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病态方程组

对于方程组(1) ? 其精确解是x=1.0,y=0.0 。如图所示,点(1.0,0.0)是方程组所表示的两条直线的交点。 ? 对于方程组(2) ? 其精确解是x=-1.5,y=0.5 。...如图所示,点(-1.5,0.5)是方程组所表示的两条直线的交点。 ? 现假设方程组(1)的系数a11产生了1%的相对误差,即3.00变成了3.03 。...那么方程组的解变成了x=1.789,y=0.193,和原方程组相比,发生了很大的变化,由此可见,方程组(2)对系数误差非常敏感。...实际上,方程组(2)所表示的两条直线几乎是相互平行的,所以方程组系数的微小变化都会使他们的交点产生较大变化。...像方程组(2)这样的因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组,称为病态方程组,称相应的系数矩阵A为病态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性。

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Python 解线性方程组

线性方程组是各个方程的未知元的次数都是一次的方程组。解这样的方程组有两种方法:克拉默法则和矩阵消元法。 矩阵消元法 矩阵消元法。...将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ,则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。...当方程组有解时,将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量,其余的未知量取为自由未知量,即可找出线性方程组的解。 这种方法适合手工解方程,通过编写程序来解方程这种方法基本行不通。...用克莱姆法则求解方程组有两个前提,一是方程的个数要等于未知量的个数,二是系数矩阵的行列式要不等于零。...用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组,它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系,但由于求解时要计算 n+1 个 n 阶行列式,其工作量常常很大,所以克莱姆法则常用于理论证明,

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matlab解常微分方程组数值解法(二元常微分方程组的解法)

上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解的方法:博客地址 微分方程组复杂时,无法求出解析解时,就需要求其数值解,这里来介绍。...官方文档提供的方程来展开(提议多看官方文档) 介绍一下核心函数ode45() 一般形式:[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0) 其中 tspan = [t0 tf] 功能介绍:微分方程组...求解微分方程组(和2类似) 这里就和求解二阶方程类似的,只不过不需要降阶,仍旧需要一个函数来定义方程组。我们这里不用官方文档的例子,用同学的循坏摆问题来进行演示。...end_Theta是θ的结束值 %R是半径初值;v是线速度初值;w是角速度初值 start_Theta=0;end_Theta=2*pi;R=1;v=0;w=1e-5; %% 使用ode45方法计算微分方程组...func的数值解 %func是带有方程组的函数 %[start_Theta end_Theta]是自变量范围 %[R;v;w]是方程初值 %T是自变量的数组,Rvw是对应的因变量的数值。

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共轭梯度法解线性方程组

共轭梯度法是方程组求解的一种迭代方法。这种方法特别适合有限元求解,因为该方法要求系数矩阵为对称正定矩阵,而有限元平衡方程的系数矩阵正好是对称正定矩阵(考虑边界条件)。同时,共轭梯度法也适合并行计算。...●算法原理 对于方程组Ax = b,假定A(nxn)是对称正定矩阵,采用共轭梯度法算法步骤如下: 取初始值x0 ? 这里k=0,1,2,...。...共轭梯度法的思想就是找到n个两两共轭的共轭方向,每次沿着一个方向优化得到该方向上的极小值,后面再沿其它方向极小值的时候,不会影响前面已经得到的沿哪些方向上的极小值,所以理论上对n个方向都求出极小值就得到了

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