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Voronoi多边形和Delaunay三角剖分

这种三角网称为Delaunay三角网。 定义 Delaunay边:假设E中的一条边e(两个端点为a,b),e若满足下列条件,则称之为Delaunay边:存在一个圆经过a,b两点,圆内(注意是圆内,圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点,这一特性又称空圆特性 定义 Delaunay三角剖分:如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边,那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。 要满足Delaunay三角剖分的定义,必须符合两个重要的准则: 1、空圆特性:Delaunay三角网是唯一的(任意四点不能共圆),在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。 如下图所示: 2、最大化最小角特性:在散点集可能形成的三角剖分中,Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲,Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。

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OpenCV系列(18)|三角剖分

static void help() { cout << "\nThis program demonstrates iterative construction of\n" "delaunay \n" "It draws a random set of points in an image and then delaunay triangulates them. /delaunay \n" "\nThis program builds the triangulation interactively, you may stop this process , 1, LINE_AA, 0); line(img, pt[1], pt[2], delaunay_color, 1, LINE_AA, 0); line(img, pt [2], pt[0], delaunay_color, 1, LINE_AA, 0); } #else vector<Vec4f> edgeList; subdiv.getEdgeList

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    重新网格化(Remesh)

    有些约束边并不满足Denaulay性质,所以,它并不能得到整体的Delaunay三角化结果(如下中图是点云的一个Delaunay三角化结果)。 我们可以放开一些Delaunay性质约束,使其尽量的接近Delaunay三角化。下右图是一个带约束的Denaulay三角化的结果。可以比较一下中图和右图的结果差异。 ---- Delaunay网格优化 Delaunay优化,可以优化网格的连接关系,减少狭长三角形,保持网格顶点数目和位置不变。如下图所示,图2和图3是图1点云不同的三角化结果。 图2经过一系列拓扑优化,如Delaunay边翻转操作,得到图3的高质量网格。 Delaunay优化只改变了网格顶点的连接关系,一般是局部的Delaunay边翻转。 有兴趣的读者,欢迎参考视频:Delaunay三角化;Voronoi图

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    推荐算法:HNSW算法简介

    而要说明NSW算法,我们又必须要先引入Delaunay图,因为NSW算法本质上是对Delaunay图检索的有一个优化。 因此,下面,我们就分别来依序介绍一下这三部分的内容。 1. Delaunay图 首先,我们来介绍一下Delaunay图。 Delaunay图,或者说Delaunay三角剖分本质上就是将图上的一系列散点组成不相交的三角形,然后使得所有这些三角形中最小角度的最大化。 对于点集P的Delaunay三角剖分DT(P)具有如下性质: 点集P 当中的任意点均不在Delaunay三角剖分中的任意一个三角形的外接圆当中。 综上,我们就给出了一般点集的Delaunay图的构造方法。由此,对于任意点集,我们总能够对其进行三角剖分,构建Delaunay图。

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    通过CGAL将一个多边形剖分成Delaunay三角网

    更进一步的,可以给Delaunay三角网加入一些线段的约束条件,使得构建的Delaunay三角网能够利用这些线段。 关于网格化以及三角网剖分,在CGAL中提供了非常详尽繁复的解决方案,我这里选择了CGAL::refine_Delaunay_mesh_2这个接口,这个接口能够将多边形区域构建成一个Delaunay三角网 ,如果当前的存在三角形不满足Delaunay,就会在其中补充一些点来满足Delaunay的相关特性。 _2.h> #include <CGAL/Delaunay_mesher_2.h> #include <CGAL/Delaunay_mesh_face_base_2.h> #include <CGAL/ 参考 Delaunay三角剖分学习笔记

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    维诺图(Voronoi Diagram)分析与实现

    生成V图的方法很多,常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。 1.建立Voronoi图方法和步骤 本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。 image.png 建立Voronoi图算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网,即构建Delaunay三角网。 Delaunay三角网的生成 建立Voronoi图的关键是Delaunay三角网的生成。Delaunay三角网的特性: (1)空圆性,任一三角形外接圆内部不包含其他点。 将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。 (4)循环执行上述第2步,直到所有散点插入完毕。 从Delaunay三角网生成Voronoi图的时间复杂度: 步骤一:构造构建Delaunay三角网,O(n2)O(n^2); 步骤二:计算三角形外接圆圆心,O(n); 步骤三:寻找三角形三边相邻三角形

