Tag : 「动态规划」、「线性 DP」、「记忆化搜索」、「打表」、「矩阵快速幂」 写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。...fib(int n) { return cache[n]; } } 时间复杂度：将打表逻辑放到本地执行，复杂度为 ；否则为 ， 为常量，固定为 空间复杂度： 矩阵快速幂...对于数列递推问题，可以使用矩阵快速幂进行加速，最完整的介绍在 这里 讲过。...对于本题，某个 依赖于 和 ，将其依赖的状态存成列向量： 目标值 所在矩阵为： 根据矩阵乘法，不难发现： 我们令： 起始时，我们只有 ，根据递推式得： 再根据矩阵乘法具有...「结合律」，最终可得： 计算 可以套用「快速幂」进行求解。
求fib[n]%phi[p]能够构造矩阵。利用矩阵高速幂求fib[n]%phi[p]。...num /= i; } } if(num > 1) res -= res/num; return res; } //矩阵相乘
这还是一道「矩阵快速幂」的板子题。...首先你要对「快速幂」和「矩阵乘法」概念有所了解。 矩阵快速幂用于求解一般性问题：给定大小为 的矩阵 ，求答案矩阵 ，并对答案矩阵中的每位元素对 取模。...对于此类的「数列递推」问题，我们可以使用「矩阵快速幂」来进行加速（比如要递归一个长度为 的数列，线性复杂度会被卡）。 使用矩阵快速幂，我们只需要 的复杂度。...我们可以将其存成一个列向量： 当我们整理出依赖的列向量之后，不难发现，我们想求的 所在的列向量是这样的： 利用题目给定的依赖关系，对目标矩阵元素进行展开： 那么根据矩阵乘法，即有： 我们令...然后发现，利用 我们也能实现数列递推（公式太难敲了，随便列两项吧）： 再根据矩阵运算的结合律，最终有： 从而将问题转化为求解 ，这时候可以套用「矩阵快速幂」解决方案。
A的逆等于U的逆乘于L的逆，L的逆就利用下三角矩阵求逆算法进行求解，U的逆可以这样求：先将U转置成下三角矩阵，再像对L求逆一样对U的转置求逆，再将得到的结果转置过来，得到的就是U的逆。...因此，关键是下三角矩阵的求逆。...，说明下三角矩阵求逆成功。...接下来，利用上面的函数来进行矩阵的求逆。...(A) #LU分解 L_inv = triInverse(L) #L求逆 U_inv = triInverse(U.T).T #U求逆 return np.dot(U_inv,L_inv) 下面，我们生成一个随机矩阵来测试
补充：python+numpy中矩阵的逆和伪逆的区别 定义： 对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，其中E为与A,B同维数的单位阵，就称A为可逆矩阵(或者称A可逆)，并称B是A的逆矩阵...(此时的逆称为凯利逆) 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0。 伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。...代码如下： 1.矩阵求逆 import numpy as np a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 初始化一个非奇异矩阵(数组) print(np.linalg.inv(a...)) # 对应于MATLAB中 inv() 函数 # 矩阵对象可以通过 .I 求逆,但必须先使用matirx转化 A = np.matrix(a) print(A.I) 2.矩阵求伪逆 import numpy...A 为奇异矩阵，不可逆 print(np.linalg.pinv(A)) # 求矩阵 A 的伪逆(广义逆矩阵)，对应于MATLAB中 pinv() 函数 这就是矩阵的逆和伪逆的区别 截至2020/10
看标题：快速幂和矩阵快速幂，好像挺高大上。其实并不是很难，快速幂就是快速求一个数的幂（一个数的 n 次方）。...看代码不难理解利用矩阵快速幂求方阵的幂的时间复杂度为O(m^3*logn)，m为方阵的行数和列数（方阵相乘的复杂度为 O(m^3)，快速幂的复杂度为 O(logn) ）。...应用 那么看了这么多，快速幂有啥子用呢？ 首先对于求一个数的 n 次方，可以用 O(logn) 的时间复杂度来求出结果，这肯定是一个用途，那么矩阵快速幂呢？...，那么我们就可以用矩阵快速幂来求解这道题了： /** * Describe：利用矩阵快速幂求斐波那契数列的第 n 项值 * Author：指点 * Date：2018/1/24 */ #include...，如果你理解了矩阵快速幂的思想的话，我想这代码也很好理解，这里我们可以看到，用这种方法求斐波那契数列的时间复杂度约为 O(2^3*logn)，也就是求矩阵的幂的时间复杂度。
