费马定理，这不严谨 费马定理 分为离散数学中用于求模数为质数的乘法逆元-费马小定理 和 世纪问题 - 费马大定理 但都不是本片中提到的 费马引理，请读者注意区别 概念：可导的极值点 一定是 驻点（...（往往在缺少一阶导数零点时使用，如【2019-21】） 步骤：利用连续函数 最值定理，并说明 极值 不在 端点取到，而在 区间内部 取到 如下面这个 导数零点定理 的证明，中间有用到这个思想 导数零点定理...我没在真题中见过，可能唯一作用是用来证明 导数介值定理 的吧 证明题中可能用的不是很多，作为数学常识记住就好了 导数介值定理（达布定理） 概念： f(x) 在区间 [a,b] 上可导，则 f'...可以推出：若 f'(x) 不取 k ，则 f'(x) 要么恒大于 k ，要么恒小于 k 这也算是一个数学常识，除了证明题里，在很多其它类型的题目中也可以用到，比如【2022李林6一8】...，估计出了第三个中值 \xi_3 等于 该段区间的割线斜率 <0 即答案所要求的点 \varphi''(\xi) < 0 该几何法，成功帮助我们梳理了一遍证明思路，直接根据上述步骤，转化为数学语言写出即可
埃拉托色尼筛法 基本素数判别法： 正整数n是素数，当且仅当他不能被任何一个小于sqrt(n) 的素数整除 定理： 如果m是一个合数，那么n一定有一个不超过sqrt(n)的素因子 推论： 如果n是一个合数
（选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第六章 开门咒） 费马小定理有多种证法，以同余证法最为简短而精致。 任意取一个质数，比如13。...如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理 xp－1≡1 mod p。
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理 在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。...裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）： ax + by = m 有解当且仅当m是d的倍数。...因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。 证明： (1)若b=0,则(a,b)=a.这时定理显然成立。 (2)若a,b不等于0. ...推广： 以上定理可推广到n个，n≥2 如1st IMO 1959第1题：证明对任意自然数n，(21n+4)/(14n+3)为既约分数。...证明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.
一个例子让数学定理如何证明直觉之虚妄。 让我们先来看看生活中的一个小例子。...——从概率学的角度讲，这其实是贝叶斯定理（Bayes's Theorem）的体现。 首先我们将患病的事件记做D，检测为阳性的事件记做T。如果患病的事件没有发生，则称为“Not D”，符号记为：￢D。...那么贝叶斯定理就可以记为： P(D|T) = P(T|D)P(D)/[P(T|D)P(D) + P(T|￢D)(P￢D)] 现在我们可以计算P(D|T)，即测试为阳性时，患D病的概率值了。
最近Meta在NeurIPS 2022上发布了一个神经定理证明器（neural theorem prover），成功解决了10道国际数学奥林匹克（IMO）的问题，比之前最强的AI系统高5倍。...实验结果表明，仅用HTPS算法就可以证明65.4%的Metamath定理，大大超过了之前GPT-f的56.5%的水平，对这些未被证明的定理进行的在线训练可以将准确率提高到82.6% 研究人员通过Lean...总体来说，定理证明比下围棋、国际象棋这样的棋盘游戏更具挑战性。 首先，当模型试图证明一个定理时，每一步可能的action空间不是很大，而是无穷大。...之所以会出现这类问题，是因为之前的定理证明器过于依赖语言模型，虽然GPT-3等可以解决部分数学题，但它仍然探索不同方法的能力，这种技能对于解决需要「创造力」的数学问题来说至关重要。...事实上，用于验证软件和证明定理的工具和形式系统是相同的，主要区别在于模型所依据的数据类型: 函数数据集或数学定理。
中国剩余定理 问题 求解同余方程组 ?...) x+i*M(i\in Z) x+i∗M(i∈Z) 特别的，最小非负整数解为(x%M+M)%M 证明...i]+b[i])%b[i];//x要为最小非负整数解 ans=(ans+tp*x*a[i])%lcm; } return (ans+lcm)%lcm; } 扩展中国剩余定理...lcm, mi[i]) * mi[i]; for(LL i = l+1; i <= r; i++) { LL A = mi[l], B = mi[i], d, x, y, c...= ai[i] - ai[l]; exgcd(A, B, d, x, y); if(c % d) return -1; LL mod
欧几里得定理: gcd(a, b) = gcd(b, a%b) 证明： 我们首先约定：m = gcd(a,b) , n = gcd(b, q) , a = b*p +q。...a:gcd(b, a%b); } 拓展欧几里得定理： ?