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    从零开始一起学习SLAM | 点云到网格的进化

    小白:师兄,这个Delaunay是啥? 而Delaunay 三角剖分是一种常用的三角剖分的方法,这个方法比较常见,关于点集的很多种几何图都和Delaunay三角剖分相关,如Voronoi图,当然这些很复杂了。 我们这里只是简单介绍一下Delaunay 三角剖分,不然估计你要头大了。 小白:师兄,你一连说了几个我从来没听过的术语,我已经头大了。。 师兄:哈哈,那打住,只简单提一下Delaunay 三角剖分。 你看下面这个图,左侧就是不满足Delaunay 三角剖分,右侧是Delaunay 三角剖分的结果。 ? 按照这个标准下图左、中都不满足Delaunay条件,只有右图满足。 ? 小白:这样是简单多了,起码不用画外接圆了 师兄:嗯,Delaunay 三角剖分就说这么多(再多估计不知道了)。我们继续前面。

    2.6K52

    点云处理算法整理(超详细教程)

    Delaunay三角剖分的定义: 定义1:假设V是二维实数域上的有限点集,边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。 定义2:Delaunay边:假设E中的一条边e(两个端点为a,b),e若满足下列条件,则称之为Delaunay边。存在一个圆经过a,b两点,圆内不含点集V中任何的点,这一特性又称空圆特性。 定义3:如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边,那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分 Voronoi图和Delaunay三角剖分的对偶关系:Voronoi图的一个顶点同时属于三个Voronoi 连接三个共点的Voronoi多边形分别对应的三个节点(种子点)则形成一个Delaunay三角形,所有这样的三角形的集合就是著名的Delaunay三角剖分如右图所示。 ? Delaunay三角剖分定义 目录 五.

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    【失败也分享】C++ OpenCV人脸Delaunay三角形提取及仿射变换的使用

    一组点可以有许多可能的三角剖分,但Delaunay三角剖分出众,因为它有一些不错的属性。在Delaunay三角剖分中,选择三角形使得没有点在任何三角形的外接圆内。 图2示出了4点A,B,C和D的Delaunay三角剖分。在顶部图像中,为了使三角剖分是有效的Delaunay三角剖分,点C应该在三角形ABD的外接圆外,并且点A应该在三角形BCD的外接圆。 在顶部图像中,角度ABC和ABD大,并且Delaunay三角剖分在B和D之间创建边缘,将两个大角度分割成更小的角度ABD,ADB,CDB和CBD。 另一方面,在底部图像中,角度BCD太大,并且Delaunay三角剖分产生边缘AC以划分大角度。 有很多算法来找到一组点的Delaunay三角剖分。 OpenCV中实现Delaunay三角剖分可以使用Subdiv2D,先定义一个分析的Rect空间,然后将要剖分的点都insert进去,使用getTriangleList获取Delaunay三角形的列表。

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    非结构化环境中的定位:基于Delaunay三角剖分的森林自主机器人(CS RO)

    该文提出了一种新的方法,即以Delaunay三角化为表示格式,将局部观测值与一般的树图进行匹配。与基于点云的匹配方法不同,我们使用了基于拓扑的方法。首先,树干的位置是由森林采伐机在之前的运行中登记的。 其次,生成的地图是Delaunay三角化的。第三,利用三角形相似度最大化对机器人的局部子映射进行注册、三角化和匹配,以估计机器人的位置。我们在芬兰利克萨的一个林业基地收集的数据集上测试我们的方法。 原文题目:Localization in Unstructured Environments: Towards Autonomous Robots in Forests with Delaunay Triangulation paper proposes a novel approach where local observations are matched to a general tree map using the Delaunay Second, the resulting map is Delaunay triangularized.