文章目录 快速幂 矩阵快速幂 例题 HDU-2817 HDU-3117 快速幂 ---- image.png int fastpow(int a, int n) { int res = 1;...res = (res * a) % mod; a = (a * a) % mod; n >>= 1; //n右移一位 } return res; } 矩阵快速幂...---- image.png struct matrix { int a[maxn][maxn]; //矩阵a matrix() { //构造时初始化 memset...= (res.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) % mod; return res; } matrix fastm(matrix a, int n) { //矩阵快速幂...Sample Input 2 1 2 3 5 1 2 4 5 Sample Output 5 16 给出序列前3项，要求输出第n项，判断一下等差还是等比，等比的话套快速幂。
---- 之前了解的快速幂是针对一个数的，原来矩阵也有快速幂！ 原题连接 ：CSU - 1597 Description 薛XX的低IQ是个令人头疼的问题，他的队友深受其害。
矩阵快速幂 1....分解来看，是由矩阵乘法，和快速幂组成 矩阵乘法 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=n;k++) c[i...][j]+=a[i][k]*b[k][j]; 快速幂 ll pow_ksm(ll a,ll n) { ll res = 1; while(n) { if(n&1) res
后记 正迭代法，用于求矩阵的主特征值，也就是指矩阵的所有特征值中最大的一个。有正迭代法就有逆迭代法，逆迭代法可以求矩阵的最小特征值以及对应的特征向量。...幂迭代法是子空间迭代，Lancos迭代等方法求结构自振频率的基础。 稍后会推出逆迭代法，敬请关注。 对于计算特征值，没有直接的方法。2阶或3阶矩阵可以采用特征多项式来求。...但如果试图求下列矩阵的特征值，我们试图用特征多项式 P(x)=(x-1)(x-2)...(x-20) 求特征值是不明智的。...当这些步骤提供了求特征向量的方法后，如何求近似特征值？换句话说，假设矩阵A和近似特征向量已经知道，如何求相应近似特征值？考虑特征方程 xξ = Ax 这里x是近似特征向量，ξ是特征值，且ξ未知。...借助于最小二乘，得到： 以上求特征值的方法叫幂迭代法。
1：导入包numpy from numpy import * 2: 定义初始化矩阵 a1 = mat([[3,4],[2,16]]) //这是一个2×2的矩阵 3：求a1的逆矩阵 a2
矩阵快速幂大概是用来解决这样一类问题，当你知道了一个递推式比如a[n]=a[n-1]+a[n-2] 题目要求你求出a[n]。如果n大于1亿怎么办？ 不可能用for。...解决办法就是根据递推式构造一个矩阵A，最终会化简为a[n]=A^n类似的形式，再利用快速幂，快速的求出A^n,所以原先的 O(n)就变成了O(logn) 例如POJ 3233 递推关系是 s[k]=s...所以s[K]=( | 1 0| ^n )*s[1] | 1 A| 下面给出矩阵快速幂的模板 矩阵连乘： struct Node { int...有的题目n有500，n^3就会炸了，这类题目，要观察矩阵的形式，可以把矩阵转 换的，用n^2就可以完成连乘，例如POJ 3150 后面的例题里有 for(int k=0;k<n;...(c.a[i][k]+=(a.a[i][j]*b.a[j][k])%mod)%=mod; } } } return c; } 矩阵快速幂
在之前的文章《线性代数之矩阵》中已经介绍了一些关于矩阵的基本概念，本篇文章主要就求解逆矩阵进行进一步总结。...=0，我们就称A为非奇异矩阵。奇异矩阵是没有逆矩阵的。...最后我想说的是我本来想求逆矩阵的，不凑巧找了个奇异矩阵，饶恕我吧:( 伴随矩阵 Adjugate Matrix 伴随矩阵是将matrix of cofactors进行转置(transpose)之后得到的矩阵...，因此没有逆矩阵，但如果是非奇异矩阵，我们则可以按照之前的公式求得逆矩阵。...逆矩阵计算 初等变换 求解逆矩阵除了上面的方法外，还可以用更加直观的方法进行求解，这就是初等变换，其原理就是根据A乘以A的逆等于单位矩阵I这个原理，感兴趣的同学可以看参考链接中的视频。
