r就是最简矩阵当中非零行的行数,它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A),那些方程组中真正是干货的方程个数,就是这个方程组对应矩阵的秩,阶梯形矩阵的秩就是其非零行数!
Python中含有丰富的库提供我们使用,学习数学分支线性代数时,矩阵问题是核心问题。Numpy库通常用于python中执行数值计算,并且对于矩阵操作做了特殊的优化,numpy库通过向量化避免许多for循环来更有效地执行矩阵操作。本文针对矩阵的部分问题使用numpy得到解决。
在m×n的矩阵A中,任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n),位于这些行和列交叉处的 个元素,在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。
矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生,但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中,这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子:
大数据巨头Databricks与哥伦比亚大学最新研究发现,在数学和编程任务上,LoRA干不过全量微调。
线性规划的解 : 满足约束条件 ② 和 ③ 有很多解 , 这些解中肯定有一个或多个解 , 使 ① 目标函数 有最大值 ;
自然语言处理的一个重要范式包括对一般领域数据的大规模预训练和对特定任务或领域的适应。当我们预训练更大的模型时,重新训练所有模型参数的完整微调变得不那么可行。LoRA[1]冻结预训练模型权重并将可训练的秩分解矩阵注入到 Transformer 架构的每一层中,大大减少了下游任务的可训练参数的数量。与用 Adam 微调的 GPT-3 175B 相比,LoRA 可以将可训练参数的数量减少了 10,000 倍,GPU 内存需求减少了 3 倍。
NumPy 是Python数据分析必不可少的第三方库,NumPy 的出现一定程度上解决了Python运算性能不佳的问题,同时提供了更加精确的数据类型。如今,NumPy 被Python其它科学计算包作为基础包,已成为 Python 数据分析的基础,可以说 NumPy 就是SciPy、Pandas等数据处理或科学计算库最基本的函数功能库。
Am×n=UΣVTUUT=ImVVT=InΣ=diag(σ1,σ2,...,σp)σ1≥σ2≥...≥σp≥0p=min(m,n)A_{m \times n} = U \Sigma V^T\\ UU^T=I_m\\ VV^T=I_n\\ \Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_p) \\ \sigma_1\ge \sigma_2 \ge...\ge\sigma_p \ge0\\ p=\min(m,n)Am×n=UΣVTUUT=ImVVT=InΣ=diag(σ1,σ2,...,σp)σ1≥σ2≥...≥σp≥0p=min(m,n)
这听起来是不是很熟悉?我经常听到我大学的熟人抱怨他们花了很多时间的代数方程在现实世界中基本没用。
找出“主变量”pivotvariables,主列,即主元所在的列,其他列,称为自由列。(自由列表示可以自由或任意分配数值,列2和列4的数值是任意的,因此x2和x4是任意的,可以自由取)。
定义:n是非负整数,\mathbb{F}是一个数域,a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{F}
你就是一个画家!你现在想绘制一幅画,但是你现在没有足够颜色的颜料。为了让问题简单,我们用正整数表示不同颜色的颜料。你知道这幅画需要的n种颜色的颜料,你现在可以去商店购买一些颜料,但是商店不能保证能供应所有颜色的颜料,所以你需要自己混合一些颜料。混合两种不一样的颜色A和颜色B颜料可以产生(A XOR B)这种颜色的颜料(新产生的颜料也可以用作继续混合产生新的颜色,XOR表示异或操作)。本着勤俭节约的精神,你想购买更少的颜料就满足要求,所以兼职程序员的你需要编程来计算出最少需要购买几种颜色的颜料? 输入描述: 第一行为绘制这幅画需要的颜色种数n (1 ≤ n ≤ 50) 第二行为n个数xi(1 ≤ xi ≤ 1,000,000,000),表示需要的各种颜料. 输出描述: 输出最少需要在商店购买的颜料颜色种数,注意可能购买的颜色不一定会使用在画中,只是为了产生新的颜色。 输入例子: 29 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 16 32 64 128 256 512 1024 2048 2097152 4194304 8388608 16777216 33554432 67108864 134217728 268435456 536870912 999999999 1000000000 15 输出例子:
