后往前求偏导，求出每个单元的函数值，求出对应单元的偏导数，保存下来，一直乘下去下面用一个简单的示例来演示一下反向传播求偏导的过程： ? 那么我们会有两个初始的权重矩阵： ?

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跬步神经网络：基本模型解析

为求L的极小值，使用梯度下降的方法，对每个变量求偏导，算出 Δw、Δb，更新 w = w - lr Δw，b = b - lr Δb ，其中lr 是步长（learning rate）。偏导数：存在多个变量的情况下，x的偏导就是假设其他变量都是常数，然后对x求导。，其中lr 是步长 NN网络举个栗子：神经元：激活函数、损失函数：网络结构：根据上面的网络结构以及定义，可以得到：为了更新 W24、W25，需要求 E关于W24、W25的偏导：计算W12偏导比较麻烦一些根据上面的结果，总结下面的公式：不同的激活函数和损失函数，求导的方程不一样。下一步打算根据上面的公式，用c++写个小程序动手跑一遍，加深理解，尝试解决简单问题，然后熟悉成熟框架。

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一文搞懂反向传

因此误差对w11求偏导如下： ? 求导得如下公式（所有值已知）： ? 同理，误差对于w12的偏导如下： ? 同样，求导得w12的求值公式： ? 同理，误差对于偏置求偏导如下： ? 因此误差对输入层的w11求偏导如下： ? 求导得如下公式（有点长(*ฅ́˘ฅ̀*)）： ? 同理，输入层的其他三个参数按照同样的方法即可求出各自的偏导，在这不再赘述。接下来用事实说话，大家仔细观察一下在第四部分链式求导部分误差对于输出层的w11以及隐藏层的w11求偏导以及偏置的求偏导的过程，你会发现，三个公式存在相同的部分，同时隐藏层参数求偏导的过程会用到输出层参数求偏导的部分公式大家看一下经典书籍《神经网络与深度学习》中对于delta的描述为在第l层第j个神经元上的误差，定义为误差对于当前带权输入求偏导，数学公式如下： ? 因此输出层的误差可以表示为（上图红色框公式）： ? 我们先从大致流程上介绍了反向传播的来龙去脉，接着用链式求导法则来计算权重以及偏置的偏导，进而我们推出了跟经典著作一样样儿的结论，因此本人觉得较为详细，应该对初学者有一定的借鉴意义,希望对大家有所帮助。

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矩阵微分

end{array} Am×n=unvecm,n(a)=⎣⎡a1a2⋮amam+1am+2⋮a2m⋯⋯⋱⋯am(n−1)+1am(n−1)+2⋮amn⎦⎤ 2.3 偏导算子行向量偏导算子记为： Dx=def∂∂xT=[∂∂x1,⋯ ,∂∂xm]\begin{array}{c} D_{\boldsymbol{x}} \overset{\mathrm{def}}{= 2.4 实值标量函数偏导实值标量函数对向量变元的行向量偏导为： Dxf(x)=def∂f(x)∂xT=[∂f(x)∂x1,⋯ ,∂f(x)∂xm]\begin{array}{c} D_ {\partial x_m}] \end{array} Dxf(x)=def∂xT∂f(x)=[∂x1∂f(x),⋯,∂xm∂f(x)] 实值标量函数对向量变元的列向量偏导为常用公式 4.1 向量函数及其偏导 image.png 4.2 矩阵函数及其偏导 image.png

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《高性能 Android 应用开发》笔记

专注高级工程师进阶，欢迎关注近些日子又温习了一下《高性能 Android 应用开发》这本书，是的，又一本关于 Android 性能优化的一本书，顺便整理了一下书的内容以及知识点，把其中相对重要的内容梳理成了思维导图大概介绍下本书，由一位国外的人编写，书一共八个章节，198页，算是非常薄的一本书了，但是内容的覆盖度还是非常广泛的，UI、电池、内存、CPU 等重要的性能优化模块都有涉及，针对每个方面给出一系列指导，属于一本偏『提一嘴，Colt McAnlis （就是Android Performance Patterns里的光头哥）为本书写了推荐语： “本书是Android性能方面的权威实战指南，可以帮助工程师转换视角。附上思维导图：（全图比较大，不知道被公众号压缩后还能不能看清，看不清的加群吧，群里会发原图） ?