文章目录 一、互补松弛性 二、证明 互补松弛性 一、互补松弛性 ---- \rm X^0 和 \rm Y^0 分别是 原问题 \rm P 问题 和 对偶问题 \rm D 的 可行解 , 这两个解各自都是对应...\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases} 其中 \rm X_s , Y_s 是 松弛变量 或 剩余变量 ; 二、证明...互补松弛性 ---- 原问题 : \begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm...cases}\end{array} 对偶问题 : \begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^...T 等式中 , 可以得到 \rm Y_s^0 的一个可行解 ; 根据 对偶理论中的 强对偶定理 , 只要 " \rm X^0 和 \rm Y^0 分别是 原问题 \rm P 问题 和
挪威自然科学与文学院决定授予Wiles这一被誉为“数学界诺贝尔”的奖项，“因为他通过证明半稳定椭圆曲线是模曲线，出色地证明了费马最后定理，从而在数论领域开创了一个新时代。”...费马最后定理是17世纪数学家费马提出了的一个看似简单的问题。他说当整数n>2时，关于x、y、z的不定方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。...更为重要的是，他声称他已经有了证明的方法，但是因为书本的边缘太窄而没办法把答案写进去。 数学家们花了几个世纪去填补他的脑洞。...费马大定理终于尘埃落定。阿贝尔奖委员会在颁奖词中说：“没有其他定理比费马大定理拥有更加浓厚的历史感以及更加激动人心的证明。”...从那时开始，大量的数学家被怀尔斯的成就所鼓舞，进而去解决更多的定理。他说：“我想解决费马大定理这件事比我期望的还要好。现在还有很多很多的挑战，但是它已经成为一个不断扩展的数论。”
，运用贝叶斯定理更新从地图上获得的信息；人工智能、机器翻译中大量用到贝叶斯定理......我将从以下4个角度来科普贝叶斯定理及其背后的思维： 1.贝叶斯定理有什么用？ 2.什么是贝叶斯定理？ 3.贝叶斯定理的应用案例 4.生活中的贝叶斯思维 1.贝叶斯定理有什么用？...英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。而这篇论文是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。...可以说，所有需要作出概率预测的地方都可以见到贝叶斯定理的影子，特别地，贝叶斯是机器学习的核心方法之一。 为什么贝叶斯定理在现实生活中这么有用呢？...在《医学的真相》这本书里举了个例子，假设检测艾滋病毒，对于每一个呈阳性的检测结果，只有50%的概率能证明这位患者确实感染了病毒。
，运用贝叶斯定理更新从地图上获得的信息；人工智能、机器翻译中大量用到贝叶斯定理。...我将从以下4个角度来科普贝叶斯定理及其背后的思维： 1.贝叶斯定理有什么用？ 2.什么是贝叶斯定理？ 3.贝叶斯定理的应用案例 4.生活中的贝叶斯思维 1.贝叶斯定理有什么用？...英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。而这篇论文是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。...然而后来，贝叶斯定理席卷了概率论，并将应用延伸到各个问题领域。可以说，所有需要作出概率预测的地方都可以见到贝叶斯定理的影子，特别地，贝叶斯是机器学习的核心方法之一。...在《医学的真相》这本书里举了个例子，假设检测艾滋病毒，对于每一个呈阳性的检测结果，只有50%的概率能证明这位患者确实感染了病毒。
不同于简单的计算问题仅仅需要验证最终的结果与答案是否匹配，定理的证明要求对数学概念拥有更严格的理解，而这种定理证明的正确性是难以通过直接的自然语言生成和判别或是简单的程序调用就能够完成的。...从事形式化验证的计算机科学家致力于为数学论述构造表达自然且计算高效的形式语言和证明验证器，人工编写的形式化数学代码在通过计算机的形式化验证后被认为具有高度的严格性。...筛选出最可能被使用的定理，帮助纯符号计算的自动定理证明器缩小证明搜索空间；或者将证明目标作为提示输入语言模型，使其直接生成相应的形式化数学证明代码，再使用相应的形式化验证器来判断该证明的正确性，这种直接代替人类编码者完成主要证明内容书写的直接模式在大语言模型取得突破后备受关注...给定一个以自然语言描述的数学定理及其人类编写的形式化描述，使用 GPT-3.5（informal solver）直接生成的自然语言证明。 2....TRIGO 在定理证明领域提供了新的挑战，同时也提供了一种研究生成式语言模型在形式和数学推理方面能力的新工具。
机器之心报道 机器之心编辑部 Meta AI构建了一个神经定理证明器HyperTree Proof Search（HTPS），已经解决了 10 场国际数学奥林匹克竞赛 (IMO) 中的数学问题。...数学定理证明一直被视为构建智能机器的关键能力。证明一个特定的猜想是真是假，需要使用符号推理等数学知识，比简单的识别、分类等任务要难得多。...，即在 miniF2F 中另一个 IMO 问题的证明： 更接近人类的推理 为了使用计算机编写正式的数学证明过程，数学家最常用的方法是交互式定理证明器（ITP）。...以下图 5 证明过程为例，假设策略模型 P_θ 和批评模型 c_θ，以目标为条件，策略模型允许对策略进行抽样，而批评模型估计为该目标找到证明的能力，整个 HTPS 的证明搜索算法以这两个模型为指导。...Meta 在三个定理证明环境中开发和测试 HTPS：a）Metamath，b）Lean 和 c）Metamath。
