埃拉托色尼筛法 基本素数判别法： 正整数n是素数，当且仅当他不能被任何一个小于sqrt(n) 的素数整除 定理： 如果m是一个合数，那么n一定有一个不超过sqrt(n)的素因子 推论： 如果n是一个合数
（选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第六章 开门咒） 费马小定理有多种证法，以同余证法最为简短而精致。 任意取一个质数，比如13。...如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理 xp－1≡1 mod p。
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理 在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。...裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）： ax + by = m 有解当且仅当m是d的倍数。...因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。 证明： (1)若b=0,则(a,b)=a.这时定理显然成立。 (2)若a,b不等于0. ...推广： 以上定理可推广到n个，n≥2 如1st IMO 1959第1题：证明对任意自然数n，(21n+4)/(14n+3)为既约分数。...证明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.
一个例子让数学定理如何证明直觉之虚妄。 让我们先来看看生活中的一个小例子。...——从概率学的角度讲，这其实是贝叶斯定理（Bayes's Theorem）的体现。 首先我们将患病的事件记做D，检测为阳性的事件记做T。如果患病的事件没有发生，则称为“Not D”，符号记为：￢D。...那么贝叶斯定理就可以记为： P(D|T) = P(T|D)P(D)/[P(T|D)P(D) + P(T|￢D)(P￢D)] 现在我们可以计算P(D|T)，即测试为阳性时，患D病的概率值了。
《最强大脑2019》之四色定理 四色定理知多少？ 还没来的及看的小伙伴快去打开浏览器输入以下网址或百度一下 周末躺床上观赏吧！...Kenneth Appel）与哈肯（Wolfgang Haken）在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了整整 1200 个小时，做了 100 亿次实验，结果没有一张地图邻域配色是需要五种颜色的，最终证明了四色定理...四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一，另外两个分别是费马定理和哥德马赫猜想。这3个世界数学难题相信大家应该都不陌生吧！...“四色定理”算法可视化 我们没有能力证明四色定理，但是我们可以假设这个定理是成立的，进而通过编程语言设计相邻图块（图斑）渲染算法。...A B C D2.A 0 3.B 1 04.C 1 0 05.D 0 1 1 0 a. 先定义颜色值color为 1、2、3、4，颜色总数colorNum为4。 b.
文章目录 一、互补松弛性 二、证明 互补松弛性 一、互补松弛性 ---- \rm X^0 和 \rm Y^0 分别是 原问题 \rm P 问题 和 对偶问题 \rm D 的 可行解 , 这两个解各自都是对应...\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases} 其中 \rm X_s , Y_s 是 松弛变量 或 剩余变量 ; 二、证明...互补松弛性 ---- 原问题 : \begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm...cases}\end{array} 对偶问题 : \begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^...T 等式中 , 可以得到 \rm Y_s^0 的一个可行解 ; 根据 对偶理论中的 强对偶定理 , 只要 " \rm X^0 和 \rm Y^0 分别是 原问题 \rm P 问题 和
（往往在缺少一阶导数零点时使用，如【2019-21】） 步骤：利用连续函数 最值定理，并说明 极值 不在 端点取到，而在 区间内部 取到 如下面这个 导数零点定理 的证明，中间有用到这个思想 导数零点定理...我没在真题中见过，可能唯一作用是用来证明 导数介值定理 的吧 证明题中可能用的不是很多，作为数学常识记住就好了 导数介值定理（达布定理） 概念： f(x) 在区间 [a,b] 上可导，则 f'...，无需构造辅助函数 若要证明 " \exists \xi \in (a,b), s.t. f'(\xi) = k " 可令 F(x) = f(x) - kx 然后对 F(x) 适用罗尔定理 若要证明...，估计出了第三个中值 \xi_3 等于 该段区间的割线斜率 <0 即答案所要求的点 \varphi''(\xi) < 0 该几何法，成功帮助我们梳理了一遍证明思路，直接根据上述步骤，转化为数学语言写出即可...2集 通杀一类题) 辅助多项式的方法，可以用于 2007 / 2019 年的中值定理证明题中。