一、整数快速幂 顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。...res *= x; } x *= x; //每右移一次，最低位的权重都要乘以x y /= 2; //右移 } return res; } 二、矩阵快速幂...矩阵快速幂和整数快速幂的思想一致，只不过答案矩阵的初始状态不再是整数1，而是一个单位矩阵：单位矩阵在矩阵乘法中的作用等同于整数中的1。...定义矩阵： struct matrix { ll mat[6][6]; init() { memset(mat, 0, sizeof(mat)); } }; 定义矩阵乘法： matrix...% mod) * (b.mat[k][j] % mod)) % mod; c.mat[i][j] %= mod; } } } return c; } 定义矩阵快速幂
\dots \\ a_{31}, & \dots & \dots \\ a_{41} & \dots & a_{nm} \end{bmatrix} $$ 运算 这里只讲加法减法和乘法，其他的例如矩阵求逆等与本文内容出入较大...(很多情况下交换之后都不能相乘) 矩阵快速幂 因为矩阵有结合律，因此我们可以把整数的快速幂推广的矩阵上面 题目链接 同样是利用二进制倍增的思想，不难得到以下代码 其中的base，代表的是单位矩阵，也就是除了对角线全为...$1$，其他位置都为$0$的矩阵，可以证明任意矩阵乘单位矩阵都等于自身 显然矩阵快速幂的复杂度为$O(n^3 log k)$ #include #define LL long long...for(int j = 1; j <= N; j++) printf("%d ", a.m[i][j]); return 0; } 应用 矩阵快速幂最常见的应用就是优化递推啦...当然，如果你想找刺激，可以学一下这玩意儿 矩阵快速幂具体是怎么加速递推的呢？
幂等矩阵 1.1 定义 若矩阵 满足： A2=AA=A\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{AA} = \boldsymbol{A} \...end{array} A2=AA=A 则称矩阵 为幂等矩阵。...对合矩阵（幂单矩阵） 2.1 定义 若矩阵 满足： A2=AA=I\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A} \boldsymbol{A...} = \boldsymbol{I} \end{array} A2=AA=I 则称矩阵 为对合矩阵或幂单矩阵。...end{array} A2=AA=0 则称矩阵 为幂零矩阵。
文章目录 快速幂 矩阵快速幂 慢速乘 例题 HDU-2817 HDU-3117 XUJC-1395 image.png int fastpow(int a, int n) { int res =...res = (res * a) % mod; a = (a * a) % mod; n >>= 1; //n右移一位 } return res; } 矩阵快速幂...= (res.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) % mod; return res; } matrix fastm(matrix a, int n) { //矩阵快速幂...} return res; } 慢速乘 慢速乘，顾名思义，之所以慢是因为把乘法拆成了若干次加法运算，但是我们可以在每次加法时对中间结果进行取模，所以可以防止大数相乘溢出，其原理同快速幂，...Sample Input 2 1 2 3 5 1 2 4 5 Sample Output 5 16 分析： 给出序列前3项，要求输出第n项，判断一下等差还是等比，等比的话套快速幂。
参考链接： Python程序可将两个矩阵相乘 方法一： def matrix_multiply(matrix1,matrix2): new_matrix = [[0 for i in range
10^9 因为： f[i]=1 \times f[i-1]+1 \times f[i-2] f[i-1]=1\times f[i-1]+0 \times f[i-2] 所以，我们可以发现递推式可以转化为矩阵运算
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