在区间[a,b]上，函数的积分可以近似用梯形公式表示： 如图a所示。这样当然会造成很大的误差。...如果在区间内部找两个点，且通过这两个点的直线与区间端点构成的梯形面积最大限度地接近精确值，即图b中A1+A2=A3，这就是高斯积分的思路。 ? 两点高斯积分公式 其中C0,C1为权系数。...假设有四个函数 ，根据上面的公式可以得到 ? 联立解得 于是，两点高斯积分公式为 式(1)很好理解，就是一个矩形面积嘛。对于式(2)，取一般的一次函数 ,如图c ?...还可以用梯形中位线表示 上式的意义是：一次函数的高斯积分需要一个高斯积分点即x=0的位置，确定的权重是2，积分点的函数值是f(0)。...对于式(3)，取一般的二次函数 ，可以验证： 上式的意义是:二次函数的高斯积分需要两个高斯积分点 和 ，权重各为1，就可以计算积分了。
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正态分布是高斯概率分布。高斯概率分布是反映中心极限定理原理的函数，该定理指出当随机样本足够大时，总体样本将趋向于期望值并且远离期望值的值将不太频繁地出现。高斯积分是高斯函数在整条实数线上的定积分。...这三个主题，高斯函数、高斯积分和高斯概率分布是这样交织在一起的，所以我认为最好尝试一次性解决这三个主题（但是我错了，这是本篇文章的不同主题）。...首先，让我们了解高斯函数实际上是什么。高斯函数是将指数函数 exp(x) 与凹二次函数（例如 -(ax^2+bx+c) 或 -(ax^2+bx) 或只是-ax^2组成的函数。...在这两种情况下，公式中都有 π，它是从哪里来的？它通常与圆、径向对称和/或极坐标相关联。单个变量的函数如何以 π 作为其在前导系数中的归一化参数之一呢？...1 : 求解 λ 得到： 将 λ 的 1/√2πσ^2 代入我们的修改后的公式（即我们的概率密度函数），我们得到： 剩下要做的就是将平均值 μ 放入指数的分子中，以便可以根据 μ 的值沿 x
泰勒(Taylor)公式大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。ƒ(x)在x=a处的泰勒展开式为： ? 注意，等号右边是无穷多项。...c介于0和x之间。 对于一个正常数M，有 ? 例如M=1时 ? ? ? ? [算例] 1.求积分 ? 要求误差小于0.001 展开得 ? x=1代入 ? ?...泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。...如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
一元函数高斯积分的积分区域为[-1,1]，二元函数的高斯积分区域为 ，也就是一个边长为2的正方形区域，称为标准区域。 ?...考虑二重积分 利用累次积分和一元函数的高斯积分公式可以得到： 或者 这就是二元函数的高斯积分公式。其中W表示积分点权重，n表示积分点数目。n随着被积函数阶次增加而增加。...实际应用中，积分区域大多是非标准区域。比如 ? 这时就需要将非标准区域映射到标准区域，即 x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) 其中 是是xOy坐标系下四个顶点的坐标。...[算例] 利用高斯公式计算二重积分 其中0<x<2,0<y<1/2x+2 ?...四个顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,3),(0,2) 雅可比矩阵 采用4个积分点的高斯积分 ? 注意这里的 是高斯积分点的坐标, 。接下来用Python编程可得到结果。
在 数值积分| 辛普森公式 提到，辛普森积分最简单的形式是 也就是说至少要三个积分点，两个积分子区间。所以，自适应辛普森积分公式要从S1起步,即 ?...将 式与自适应梯形公式 比较，可得 由此可以得到递推式 若以 表示前后两次计算结果的相对误差，即 若满足要求，则停止计算。...python代码 import math ###自适应辛普森公式求积分 ### y = 1/( 1+x^2 ) def Func(x): return 1/( 1+pow(x,2) )...计算结果是0.7853981628062056，精确值为 算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值...，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。
把积分区间等分成若干段，对被积函数在每一段上使用辛普森公式，根据其在每一段的两端和中点处的取值近似为抛物线，逐段积分后加起来，即得到原定积分的数值解。 ?...如图1所示，二次抛物线y=A+Bx+Cx^2(A,B,C为常数)上有三个点(h,yL), (0,yM),(h,yR),则 ? ? 在区间[-h，h]积分 ?...现已知各点的函数值yj = f (xj ) ,由上述公式可得 ? 以上各式相加得到 ? 这就是辛普森公式。 ?...各区间积分，累加，同样可得到辛普森公式。 [算例1] 用辛普森公式计算函数y=5x^4在区间[0，2]的积分(n=4) 。 ? ?...精确值是32 [算例2] 用辛普森公式计算函数y=1/x在区间[1，2]的积分。比较n=4，n=8，n=16时的误差 。 ? 误差分别为： ?