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斯坦福CS231n - CNN for Visual Recognition（4）-lecture4反向传播

---- 偏导公式和理解梯度　　考虑f(x,y)=xyf(x,y)=xy，则x,yx,y的偏导分别为 f(x,y)=xy→∂f∂x=y∂f∂y=x f(x,y) = x y \hspace{1in ---- 链式法则计算复合函数偏导　　考虑f(x,y,z)=(x+y)zf(x,y,z)=(x+y)z。当然，我们可以直接求偏导。，得到反向传播的偏导值。因为max(x,y)max(x,y)只对xx和yy中较大的那个数，偏导为+1.0+1.0，而另一个数上的偏导是00。乘法门就更好理解了，因为x∗yx*y对xx的偏导为yy，而对yy的偏导为xx，因此在上图中xx的梯度是−8.0-8.0，即−4.0∗2.0-4.0*2.0。

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深度学习如何入门？

qid=108adce3-2c3d-4758-a830-95d0a57e46bc&v=&b=&from_search=3（需要访问外国网站，原文有网盘链接，但是我试了试失效了，就删除了深度学习还有一个重要的数学概念：偏导数，偏导数的偏怎么理解？偏头疼的偏，还是我不让你导，你偏要导？求偏导我们用一个符号表示：比如 y/ x₃ 就表示y对 x₃求偏导。废话半天，这些跟深度学习到底有啥关系？有关系，我们知道，深度学习是采用神经网络，用于解决线性不可分的问题。所以为了把参数调整到最佳，我们需要了解误差对每个参数的变化率，这不就是求误差对于该参数的偏导数嘛。关键是怎么求偏导。图2和图3分别给了推导的方法，其实很简单，从右至左挨个求偏导就可以。相邻层的求偏导其实很简单，因为是线性的，所以偏导数其实就是参数本身嘛，就跟求解x₃的偏导类似。然后把各个偏导相乘就可以了。

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yuque-helper 1.1.0 新功能更新

image.png 如上图，他的主要功能是，把 markdown 的文章直接转换成思维导图的形式，我当时看到就觉得基于 markdwon 的语雀特别适合这个功能，然后就去反馈了这个需求 ? image.png 但是可能与已有思维导图功能太过相似，所以没有被采纳。后来发现，这个网站开源了，所以就集成了这个功能。 image.png 然后在 markdown 页面下，再点击转成思维导图按钮，就会跳转到思维导图页面 ? 如下图，是这篇文章 Overview · 语雀[7] ，转换的结果 ? %22%3A%22zip%22%2C%22progress%22%3A%7B%22percent%22%3A99%7D%2C%22status%22%3A%22done%22%2C%22percent% 22%3A0%2C%22id%22%3A%22aNd1k%22%2C%22card%22%3A%22file%22%7D [3] yuque-helper 1.0 发布了 · 语雀: https://www.yuque.com

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基于word2vec训练词向量(一)

这时对(6)每个变量（X_w,θ_j-1）求偏导,对每一个样本，带入偏导数表达式得到在该函数上增长的梯度，然后让对应的参数加上这个梯度，函数就在偏导数对应的维度上增长了，这就是梯度上升法。对于(6)每一项有两个参数和X_w，分别对两个参数求偏导,先对θ求导： ? 公式（7） Sigmoid的导数很好求，最后对θ求导的结果为： ? 公式（8）于是的更新表达式为： ? 同理，对X_w求偏导数，得： ? 公式（10）于是X_w的一部分更新表达式也得到了，注意这里（10）只是对（6）求偏导的，（6）只是目标函数（5）的其中一项，还要对（5）其他项求X_w偏导，相加才是X_w在（5）下的偏导。 3.总结基于Hierarcical Softmax优化的Word2vec，相对于DNN，使用霍夫曼树网络结构不需要计算所有非叶子节点，每次只会反向对路径上的参数求偏导更新路径上的节点参数