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    OpenCV+OpenGL 双目立体视觉三维重建

    OpenCV使用Delaunay算法将平面分割成小的三角形区域(该三角形确保包括所有的分割点)开始不断迭代完成。在这种情况下,对偶划分就是输入的二维点集的Voronoi图表。 连接R的任意一条对角线,形成两个三角形,作为初始Delaunay三角网格。 2)逐点插入:假设目前已经有一个Delaunay三角网格T,现在在它里面再插入一个点P,需要找到该点P所在的三角形。 找到外接圆包含点P的所有的三角形并删除这些三角形,形成一个包含P的多边形空腔,我们称之为Delaunay空腔。然后连接P与Delaunay腔的每一个顶点,形成新的Delaunay三角网格。 我们需要存储Delaunay的内存空间和一个外接矩形(该矩形盒子用来确定虚拟三角形) // STORAGE AND STRUCTURE FOR DELAUNAY SUBDIVISION //存储和结构 //INITIALIZATION CONVENIENCE FUNCTION FOR DELAUNAY SUBDIVISION //为三角剖分初始化便利函数 // CvSubdiv2D* init_delaunay

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    光怪陆离的世界之Delaunay三角剖分和Voronoi图

    这就涉及到了 Delaunay 三角剖分,由俄国数学家 B.Delaunay于 1934 年提出. 【定义】Delaunay边:假设 E中的一条边e(两个端点为a,b),如果存在一个圆经过a,b两点,使得圆的严格内部不含V中任何其他的点,那么称 e 是一条 Delaunay边. 【定义】Delaunay三角剖分:如果 T 只包含Delaunay边,那么T被称为Delaunay三角剖分. 来张图直观体会一下三角剖分 ? 上图左边的离散点集 V 的 三角剖分 就是右边. 所以Delaunay三角剖分其实并不是一种算法,它只是给出了一个好的三角剖分的定义 为了方便,除非特别声明,否则下文提及的三角剖分指的就是 Delaunay三角剖分 三角剖分和其他问题的联系. 输入 10,点击确定之后, 就生成了随机生成的 10个点的 delaunay 三角剖分 ? 然后点击 转Voronni图按钮 ? 再点击 转Delaunay图 按钮之后又会回到上一张图.

    1.8K51

    多模态路沿检测与滤波方法

    最后,将Delaunay滤波应用于离群点的去除,并将其性能与传统的基于RANSAC的滤波进行了比较。 使用基于Delaunay的过滤方法去除异常值,与基于RANSAC的多项式拟合回归约束相比,该方法需要更少的参数调整。 图4:使用DBSCAN随机颜色的迭代特征点聚类表示检测到的不同聚类结果 2) Delaunay滤波: Delaunay四面体的Voronoi子图是通过从计算的中心过滤大半径的外接球体来计算的,这将删除点体积外的四面体并删除异常值 我们观察到,对于手动和自动分段关联,Delaunay过滤比基于RANSAC的通用过滤更接近GT点,因为Delaunay过滤的L2范数和CD低于RANSAC。 总结 本文提出了一种基于三维Delaunay四面体的多模态路沿检测和建图算法,我们演示了使用我们的聚类方法检测任意数量的路沿,评估表明Delaunay滤波在抑制异常值去除方面优于传统的基于RANSAC的滤波方法

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    手把手:用OpenCV亲手给小扎、Musk等科技大佬们做一张“平均脸”(附Python代码)

    平均基准点的Delaunay三角剖分 首先,我们需要计算这68个基准点的坐标平均值,我们利用这68个点(图6蓝色点)以及输出图像边界上的8个点(上图绿色点)来计算Delaunay三角剖分(上图红色边框) 更多Delaunay三角剖分细节请看这里(https://www.learnopencv.com/delaunay-triangulation-and-voronoi-diagram-using-opencv-c-python Delaunay三角剖分将图像分解成若干三角形。Delaunay三角剖分的结果是一个三角形列表,用76个点(68个人脸基准点+8个边界点)的序号表示。 基于Delaunay三角剖分的图像扭曲 至此,我们计算出了人脸基准点的平均位置,并用这些位置计算出Delaunay三角剖分,将图像分成若干三角形。 如上图所示,左图是变换后输入图像的Delaunay三角剖分,中图是平均关键点的三角剖分。注意,左图的三角形1对应中图的三角形1。用左图三角形1的三个顶点及其对应的中图三个顶点计算变换矩阵。

