岭回归与多项式回归的最大区别就是损失函数上的区别。岭回归的代价函数如下： ? 为了方便计算导数，通常也会写成以下形式： ? 岭回归的代价函数仍然是凸函数，因此可以利用梯度等于0的方式求得全局最优解： ? 上述方程与一般线性回归方程相比多了一项λI，其中I表示单位矩阵，加入XTX是一个奇异矩阵（不满秩），添加这一项之后可以保证该项可逆，由于单位矩阵上的对角元素均为1，其余元素都为0，看起来像是一条山岭，因此而得名 weights X = np.insert(X, 0, 1, axis=1) y_pred = X.dot(self.w) return y_pred 岭回归的核心就是 return self.alpha * 0.5 * w.T.dot(w) def grad(self, w): return self.alpha * w 然后是岭回归的核心代码
如果X存在线性相关的话，XTX没有逆： 1.出现多重共线性2.当n<p,变量比样本多时，出现奇异 岭回归（Ridge Regression）---------共线性问题 先对数据做标准化 B(K)=(XTX +kI)XTY为B的岭回归估计，其中K为岭参数，I为单位矩阵，KI为扰动。 用R语言进行岭回归： lm.ridge(y~. 擅长处理具有多重共线性的数据，与岭回归一样是有偏估计。 把p个预测变量投影到m维空间（m 3、岭回归、lasso回归和elastic net三种正则化方法[] （1）岭回归[] 最小二乘估计是最小化残差平方和（RSS）： 岭回归在最小化RSS的计算里加入了一个收缩惩罚项
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一、标准线性回归 在线性回归中我们要求的参数为： ? 详细的推导可以参见：http://blog.csdn.net/weiyongle1996/article/details/73727505 所以代码实现主要就是实现上式，python代码如下： import 更改k的值会获得不同的曲线，k越小，对真实数据拟合的越好（但可能过拟合），k越大，越趋向于标准的线性回归。 三、岭回归 岭回归就是在矩阵xTx上增加一项使得矩阵非奇异，从而能够对其求逆。 从上面两端代码我们可以看到，在之前对xTx求逆时都需要先判断xTx是否可以求逆，而岭回归就是解决这个问题的。岭回归的回归系数计算公式为： ? 以上代码python环境均为python3.6 代码参考： 《机器学习实战》 数据取自《机器学习实战》附带数据
本文记录岭回归角度进行线性回归的方法。 y}=f({\bf{x}}) 其中y是模型的输出值，是标量，\bf{x}为d维实数空间的向量 线性模型可以表示为: f(\bf{x})=\bf{w} ^Tx,w\in \mathbb{R} 线性回归的任务是利用 } \cdots \quad y _ { n } ] ^ { T } \quad y \in \mathbb{R} 来预测线性模型中的参数 \bf{\omega}，使得模型尽可能准确输出预测值 线性回归 / 岭回归 岭回归就是带有L_2正则的线性回归> 之前最小二乘法的损失函数： L(w)= w^{T} X{T{\prime}} X w-2 w^{T} X^{T} Y+Y^{T} Y 岭回归的代价函数
回归分析中最常用的最小二乘法是一种无偏估计， 回归系数矩阵为 ? 当X不是列满秩矩阵时，即特征数n比样本数m还多，则X.T*X的行列式为0，逆不存在。 为了解决这个问题，统计学家引入岭回归的概念。简单来说，岭回归就是在矩阵X.T*X上加上一个λI从而使矩阵非奇异，进而能对 X.T*X + λI 求逆。 其中，λ是一个用户给定的参数，I是一个nxn的单位矩阵（像是在0构成的平面上有条1组成的“岭”）。 在这种情况下，回归系数的计算公式为： ? 对于本数据集，回归系数矩阵中各项回归系数随λ的变化规律如下： ? ridgeWeights[:,i], label = "W(%s)"%i) plt.legend(loc="upper right") #$\lambda\ $ 注意这里的空格符 plt.title(r"岭回归