目录 简介 证明 图解 评价 费雪 简介 费雪分离定理(Fisher Separation Theorem)由经济学家欧文·费雪(Irving Fisher, 1867-1947)提出，该定理指出在完美资本市场...这从理论上证明了大型现代化公司存在的可能性，因此成为公司金融的奠基理论之一。...效用最大化问题的数学表达式如下 通过，将约束条件转化为 设定拉格朗日函数 根据拉格朗日函数可以将效用最大化问题分解成两个子问题： 1）投资决策 投资决策的目标函数如下， 等式右边就是投资的NPV，为了最大化投资的总...费雪 最后值得一提的是，费雪分离定理的提出者欧文·费雪(Irving Fisher, 1867-1947)。 费雪是20c初经济学界的“顶级流量”，是经济学领域的集大成者。...然而他错误地判断了20c30s年代的大萧条，导致其资产大幅缩水，名声和学术地位也受到了很大影响，但其仍在经济学史上留下了浓墨重彩的一笔。
与此同时，主攻数学问题的 AI 也在不断发展壮大：一个名为 LeanDojo 的开放平台提供了一套基于大型语言模型的开源定理证明器，消除了在机器学习方法用于定理证明时存在的私有代码、数据和大量计算需求等障碍...形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（如开头提到的 Lean）来验证。...研究细节 Lean 是一种编程语言，既可以写传统的程序，也可以写定理和证明。...它提供了两个机制：首先，基于具有依赖类型的函数式编程，Lean 为定义程序、数学对象、定理和证明提供了一种统一的语言；第二，Lean 提供了一个策略系统（tactic system），用于半自动地构建机器可检查的证明...他的研究工作主要集中在两个方向：1）神经定理证明和自动推理，结合大型语言模型（LLMs）和交互式定理证明器（ITPs）；2）用于能源效率机器学习推理的时间逻辑。
Now, give you 6 integers a, b, c, n, m and k. a, b and c are triangle ABC`s three edges....Each case is just one line with 6 integers – a, b, c, n, m, k (0 #include #include #include using namespace std; long long int a,b,c,...int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,...&n,&m,&k); long long int num=4*a*a*b*b-(a*a+b*b-c*c)*(a*a+b*b-c*c); long long int t=sqrt
文章目录 一、多项式定理 二、多项式定理 证明 三、多项式定理 推论 1 四、多项式定理 推论 2 一、多项式定理 ---- 多项式定理 : 设 n 为正整数 , x_i 为实数 , i=1,2...n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数 C(n + t -1 , n) 证明过程 : 1 ....+ n_2 + \cdots + n_t = n 的非负整数解个数 , 就对应了 n_1, n_2, \cdots , n_t 不同配置的个数 , 对应了 多项式展开后项的个数 , 结果是 C(...k + r - 1, r) 参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导...) 四、多项式定理 推论 2 ---- 多项式定理 推论 3 : \sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n 证明过程 : 多项式定理中 \ \ \ \ (x
但是提出中值定理的几个数学家倒是如雷贯耳，前段时间抽空研究了一下，发现很有意思，完全没有想象中那么枯燥。...费马在数学届大名鼎鼎，他最著名的理论是费马大小定理。定理的内容我不讲了，和这篇文章也没啥关系。但是这背后有一段著名的故事，说是费马在提出费马大定理的时候并没有觉得它有多么出彩，因此没有加以详细的证明。...没想到费马不当回事的定理在日后的数学界非常重要，出人意料的是无数数学家尝试证明费马大定理的正确性，但是都没有成功。虽然这个定理广泛使用，大家也都觉得应该是正确的，但是就是没有人能证明。...这一度也称为数学界的顶级难题，一直到1995年，据说也是靠着计算机提供了算力支撑，才终于得以证明。 关于费马在书页边写的绝妙解法，数学界也争论不休。有些人扼腕叹息，觉得是数学界一大损失。...我们在证明罗尔定理的时候用到了费马引理，那么证明拉格朗日中值定理的时候能不能用上罗尔定理呢？ 如果能用上当然很好，但是直接用是不行的，我们不能保证函数在a和b两点处值相等。
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