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    格网DEM生成不规则三角网TIN

    一般来说最好构建成Delaunay三角网(因为Delaunay三角网具有很多最优特性)。Delaunay三角网的构建算法也挺复杂,不过可以通过计算几何算法库CGAL来构建。 其中一个示例就是通过点集生成了Delaunay三角网,并且生成了.ply文件。.ply文件正好是一种三维数据格式,能够被很多三维软件打开。 ? Exact_predicates_inexact_constructions_kernel.h> #include <CGAL/Projection_traits_xy_3.h> #include <CGAL/Delaunay_triangulation _2.h> #include <CGAL/Triangulation_face_base_with_info_2.h> #include <CGAL/boost/graph/graph_traits_Delaunay_triangulation ::Point_3; using Segment_3 = Kernel::Segment_3; // Triangulated Irregular Network using TIN = CGAL::Delaunay_triangulation

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    图像叠加

    注意:imtools.py文件中print imname + “…skipped”修改为print (imname + “…skipped”),warp.py文件中import matplotlib.delaunay as md修改为from scipy.spatial import Delaunay,triangulate_points(x,y)函数里替换成tri = Delaunay(np.c_[x,y]).simplices

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    《传热学流体力学》中几个简单演示程序-Voronoi

    关于Voronoi图或者Delaunay图,之前提过一次,原文在这里。看动画体验下Delaunay三角化: ? 可以到小程序中体验该交互程序:Delaunay三角化。 事实上Delaunay三角化是网格剖分的一类非常常见的方法,一种二维有限元三角网格剖分思路如下图: ? 有了网格才能基于该网格离散各类PDE。 终于引到本文主题:现将几个《传热学》相关的小程序总结如下,可在微信中点击体验: 有限元三角单元网格自动剖分 Delaunay三角化初体验 (理论戳这) Contour等值线绘制 (理论戳这) 2D非稳态温度场有限元分析

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    万圣节教你用 OpenCV Remix 一张 n 合1脸

    Delaunay 三角剖分 在获得了68个面部基准点之后,我们结合人脸所在的矩形的四个顶点和每条边的中心点,将人脸所在的矩形分割成如下图所示的三角形的组合。 ? 3. 基于Delaunay剖分三角形的仿射变换 得到这些Delaunay剖分三角形后,再分别对齐各个区域,对其中像素值进行平均。 [Code-2] 根据特征点获得Delaunay剖分三角 ? [Code-3] 计算仿射变换 ? [Code-4] 通过仿射变换扭曲Delaunay剖分三角形 ? 参考资料 【1】 AverageFace 代码、模型及样例图片 【2】 FaceGenderClassification 配置文件及命令 【3】 原始的性别分类模型 【4】Delaunay三角剖分原理

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    演示随机点的高分辨率三轮廓同时提高绘图质量。

    ., size=n_test) z_test = experiment_res(x_test, y_test) # meshing with Delaunay triangulation tri = (name='Blues', lut=None) fig, ax = plt.subplots() ax.set_aspect('equal') ax.set_title("Filtering a Delaunay mesh: if plot_tri: ax.triplot(tri, color='0.7') # 4) plot of the unvalidated triangles from naive Delaunay

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    自己动手制作“平均脸”【1】

    Delaunay 三角剖分 在获得了68个面部基准点之后,我们结合人脸所在的矩形的四个顶点和每条边的中心点,将人脸所在的矩形分割成如下图所示的三角形的组合。 ? 这一方法又称为Delaunay三角剖分。 更多细节请看:https://www.learnopencv.com/delaunay-triangulation-and-voronoi-diagram-using-opencv-c-python/ 叠加经过仿射变换的Delaunay剖分三角形 Delaunay三角剖分将图像分解成若干三角形后,再分别对齐各个三角形区域,对其中像素值进行平均。 Step-3:扭曲Delaunay剖分三角形 对于图像I中的一个三角形,使用step-2中计算出的放射变换,将其中每一个像素通过仿射变换对应到M中对应的位置去。

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