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之前我们讨论了许多关于优化的算法，随着模型的优化算法在不断的改进使得模型的学习能力越来越强，那么如果模型的学习能力过强，就会导致模型的过拟合问题，因此今天我们来介绍一下机器学习中防止模型过拟合的方法—岭回归 那么岭回归是如何解决过拟合的问题呢？ 答：岭回归用于控制模型系数的大小来防止过度拟合。岭回归通过在成本函数中加入模型参数的正则项以平衡数据的拟合和系数的大小。 即岭回归成本= RSS（W）+λ* || W ||²=（Y - WH）*（Y - WH）+ WW，在矩阵表示法中写为：岭回归成本=（Y - HW）ᵗ（Y - HW）+WᵗW。 在求解岭回归的成本函数时，通常使用梯度下降的思想，将上式方程求微分得： Δ[RSS(W) + λ||W||]² = Δ{(Y - HW)ᵗ(Y - HW)} + λ Δ{WᵗW} = -2Hᵗ(Y - 下面提供一个使用梯度下降进行岭回归求解的例子。例子来源文末博客。
目录结构 ---- 线性回归的一般形式 线性回归中可能遇到的问题 过拟合问题及其解决方法 线性回归代码实现 岭回归与Lasso回归 岭回归以及Lasso回归代码实现 线性回归的一般形式 ---- 线性回归中可能遇到的问题 ，岭回归以及Lasso回归就是这么做的。 岭回归与Lasso回归最大的区别在于岭回归引入的是L2范数惩罚项，Lasso回归引入的是L1范数惩罚项，Lasso回归能够使得损失函数中的许多θ均变成0，这点要优于岭回归，因为岭回归是要所有的θ均存在的 ，这样计算量Lasso回归将远远小于岭回归。 岭回归以及Lasso回归代码实现 ---- 岭回归代码示例 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from sklearn import
一旦有了这些回归系数，再给定输入，做预测就非常容易了。具体的做法是用回归系数乘以输入值，再将结果全部加在一起，就得到了预测值。 2.3、局部加权线性回归 注意事项 局部加权线性回归也存在一个问题，即增加了计算量，因为它对每个点做预测时都必须使用整个数据集。 或许是，但如果想得到更好的效果，可以尝试用 10 个不同的样本集做 10 次测试来比较结果。 4.1.1、岭回归 原始代码 完整代码地址: https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/8.Regression/regression.py 4.4、小结 当应用缩减方法（如逐步线性回归或岭回归）时，模型也就增加了偏差（bias），与此同时却减小了模型的方差。 5、权衡偏差和方差 任何时候，一旦发现模型和测量值之间存在差异，就说出现了误差。
，分别对应岭回归和Lasso回归，最后考虑到线性回归的局限性，介绍了一种局部加权线性回归，增加其非线性表示能力 线性回归 A、线性回归 假设有数据有： ? 岭回归和Lasso回归 岭回归的目标函数在一般的线性回归的基础上加入了正则项，在保证最佳拟合误差的同时，使得参数尽可能的“简单”，使得模型的泛化能力强（即不过分相信从训练数据中学到的知识）。 Lasso回归采用一范数来约束，使参数非零个数最少。而Lasso和岭回归的区别很好理解，在优化过程中，最优解为函数等值线与约束空间的交集，正则项可以看作是约束空间。 考虑到过拟合和欠拟合问题，有岭回归和lasso回归来防止过拟合，局部加权线性回归通过加权实现非线性表示。 Lasso回归 /** 下面的岭回归函数只是在一般的线性回归函数的基础上在对角线上引入了岭的概念，不仅有解决矩阵不可逆的线性，同样也有正则项的目的， 采用常用的二范数就得到了直接引入lam的形式。