目录 简介 证明 图解 评价 费雪 简介 费雪分离定理(Fisher Separation Theorem)由经济学家欧文·费雪(Irving Fisher, 1867-1947)提出，该定理指出在完美资本市场...这从理论上证明了大型现代化公司存在的可能性，因此成为公司金融的奠基理论之一。...评价 费雪分离定理的关键假设在于完美资本市场(PCM)，包括无交易成本、信息完全对称、市场完全竞争等，是一个非常强的假设。...费雪 最后值得一提的是，费雪分离定理的提出者欧文·费雪(Irving Fisher, 1867-1947)。 费雪是20c初经济学界的“顶级流量”，是经济学领域的集大成者。...然而他错误地判断了20c30s年代的大萧条，导致其资产大幅缩水，名声和学术地位也受到了很大影响，但其仍在经济学史上留下了浓墨重彩的一笔。
定理 裴蜀定理（贝祖定理）是一个关于最大公约数的定理。...裴蜀定理说明了对任何整数a,b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程：若a,b是整数，且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别的，一定存在整数x,...证明 设d=gcd(a,b)，则d∣a,d∣b。由整除性质可得， 图片 设s为ax+by的最小正值⋯⋯(1) 图片 同理可证s∣b 图片 证毕。...求不定方程的解 设d=gcd(a,b) 根据裴蜀定理可得到等式(贝祖等式):ax+by=d 图片 图片 即可发现x,y更新规律。
第四名 五次方程求根公式 我们从初中开始就开始学习二次方程ax²+bx+c=0的求根公式。先求判别式Δ，然后对Δ进行讨论，得到方程的根，于是二次方式的求根公式就得到了。...第三名 四色定理 四色定理的通俗版本是：“任意一个无飞地的地图都可以用四种颜色染色，使得没有两个相邻国家染的颜色相同。”这最初是由法兰西斯·古德里在1852年提出的猜想。...当然，作为一个数学定理，四色定理有着更为严谨的数学叙述，是关于拓扑或者图论，这里就不细述了。 解决： 四色猜想刚提出时，并不被数学家们重视，比如哈密顿就说“不会尝试解决这个四色问题”。...而剧情的反转在这个证明公开的11年后，有人发现了肯普证明无法修补的错误，而使四色猜想重新成为公开问题。...1975年，经过IBM360电脑夜以继日近两个月，1200小时的验证，四色猜想被证明，成为四色定理。回想一下那个30行的要求，哆嗒数学网的小编只想说，写作业的学生们，你们还好吗？ ?
欧拉线定理分析和证明第一部分 共线（以及其对偶形式共点）的证明，是平面几何里一类非常典型，分量很重的形式，在接触梅涅劳斯定理（对偶形式赛瓦定理）以前，证明这个简直就是瞎蒙乱撞，没有个章法，这两个定理直接为这类证明提供了模板...比如这个欧拉线定理，众多角的相等，垂直关系使得其并不适合直接去套用梅涅劳斯定理，就像本身外心内心垂心的存在性证明也是用的很朴素的方法来说明的。...我们来看具体的证明过程： 图2 欧拉线定理证明第一部分图 ? 如图，三角形ABC，HGO分别是其垂心，重心和外心，连接BO并延长，和外接圆O相交于D，连接AH，AD，CD和CH。...这里证明三点共线的思路是，直接连接线段交在某点上，然后证明该点就是第三点。这个逻辑也是在梅涅劳斯定理以前最常用的方法，还有同一法也是类似的思路了，都属于构造法。...欧拉线定理分析和证明第二部分 接着我们来证明，九点圆圆心也在OGH所在的直线上，并且在GO的中点上。 图3 欧拉线定理证明第二部分图 ? 如图所示，H，G，Ω分别是图中的垂心，重心和外心。
今天我们接着上一讲的平面几何欧拉定理的证明，来看看与之相关的九点圆定理的证明以及其中的数学智慧。...这个矩形的证明其实和一般的四点共圆证明思路去证明相交弦逆定理啊，圆周角逆定理啊，或者内对角互补这样常见的思路还挺不一样的，主要是中点多，垂直多，这个远远超过性质要求的结论竟然也成立啊！...九点圆定理证明赏析 从这个证明中，我想分享一下几个思考点。 首先，其实它的证明逻辑链条远远没有欧拉定理本身那么复杂和冗长，分支路径众多，但确实其证明思路起点比较偏门，是这里的难点。...就拿中间证明四点共圆的过程说，它相当于是证明了这个问题的超问题，最后甚至还找到了这个九点圆的圆心，也是一种超定理要求的体现，即证明了一个定理的充分不必要条件，证明了一个统治这个定理的定理。...这些定理的详细证明就暂时不展开了，每一个的理解和证明都是体现平面几何之美的绝佳案例。 有了九点圆背景，下一篇我们继续回到对欧拉的缅怀中，来看看建立在九点圆定理基础上的欧拉线定理，敬请期待。 ?