python科学计算包的基础是numpy, 里面的array类型经常遇到. 一开始可能把这个array和python内建的列表(list)混淆, 这里简单总结一下列表(list), 多维数组(np.ndarray)和矩阵(np.matrix)的区别. NumPy的主要对象是同种元素的多维数组。这是一个所有的元素都是一种类型、通过一个正整数元组索引的元素表格(通常是元素是数字)。在NumPy中维度(dimensions)叫做轴(axes),轴的个数叫做秩(rank,但是和线性代数中的秩不是一样的,在用pyth
列空间和零空间 回顾 主题 例子 AXb 求解AX0 回顾 主题 AX0求解的总体思路 例子 形式化的求解 AXb 什么时候有解 有解的话求解 特解 求出通解 big picture 列满秩 行满秩
$$ \begin{cases} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+a_{1n}x_n&=&b_1\\ &&&&\vdots\\ a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\cdots&+a_{nn}x_n&=&b_n& \end{cases} $$
向量空间的一组元素中,若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示,则称为 线性无关 或 线性独立,反之称为 线性相关(linearly dependent)。
的可解性以及解的结构。这一块内容是对之前内容的总结以及发散,同时也是线性代数这门课中的基础。
假设你现在手头上有一个用户的观影历史数据矩阵,这个矩阵的行表示用户,列表示电影,矩阵中的元素为观众给电影的星级,1-5代表着用户对电影的喜爱程度递增。矩阵局部见下图:
这个算法是Lee和Seung在1999年发表在nature杂志上的。具体论文看这里:http://www.seas.upenn.edu/~ddlee/Papers/nmf.pdf。
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本文根据线性代数的本质课程整理得到。 00 - “线性代数的本质”系列预览:https://www.bilibili.com/video/av5977466?from=search&seid=213
LoRA: Low-Rank Adaptation of Large Language Models
(1)矩阵的核范数:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩);
。 若记 M 为所有 3×3 矩阵构成的矩阵空间,则所有的 3×3 对称矩阵构成的矩阵空间 S 和 3×3 上三角矩阵构成的矩阵空间 U 都是 M 的子空间。
前言: 线代知识点多,有点抽象,写的时候尽量把这些知识点串起来,如果不行,那就两串。其包含的几大对象为:向量,行列式,矩阵,方程组。 观点 核心问题是求多元方程组的解,核心知识:内积、秩、矩阵求逆,应用:求解线性回归、最小二乘法用QR分解,奇异值分解SVD,主成分分析(PCA)运用可对角化矩阵 向量 基础 向量:是指具有n个互相独立的性质(维度)的对象的表示,向量常 使用字母+箭头的形式进行表示,也可以使用几何坐标来表示向量。 单位向量:向量的模、模为一的向量为单位向量 内积又叫数量积
创建矩阵 import numpy as np # 创建矩阵 matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]]) 向量 # 行向量 vector_row = np.array([1, 2, 3]) # 列向量 vector_column = np.array([[1],
我将包括本文中讨论的每个矩阵操作的含义、背景描述和代码示例。本文末尾的“关键要点”一节将提供一些更具体矩阵操作的简要总结。所以,一定要阅读这部分内容。
本公众号一向坚持的理念是数据分析工具要从基础开始学习,按部就班,才能深入理解并准确利用这些工具。鼠年第一篇原创推送比较长,将从基础的线性代数开始。线性代数大家都学过,但可能因为联系不到实用情况,都还给了曾经的老师。线性代数是数理统计尤其是各种排序分析的基础,今天我将以全新的角度基于R语言介绍线性代数,并手动完成PCA分析,从而强化关于线性代数和实际数据分析的联系。
与数学中不同的是,在机器学习中,系数w和截距b是需要求得的未知数,而特征x和标签y则是已知的。
LoRA可以说是针对特定任务高效训练大型语言模型的重大突破。它被广泛应用于许多应用中。在本文中,我们将解释LoRA本身的基本概念,然后介绍一些以不同的方式改进LoRA的功能的变体,包括LoRA+、VeRA、LoRA- fa、LoRA-drop、AdaLoRA、DoRA和Delta-LoRA。
读书笔记(十) %% 矩阵的操作 format short A = magic(3) %产生三阶幻方矩阵 sum(A) %对列求和 sum(A')' %对行求和 sum(diag(A)) %对主对角线求和 sum(diag(flipud(A))) %对副对角线求和 sum(1:9)/3 %第一项到第九项和的三分之一 for k = 0:3 rot90(A,k) %将A逆时针旋转k个90度 rot90(A',k) %