回归分析属于有监督学习问题，本博客将重点回顾标准线性回归知识点，并就线性回归中可能出现的问题进行简单探讨，引出线性回归的两个变种岭回归以及Lasso回归，最后通过sklearn库模拟整个回归过程。 ，岭回归以及Lasso回归就是这么做的。 岭回归与Lasso回归最大的区别在于岭回归引入的是L2范数惩罚项，Lasso回归引入的是L1范数惩罚项，Lasso回归能够使得损失函数中的许多θ均变成0，这点要优于岭回归，因为岭回归是要所有的θ均存在的 ，这样计算量Lasso回归将远远小于岭回归。 0x06 岭回归以及Lasso回归代码实现 6.1 岭回归代码示例 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from sklearn import
.所有系数的平方和，即L2范数，对应的回归方法叫做Ridge回归，岭回归 岭回归对应的代价函数如下 ? 对于岭回归而言，可以直接对损失函数进行求导，在导数为0处即为最小值，直接利用矩阵运算就可以求解回归系数 ? 对于套索回归而言，损失函数在w=0出不可导，所以没法直接求解，只能采用近似法求解。 在scikit-learn中，有对应的API可以执行岭回归和套索回归 1. 岭回归 >>> data = np.array([[0, 0], [0, 0], [1, 1]]) >>> data array([[0, 0], [0, 0], [1, 1 (-1,1) >>> target array([[0. ], [0.1], [1. ]]) >>> from sklearn import linear_model # 岭回归
上图中左边为Lasso回归，右边为岭回归。 岭回归虽然不能进行特征筛选，但是对 ? 的模做约束，使得它的数值会比较小，很大程度上减轻了overfitting的问题。 这里的 ? ， ? 以两个变量为例，解释岭回归的几何意义: 1、没有约束项时。模型参数 ? ， ? 已经经过标准化。残差平方和RSS可以表示为 ? ， ? 的一个二次函数，数学上可以用一个抛物面表示。 ? 2、岭回归时。 可见岭回归解与原先的最小二乘解是有一定距离的。 使用Scikit-Learn进行岭回归、Lasso回归和ElasticNet回归 岭回归 岭（Ridge）回归再普通最小二乘法的损失函数中增加了额外的缩减惩罚项，以限制L2范数的平方项。 ?
L1正则化项的回归模型叫做LASSO回归，而把带有L2正则化项的回归叫做岭回归。 ▍L2正则化：岭回归 岭回归的提出 我们在之前通过最小二乘法推导出多元线性回归的求解公式： ? 这个公式有一个问题：X不能为奇异矩阵，否则无法求解矩阵的逆。 上式是对 β 的平方和做数值上界限定，即所有β 的平方和不超过参数 t。这时候，我们相当于拆分了原来的结构化分险函数，目标就转换为：最小化原来的训练样本误差，但是要遵循 β 平方和小于 t 的条件。 可以发现：最开始的时候岭回归下降的非常快，但是随着值越来越小，岭回归下降速度也越来越慢，当快接近0的时候，速度会非常慢，即很难减小到0。 相反，LASSO回归是以恒定的速度下降的，相比于岭回归更稳定，下降值越接近近0时，下降速度越快，最后可以减小到0。 下面是一组岭回归和LASSO回归的特征系数随着模型不断迭代而变化的动态展示。 ?
Lasso回归与ridge回归有很多相似之处，但是二者之间有一些显著的区别。如果你不太清楚岭回归，请参考前一章节推文：通俗易懂的岭回归。 1 lasso回归 与 ridge 回归的相同点 1.1 lasso回归 与 ridge 回归主要思想相同 在岭回归中，我们通过残差平方和与惩罚项总和最小，以确定岭回归模型。 1.2 lasso回归与岭回归的运用场景一致 Lasso回归与岭回归的使用场景一致，如在连续变量的线性模型、分类变量的线性模型、logistic回归，以及复杂的模型，详见岭回归。 在岭回归中，随着λ逐渐增大，岭回归中的直线斜率逐渐趋近于0，但是不等于0。岭回归不能减少模型中的参数，只能缩小模型中某些参数的数值（如降低无关变量参数的系数值）。 ? 这是两种正则化回归最主要的区别。 2.1 lasso回归与岭回归的比较 分别将lasso回归和岭回归运用于复杂的线性模型中，如下所示。 ? 岭回归中的惩罚项如下： ?