对平滑图像进行抽样（采样） 有两种采样方式——上采样（分辨率逐级升高）和下采样（分辨率逐级降低） 上采样： 下采样： 二、高斯金字塔 高斯金字塔式在Sift算子中提出来的概念，首先高斯金字塔并不是一个金字塔...高斯金字塔构建过程： 1....先将原图像扩大一倍之后作为高斯金字塔的第1组第1层，将第1组第1层图像经高斯卷积（其实就是高斯平滑或称高斯滤波）之后作为第1组金字塔的第2层，高斯卷积函数为： 对于参数σ，在Sift算子中取的是固定值...在高斯金字塔中一共生成O组L层不同尺度的图像，这两个量合起来（O，L）就构成了高斯金字塔的尺度空间，也就是说以高斯金字塔的组O作为二维坐标系的一个坐标，不同层L作为另一个坐标，则给定的一组坐标（O,L）...就可以唯一确定高斯金字塔中的一幅图像。
高数微积分公式 ---- 常用三角函数 \[\csc{x} = \frac{1}{\sin{x}} \] \[\sec{x} = \frac{1}{\cos{x}} \] \[\cot{x} = \frac...{1}{\tan{x}} \] ---- 微积分公式 \[\int{tanx}dx = -ln|\cos x|dx + c \] \[\int \cot{x}dx = \ln{|\sin{x}|}dx...+c \] ---- 分部积分法 \[\int{u(x)v^{'}(x)}dx = u(x)v(x) - \int{v(x)u^{'}(x)}dx \\等价于 \\ \int{u(x)dv(x)} =...u(x)v(x)-\int{v(x)du(x)} \] ---- 华里士公式 \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin^{n}x}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{...\frac{2}{3}\times1,n为奇数 \end{cases} \] ---- 重要的反常积分 \[\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}}dx = 2\int_{0}
VSLAM：预积分公式推导(一) 一、基本预备知识 1.1 预备知识： 传统的递推算法是根据上一时刻的IMU状态量，利用当前时刻测量得到的加速度与角速度，进行积分得到当前时刻的状态量。...读者对公式推导时一定注意。 1.2 IMU模型 我们将以前文章中的IMU公式拿过来： 表示在body坐标系下(IMU坐标系)，随机游走及噪声不再进行解释。...我们将图像帧记作 及 ，body坐标系下记作 和 ，我们将位置，速度和旋转在时间 到 内进行积分，其世界坐标系下的公式可以写为： 注意这里的四元数虚部在前，实部在后，其中： 旋转矩阵的推导... 基本思想就是将参考坐标系从 转到第 帧的body坐标系下，相当于两边同时乘 ，我们直接用论文中的公式来表示： ? ...实际到这里，只要求解出积分，我们就完成了预积分的计算，我们的目标也就是在此。实际当中随机游走也是发生改变的，所以我们将上述变量再次进行一阶近似，我们再次使用论文中的公式进行表示： ?
VSLAM：IMU预积分公式推导 一、IMU预积分 传统的递推算法是根据上一时刻的IMU状态量，利用当前时刻测量得到的加速度与角速度，进行积分得到当前时刻的状态量。...读者对公式推导时一定注意。 常用性质： 1. 四元数的连续积分： 2. 四元数的左乘与右乘： 我们将四元数表示为： ，则左右乘可以表示为： 3....，其世界坐标系下的公式可以写为： 1.2 当前时刻的位置，速度，旋转变量的离散表达式 我们以中值积分给出离散表示: 1.3 两帧之间的位置，速度，旋转增量的连续表达式 基本思想就是将参考坐标系从...实际当中随机游走也是发生改变的，所以我们将上述变量再次进行一阶近似，我们再次使用论文中的公式进行表示： 至此，IMU的预积分表达式我们就已经得到了。...1.6 离散形式的增量分析 实际只需根据中值积分，将连续形式表达式进行离散化即可，推导过程省略，比较简单 其中： 离散误差传递方程可以简写为： 则Jacobian的迭代公式为
有限元中用高斯积分(Gauss)较多,有些参考书会着重介绍高斯积分，譬如王勖成老师的《有限单元法》中会有专门一节。有限元方法为何偏爱高斯积分？...个人总结有以下两个原因： 一) 积分复杂 采用等参坐标构造的等参单元刚度矩阵几乎得不到显式表达式。高斯积分很方便得到单元刚度矩阵。...这些出现所谓自锁的单元，用少于完全积分所要求的积分点个数时，可以发现其对自锁能起到缓解作用。减缩积分的概念也容易理解，即采用少于精确积分点个数的积分。...比如平面四边形等参数单元求节点位移时采用4个积分点，求单元应力时采用一个积分点。在二维、三维单元中，插值函数会有不同方向多项式的组合，也包括被积函数最终形式可能不是多项式，但仍然采用高斯积分。...减缩积分带来的零能模式或沙漏，数值上可以理解为矩阵的奇异性，这就涉及到减缩积分点的布置，譬如在某一个方向采用完全积分，另外一个方向采用减缩积分，或者所有方向统一采用减缩积分。
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes )公式也叫插值型求积公式。已知 的值。以这n+1个点进行拉格朗日插值，得到n次多项式，再对该n次的多项式求积分。 ?...将积分区间 等分， 则n次拉格朗日插值多项式为： 其中 那么 记 由 可得 这就是牛顿-柯特斯公式。其中， 称为柯特斯系数。...由 式可知，柯特斯系数 与被积函数以及积分区间都无关，只要给出积分区间的等分数n，就可以算出柯特斯系数 。例如，当n=2时 对应的牛顿-柯特斯公式为： 此即为辛普森(Simpson)公式。...为了便于应用，将柯特斯系数列出，可以快速写出牛顿-柯特斯公式。 ? 牛顿-柯特斯公式的缺点：对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），一般取低阶公式计算。...[算例] 用牛顿--柯特斯公式计算积分 时 时 时 精确值为