who whos format long format short format bank format rat pi i exp() log() log10() sqrt() sin() asin() x = [1;2;3;4;5]; y = exp(x) C = [A;B] C = [A,B] linspace(a,b,n) logspace(a,b,n) %特征化向量 dot(a,b) sqrt(dot(a,a)) cross(a,b) %a,b必须是三维的 %两个矩阵对应位置的元素相乘 A .* B
机器之心专栏 机器之心编辑部 无需训练的 ViT 结构搜索算法是怎么样的?性能又如何呢?腾讯优图实验室、厦门大学等机构对此进行了深入的探讨与研究。论文被选中为 CVPR 2022 Oral。 近期,ViT 在计算机视觉领域展现了出强大的竞争力、在多个任务里取得了惊人的进展。随着许多人工设计的 ViT 结构(如Swin-Transformer、PVT、XCiT 等)的出现,面向 ViT 的结构搜索(TAS) 开始受到越来越多的关注。TAS 旨在以自动化的方式在 ViT 搜索空间(如MSA 的 head 数量、
的主变量、特解。是线性代数当中非常重要的知识点。这一节课老师讲得非常好,和国内的一些课程或者是书籍不太一样,在课堂上教授把完整的思维推导过程给演示了一遍,而不是只是简单给出一个结论或者是公式。
换种表达方式,线性无关是说:其中任意一个向量都不在其他向量张成空间中,也就是对所有的
今天和大家聊一个非常重要,在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。
选自arXiv 机器之心编译 参与:Panda AAAI 2018 于 2 月 7 日在美国新奥尔良闭幕,本次会议收录了腾讯 AI Lab 共 12 篇论文。这里我们编译介绍了其中的《降秩线性动态系统(Reduced-Rank Linear Dynamical Systems)》;研究结果表明该方法可以稳健地从长度较短的、有噪声的、有计数值的数据中学习隐含空间。此外,作者也已经在 GitHub 上公布了他们用 Matlab 实现 RRLDS 的代码。 论文地址:http://yuan-gao.net/pdf
在刚入门机器学习中的低秩,稀疏模型时,被各种范数搅得一团糟,严重延缓了学习进度,经过一段时间的学习,现在将其完整的总结一下,希望遇到同样麻烦的同学能有所帮助。。。
在确定了可优化二次型的类型后,本文讨论二次型的优化方法。 当前问题 解方程\bf{Ax}=\bf{b} 其中\bf{A}为半正定矩阵 \bf{A}的秩与其增广矩阵\bf{Ab}的秩相等 优化方法 代数法 高斯消元法 数学上,高斯消元法(或译:高斯消去法),是线性代数规划中的一个算法,可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂,不常用于加减消元法,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。 在\bf{A}的行列式不为0时,可以逐项消除半边系数,得到三角阵,计算得到x_n再逐步带入计算出其他
向量的1范数即:向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29,MATLAB代码实现为:norm(a,1);
大语言模型在众多应用领域实现了突破性的进步,显著提升了各种任务的完成度。然而,其庞大的规模也带来了高昂的计算成本。这些模型往往包含数十亿甚至上千亿参数,需要巨大的计算资源来运行。特别是,当需要为特定的下游任务定制模型时,尤其是在计算能力有限的硬件平台上,这一挑战尤为突出。
课程主页:http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_LA16.html
NumPy,Python的数值计算库,它提供了许多线性代数函数。对机器学习从业人员用处很大。 在这篇文章中,你将看到对于机器学习从业者非常有用的处理矢量和矩阵的关键函数。 这是一份速查表,所有例子都很
线性代数是代数学的一个分支,主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如,在解析几何里,平面上直线的方程是二元一次方程;空间平面的方程是三元一次方程,而空间直线视为两个平面相交,由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
机器之心原创 作者:邱陆陆 上周,今日头条人工智能实验室在清华大学举办了第二期 AI 技术沙龙,邀请到上海科技大学信息科学与技术学院的马毅教授带来题为「高维数据的低维结构与深度模型」的主题分享。马毅教
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