过拟合、欠拟合如何解决 5.1 什么是L2正则化(岭回归) 5.2 什么场景下用L2正则化 5.3 什么是L1正则化(Lasso回归) 5.4 什么场景下使用L1正则化 5.5 什么是ElasticNet 回归 5.6 ElasticNet回归的使用场景 6. 5.1 什么是L2正则化(岭回归) ? L表示为图中的黑色圆形，随着梯度下降法的不断逼近，与圆第一次产生交点，而这个交点很难出现在坐标轴上。 5.2 什么场景下用L2正则化 只要数据线性相关，用LinearRegression拟合的不是很好，需要正则化，可以考虑使用岭回归(L2), 如何输入特征的维度很高,而且是稀疏线性关系的话， 岭回归就不太合适 5.6 ElasticNet回归的使用场景 ElasticNet在我们发现用Lasso回归太过(太多特征被稀疏为0),而岭回归也正则化的不够(回归系数衰减太慢)的时候，可以考虑使用ElasticNet回归来综合
系列文章目录： 感知机 线性回归 非线性问题 多项式回归 岭回归 算法介绍 今天我们来一起学习一个除了线性回归、多项式回归外最最最简单的回归算法：岭回归，如果用等式来介绍岭回归，那么就是： 岭回归 = 多项式回归 + 惩罚项 ， 多项式回归 = 线性回归 + 多项式特征构建 ，从上述等式可以看到，所谓学习岭回归，只需要学习多项式和惩罚项即可，由于之前我们已经学习过多项式回归了，因此现在的重点是惩罚项或者叫正则项 ； 从多项式回归到岭回归 岭回归是在多项式回归的基础上增加了惩罚项，准确的说法是：在多项式回归的优化函数上增加了约束条件用于限制算法的假设空间，以应对模型的过拟合问题，下面我们分别看看如何增加约束条件、 可以看到，当岭回归的拉格朗日乘子λ为0时，岭回归退化为多项式回归： if self.lambdaVal == 0: return super(RidgeRegression,self).train ，由于岭回归有惩罚项的存在，因此它可以更加肆无忌惮的使用更高阶的多项式而不需要太担心过拟合的问题，因此理论上多项式回归能做到的，岭回归可以做的更好，当然了由于参数λ的存在，岭回归需要调的参数也更多了；
本文介绍线性回归模型，从梯度下降和最小二乘的角度来求解线性回归问题，以概率的方式解释了线性回归为什么采用平方损失，然后介绍了线性回归中常用的两种范数来解决过拟合和矩阵不可逆的情况，分别对应岭回归和Lasso 岭回归和Lasso回归 岭回归的目标函数在一般的线性回归的基础上加入了正则项，在保证最佳拟合误差的同时，使得参数尽可能的“简单”，使得模型的泛化能力强（即不过分相信从训练数据中学到的知识）。 考虑到过拟合和欠拟合问题，有岭回归和lasso回归来防止过拟合，局部加权线性回归通过加权实现非线性表示。 Lasso回归 /** 下面的岭回归函数只是在一般的线性回归函数的基础上在对角线上引入了岭的概念，不仅有解决矩阵不可逆的线性，同样也有正则项的目的， 采用常用的二范数就得到了直接引入lam的形式。 方向有很多：机器学习、深度学习，python，情感分析、意见挖掘、句法分析、机器翻译、人机对话、知识图谱、语音识别等。 ?
本文介绍线性回归模型，从梯度下降和最小二乘的角度来求解线性回归问题，以概率的方式解释了线性回归为什么采用平方损失，然后介绍了线性回归中常用的两种范数来解决过拟合和矩阵不可逆的情况，分别对应岭回归和Lasso 岭回归和Lasso回归 岭回归的目标函数在一般的线性回归的基础上加入了正则项，在保证最佳拟合误差的同时，使得参数尽可能的“简单”，使得模型的泛化能力强（即不过分相信从训练数据中学到的知识）。 Lasso回归采用一范数来约束，使参数非零个数最少。而Lasso和岭回归的区别很好理解，在优化过程中，最优解为函数等值线与约束空间的交集，正则项可以看作是约束空间。 考虑到过拟合和欠拟合问题，有岭回归和lasso回归来防止过拟合，局部加权线性回归通过加权实现非线性表示。 Lasso回归 /** 下面的岭回归函数只是在一般的线性回归函数的基础上在对角线上引入了岭的概念，不仅有解决矩阵不可逆的线性，同样也有正则项的目的， 采用常用的二范数就得到了直接引入lam的形式。
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