自己理解：当积分上限为被积函数的自变量时，变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值，就是说积分这一点的增量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小，求导求出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值
因为某些特殊原因，，，我需要准备些公式。。。...常用微分公式 C′=0 {C}' = 0 C′=0 (xa)′=axa−1 {(x^a)}' = ax^{a-1} (xa)′=axa−1 (sinx)′=cosx {(\sin x)}' = \cos...vdu+udv d(uv)=vdu+udv d(uv)=vdu−udvv2 d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu-udv}{v^2} d(vu)=v2vdu−udv ---- 常用不定积分公式...∣x∣+C ∫axdx=axlna+C \int a^xdx=\frac{a^x}{lna}+C ∫axdx=lnaax+C ∫exdx=ex+C \int e^xdx=e^x+C ∫exdx=ex+...C ∫cosxdx=sinx+C \int cosxdx=sinx+C ∫cosxdx=sinx+C ∫sinxdx=−cosx+C \int sinxdx=-cosx+C ∫sinxdx=−cosx+
题目大意是让你用c系语言实现辛普森积分法对定积分的粗略估计，所谓辛普森积分法即为： 定义：辛普森法则（Simpson's rule）是一种数值积分方法，是牛顿-莱布尼茨公式的特殊形式，以二次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式...，以求得定积分的数值近似解。...那很明显可以看出，改进积分结果有两种方法，一是二分区间之后再次二分不断逼近，二是从积分间隔入手，不断缩小积分间隔 给出Matlab-C++代码 //Author：glm #include...),c(cnt); end plot(a,b,'r',a,c,'b') \end{lstlisting} \section{Experiment Theory and Results} Given...c|c|c|} \hline Interval & 0.01 & 0.10 & 0.25\\ \hline Results & \textbf{2.551496047169967}& \textbf
组合数公式的递推公式：c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)。...前者相当于从m-1个元素中选出n-1个元素的组合，即c(m-1,n-1)；后者相当于从m-1个元素中选出n个元素的组合，即c(m-1,n)。...这个性质很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。...规定：C(n,0)=1 C(n,n)=1 C(0,0)=1 2、组合恒等式 若表示在 n 个物品中选取 m 个物品，则如存在下述公式：C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m...参考资料来源：百度百科——组合数公式 发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/159946.html原文链接：https://javaforall.cn
当然这个只是直观的认识，我们还需要用严谨的数学语言来表达。 我们假设f(x)函数在区间[a, b]上连续，并且，我们试着证明。...有一部著名的纪录片叫做《一部微积分的恩怨史》讲的就是这一段故事，感兴趣的同学可以去B站围观一下。 为了避免引战，很多课本上都把它叫做牛顿-莱布尼茨公式，用两个人的名字共同命名。...牛顿-莱布尼茨公式 根据原函数的定义，从上面的结论当中我们可以得到是函数在[a, b]上的一个原函数。我们假设F(x)也是f(x)的一个原函数，所以我们可以知道，这里的C是一个常数。...令x = a，那么可以得到，根据的定义，我们可以知道，所以，并且，代入可以得到： 我们把b代入，可以得到，这个式子就是牛顿莱布尼茨公式。...总结 有了定积分的计算公式之后，很多我们之前无法解决的问题就都可以解决了，由此奠定了整个微积分的基础，不仅推动了数学的发展，也带动了理工科几乎所有的学科。
C++编程求定积分和二重积分，利用分割求和算法，可传递任意可积函数进行积分的数值计算。 涉及到的基础知识有： 函数指针做函数形参 函数重载 ?...{ return sin(x)/x; } //这里可定义任意二元可积函数 double f(double x, double y) { return x*x +y*y; } //定积分...for(int i=0; i<n; i++) { sum += fun(x)*dx; x += dx; } return sum; } //二重积分
两个函数的交点正好是我们所熟悉的高斯积分点，也就是说，在这些点附近，两个函数值最接近，在高斯积分点上，函数值是相等的。 ?...两个函数的交点还是我们所熟悉的高斯积分点！...如图所示所示的悬臂梁，单元内的剪力与经典材料力学计算得到的剪力精确值的 交点正好位于每个单元的高斯积分点附近，也就是说，在高斯积分点计算单元应力，其误差最小！ ? ?
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