这些证明库简单来说，就是把普通数学语言转换成近似于编程语言的形式。 Metamath的主库是set.mm，包含基于ZFC集合论的约38000个证明。...在Lean库中，这一模型可以证明其中43%的定理，比SOTA提高了38%，以下是该模型证明出的IMO试题。 不过目前它还不是十全十美。...One More Thing 用计算机论证数学问题，四色定理的证明便是最为人熟知的例子之一。...四色定理是近代数学三大难题之一，它提出“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家，着上不同的颜色”。 由于这一定理的论证需要大量计算，在它被提出后100年内，都没有人能完全论证。...加之随着数学问题愈加复杂，用人力来检验定理是否正确也变得更加困难。 近来，AI界也把目光逐步聚焦在数学问题上。 2020年，OpenAI推出数学定理推理模型GPT-f，可用于自动定理证明。
，并用现在叫作图灵机的简单形式的抽象装置代替了哥德尔的以通用算术为基础的形式语言，证明了一切可计算过程都可以用图灵机模拟。...1976 年，两位美国数学家用高速电子计算机耗费 1200 小时的计算时间证明了四色定理，数学家们 100 多年来未能解决的难题得到解决。...四色定理之所以能被证明，是因为不可约集和不可避免集是有限的，四色定理的“地图涂色”问题看似有无穷多的地图，实际上可以把它们归结为 2000 多种基本形状，之后利用计算机的计算能力暴力穷举，一个个去证明即可...我们现在说GPT-3“大力出奇迹”，其实四色定理的证明才是“大力出奇迹”的始祖。 然而，这种利用计算机计算能力暴力破解定理证明的做法并不能得到推广。...换言之，这种方式仍然依赖数学家对定理的理解，只能做到“一理一证”，只能算定理的计算机辅助证明。 所以，在四色定理被计算机证明后，包括王浩在内的一批逻辑学家提出了不同意见：四色定理算被证明了吗？
今天我们接着上一讲的内容，来看看平面几何欧拉定理的证明过程，以及其中的数学智慧。...平面几何欧拉定理的思路分析与证明 平面几何欧拉定理 如下图所示，三角形外心与内心的距离d可表示为：d ^ 2 = R(R - 2r)，其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。...我从今天的视角来看，它的思考过程就如上面证明欧拉定理的这个过程一样，是个不断尝试，转化，再尝试，再转化，直到结论变得显然地这样一个化归的过程。最后这个思维链条可以自动地退栈，以证明最开始的结论。...好了，平面几何欧拉定理证明相关内容就说到这里。 在我总结整理欧拉定理相关的内容时候，就发现了很多旁的内容，就像走在丛林中，除了想到达目的地，四周也到处是可以挖掘的宝藏。...欧拉定理的证明我相信你还没看过瘾（其实是我还没写过瘾），接下来的文章，我们会继续介绍一下欧拉线定理以及九点圆定理的内容和给出证明和思考，敬请期待。 ?