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机器学习优化算法（一）

现有函数z = f(x,y)，下面两式分别为函数z对x（y保持不变）、z对y（x保持不变）的偏导。 ? 2.偏导的几何意义：在一个二维平面内，z对x的偏导表示在该点对x轴的切线斜率，z对y的偏导表示在该点对y轴的切线斜率，分别如下图所示： ? 函数p(x)在x0的值为a0,就是f(x0),函数p(x)在x0处的一阶导为a1，函数p(x)在x0处的二阶导为a2，…函数p(x)在x0处的n阶导为an。 ? 其中▽f为f的梯度向量(对于多元函数来说，一阶导数就是偏导)，▽2f为f的海森矩阵，其定义如下： ? 红色为牛顿法，绿色为梯度下降引用自：https://www.cnblogs.com/shixiangwan/p/7532830.html 参考文章： https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e

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函数柯里化(Currying)和偏函数应用（部分应用函数）(Partial Application)的比较

偏函数解决这样的问题：如果我们有函数是多个参数的，我们希望能固定其中某几个参数的值。几乎所有编程语言中都有非常明显的偏函数应用。在C语言中： int foo (int a, int b, int c) { return a + b + c; } int foo23(int a, int c) { return foo (a, 23, c); } foo23 函数实际上就是一个 foo 函数的偏函数应用，参数 b 的值被固定为 23。例如，在 Python 语言中，我们可以这样做： from functools import partial def foo (a,b,c): return a + b + c foo23 = 函数 foo5 就是 foo 函数的偏函数。注意，尽管如此，我们没有很简单的方法对 foo 函数的第二个参数偏函数化(除非先偏函数化第一个参数)。

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通俗易懂丨深度学习如何入门

深度学习还有一个重要的数学概念：偏导数，偏导数的偏怎么理解？偏头疼的偏，还是我不让你导，你偏要导？计算偏导数的时候，其他变量都可以看成常量，这点很重要，常量的变化率为0，所以导数为0，所以就剩对35x₃ 求导数，等于35. 对于x₂求偏导，也是类似的。求偏导我们用一个符号表示：比如 y/ x₃ 就表示y对 x₃求偏导。废话半天，这些跟深度学习到底有啥关系？有关系，我们知道，深度学习是采用神经网络，用于解决线性不可分的问题。所以为了把参数调整到最佳，我们需要了解误差对每个参数的变化率，这不就是求误差对于该参数的偏导数嘛。关键是怎么求偏导。图2和图3分别给了推导的方法，其实很简单，从右至左挨个求偏导就可以。相邻层的求偏导其实很简单，因为是线性的，所以偏导数其实就是参数本身嘛，就跟求解x₃的偏导类似。然后把各个偏导相乘就可以了。

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深度学习如何入门？

深度学习还有一个重要的数学概念：偏导数，偏导数的偏怎么理解？偏头疼的偏，还是我不让你导，你偏要导？计算偏导数的时候，其他变量都可以看成常量，这点很重要，常量的变化率为 0，所以导数为 0，所以就剩对 35x₃ 求导数，等于 35. 对于 x₂求偏导，也是类似的。求偏导我们用一个符号表示：比如 y/ x₃ 就表示 y 对 x₃求偏导。废话半天，这些跟深度学习到底有啥关系？有关系，我们知道，深度学习是采用神经网络，用于解决线性不可分的问题。所以为了把参数调整到最佳，我们需要了解误差对每个参数的变化率，这不就是求误差对于该参数的偏导数嘛。关键是怎么求偏导。图 2 和图 3 分别给了推导的方法，其实很简单，从右至左挨个求偏导就可以。相邻层的求偏导其实很简单，因为是线性的，所以偏导数其实就是参数本身嘛，就跟求解 x₃的偏导类似。然后把各个偏导相乘就可以了。

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