03 毕达哥拉斯提出 公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯，提出了勾股定理，但证明方法已失传。所以西方多称这个定理为毕达哥拉斯定理。...05 赵爽证明 三国时期吴国数学家赵爽，在《周髀算经》的注释中记载“勾股各自乘，并之为玄实，开方除之即弦”。并通过“勾股圆方图”证明了勾股定理。...06 爱因斯坦证明 爱因斯坦在11岁时获得了一本几何书，有一天叔叔给他讲勾股定理时，他觉得证明太复杂，于是就自己想了一种方法来证明。...08 小K证明 通过相似三角形，边长之比相等，证明了勾股定理。 ? 09 图形拼接证明 一切尽在不言中，别说话，看图。 ?...14 无穷级数证明 根据极限定理，有。 根据如下图先得到。 ? 然后通过如下图的无限划分，得到。 ? 再通过如下图得到。 ? 最后通过如下运算证明勾股定理。 ?
事实上，我们说它也是一种可选停时定理的应用，也没有太大问题，因为这个性质确实也可以使用它来证明。首先我们研究的其实就是鞅的一个变化，看它什么时候可以突破 。...好的，下面我们进入这个定理的证明。这个定理的证明思路其实依然来源于实分析（或者说高等概率论）。...接下来，进一步只需要说明的就是 ，这是因为要使用高等概率论中的Borel-Cantelli（B-C）定理。这个思路不太好想，我们直接给出。...如果有 ，那么根据B-C定理自然会有 如果这个事情只会发生有限次，那么没有理由相信上升过程 会发生无限多次（因为每上升一次就会有一个新的 出现）。 那么如何说明这一个事情呢。...小结 本节依然在关注鞅，包括可选停时定理的应用，鞅本身的一些不等式估计，和对于鞅本身的收敛性的分析。事实上，鞅本身作为概率论中的工具之一，也会被用来作为证明一些概率论定理和性质的辅助手段。
证明或否定: 不定方程 a^4 + b^4 + c^4 = d^4 (*)有正整数解。...我们今天先从最有名的欧拉来讲起，作为中世纪著名的数学家，欧拉一生的创作极为丰富，只要不是艺术类和语言类的同学，相信都对欧拉念念不忘（有一些痛，一辈子都忘不了）。...数学家安德鲁·怀尔斯 四色猜想 ? 四色猜想的提出也颇具生活化。...，美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，两位数学家阿佩尔（Kenneth Appel）与哈肯（Wolfgang Haken）用了1200个小时，作了100亿判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理...遂称四色定理。 ? 一枚纪念邮票，上面写着“四种颜色就够了” 有意思的是，这个问题的研究意外带动拓扑学与图论的生长、发展。 看似简单的问题，真的不简单。这本身就是大自然留给人类的一个无限的谜。
费马小定理 费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么 是p的倍数，可以表示为 如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成(同余式写法) 同余式 如果两个正整数 a和 b之差能被...n整除，那么我们就说 a和 b对模n同余，记作： 证明 任意取一个质数，比如13。...如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理xp－1≡1 mod p。...应用 计算2^100除以13的余数 2^100除以13的余数 证明对于任意整数a而言 恒为2730的倍数。...费马小定理-维基百科 杭电1098Ignatius's puzzle
数学原理极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。可以说数学，是一切科学的基础。就如诺贝尔奖得主费曼说：如果没有数学语言，宇宙似乎是不可以描述的。...c. 通过假设、监督学习和归因的迭代过程发现的有趣子结构的区间021435–240513∈S6的说明。...上世纪五十年代，美国华裔数学家王浩等人利用计算机研究罗素和怀德海的名著《数学原理》中定理的证明，成果突出。...从上世纪七十年代后期开始，我国数学家吴文俊、张景中等，着手用计算机证明几何定理，在国际上产生了巨大影响。...图注：华裔数学家王浩 1878年6月13日英国数学家凯莱在数学会上正式提出了四色猜想，然后，对四色猜想的证明就如火如荼地展开了，但由于没有大数学家的参与和人工算力的局限，俄罗斯数学家闵科夫斯曾在演算失败后感叹
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