力学数值计算中的保辛算法

《力学数值计算中的保辛算法》以力学数值计算中的保辛算法为中心，按照从简单到复杂、从基础到推广的思路，系统详细介绍了多个力学系统及其保辛算法的主要内容。本书首先介绍了辛几何与辛代数、Poisson括号与广义Poisson括号、常微分方程与随机微分方程的基本概念和基本理论，为后续章节的阐述奠定数学基础；后续内容分别详细介绍了包括哈密顿系统、广义哈密顿系统、Birkhoff系统等力学系统及其保辛算法，此外还简要介绍了等谱流及其求解方法；最后通过大量数值算例，介绍了保辛算法的最新理论成果及其在结构响应分析中的应用。

本书可供高年级本科生、研究生、高等学校教师及数学力学工作者阅读，也可作为数值算法研究人员的入门书籍或参考书。

随着计算机技术的飞速发展，数值计算显示出愈发旺盛的生命力，与理论研究、实验测定共同构成科学研究的三大支柱。

数值算法应尽可能地保持系统的本质特征，能够保持系统辛结构的数值算法被称为保辛算法。经典数值算法属于牛顿和拉格朗日力学体系，不可避免地带有耗散性等歪曲系统本质特征的缺陷，用于短期模拟尚可，用于长时间跟踪则会导致动力响应结果严重失真。而保辛算法属于哈密顿系统、广义哈密顿系统和 Birkhoff 系统，有保持系统固有性质的优点，特别在守恒性、稳定性和长时间计算准确性方面具有独特优越性。

目前国内在该领域研究较为深入，相关书籍繁多，但主要聚焦其中一种力学系统及其保辛算法，缺乏多种力学系统及其保辛算法的系统介绍，不利于保辛算法研究的开展与推广。基于此，《力学数值计算中的保辛算法》以力学数值计算中的保辛算法为中心，对哈密顿系统、广义哈密顿系统、Birkhoff 系统及其保辛算法的主要内容进行了全面、系统的整理，为推动国内数值算法的研究工作贡献自己的力量。

《力学数值计算中的保辛算法》

邱志平, 姜南 著

北京：科学出版社，2023.3

ISBN 978-7-03-074978-9

责任编辑: 赵敬伟 赵 颖

本书不仅梳理了大量中外文献，而且对许多定理的证明进行了补充，并通过若干数值算例验证了保辛算法在响应分析中应用的可行性、有效性，适合作为工程技术人员、研究人员关于保辛算法的入门书籍。

本书共 6 章：

第 1 章首先介绍保辛算法的数学基础——辛几何以及辛代数的基本概念和基本理论，随后给出 Poisson 括号与广义 Poisson 括号、常微分方程与随机微分方程的相关概念和定理，为后续各个力学系统及其保辛算法的介绍提供预备知识。

第 2∼4 章依次详细介绍哈密顿系统、广义哈密顿系统、Birkhoff 系统及其保辛算法的主要内容，其中哈密顿系统内容包括常见的哈密顿系统、随机哈密顿系统和多辛哈密顿系统三种情形，Birkhoff 系统内容也包括常见的 Birkhoff系统和多辛 Birkhoff 系统两种情形。

第 5 章简要介绍等谱流及其求解方法。

第 6 章为前述理论方法的推广与应用，发展出多种保辛算法用于求解含扰动、不确定性的哈密顿系统、Birkhoff 系统的动力响应以及结构动力和静力响应等问题中。

目录速览

前言

第1章　相关数学基础　1

1.1　辛几何与辛代数　1

1.1.1　几何方面预备知识　1

1.1.2　代数方面预备知识　8

1.1.3　辛空间和Euclid空间　18

1.1.4　辛流形　19

1.1.5　辛矩阵　22

1.2　Poisson括号与广义Poisson括号　32

1.2.1　Poisson括号　32

1.2.2　广义Poisson括号　36

1.3　常微分方程　41

1.3.1　常微分方程的基本概念及其数值方法的收敛性与稳定性　41

1.3.2　常微分方程的有根树理论及其在Runge-Kutta方法中的应用　43

1.4　随机微分方程　48

1.4.1　随机微分方程的基本概念　48

1.4.2　随机微分方程的双色树理论及其在Runge-Kutta方法中的应用　53

1.4.3　随机微分方程组的四色树理论及其在分块Runge-Kutta方法中

的应用　64

1.4.4　力学系统的随机变分计算　73

第2章　哈密顿系统及其保辛算法　79

2.1　哈密顿系统　79

2.1.1　哈密顿方程　79

2.1.2　辛结构与守恒律　83

2.1.3　辛格式　87

2.1.4　显含时间可分线性非齐次哈密顿系统的辛格式和划归方法　102

2.2　随机哈密顿系统　106

2.2.1　随机哈密顿系统的表示与分类　107

2.2.2　精确平稳解　108

2.2.3　等效非线性系统法　109

2.2.4　拟哈密顿系统随机平均法　110

2.2.5　随机稳定性与分岔　112

2.2.6　首次穿越损坏　114

2.3　多辛哈密顿系统　115

2.3.1　多辛哈密顿系统及其守恒律　115

2.3.2　多辛哈密顿系统的典型离散方法　119

2.3.3　多辛哈密顿系统的应用　126

第3章　广义哈密顿系统及其保辛算法　169

3.1　广义哈密顿系统　169

3.1.1　广义哈密顿方程　169

3.1.2　线性广义哈密顿系统与无穷小Poisson矩阵　171

3.2　广义哈密顿方程的对称性与守恒量　173

3.2.1　积分理论　173

3.2.2　对称性直接得到的守恒量　175

3.3　广义哈密顿系统的数值方法　184

3.3.1　基于Pade逼近的线性广义哈密顿系统的Poisson格式　184

3.3.2　Poisson Runge-Kutta格式及其守恒律　186

3.3.3　数值迭代算法　191

第4章　Birkhoff系统及其保辛算法　194

4.1　Birkhoff系统　194

4.1.1　Birkhoff方程与Pfaff-Birkhoff原理　194

4.1.2　Birkhoff方程的构造方法　195

4.1.3　Birkhoff方程的性质　197

4.1.4　Birkhoff方程的保辛算法　201

4.2　多辛Birkhoff系统　205

4.2.1　多辛哈密顿方程的推广　206

4.2.2　多辛Birkhoff系统表示形式　208

4.2.3　Birkhoff多辛守恒律和多辛格式　214

4.2.4　线性阻尼振动方程的Birkhoff形式　218

第5章　等谱流及其求解方法　224

5.1　等谱流的概念及其分类　224

5.1.1　等谱流的概念　224

5.1.2　等谱流问题的分类　224

5.2　等谱流方法　226

5.2.1　修正的Gauss-Legendre Runge-Kutta(MGLRK)方法　226

5.2.2　半显式等谱Taylor方法　229

5.2.3　Runge-Kutta-Munthe-Kaas(RKMK)　方法　231

5.2.4　Cayley变换下的RKMK方法　233

5.2.5　基于Magnus展开的双括号等谱流方法　235

5.2.6　基于一般线性逼近的有限积分法的等谱流法　237

第6章　力学系统保辛算法的数值算例及其应用　241

6.1　扰动线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法及其应用　241

6.1.1　引言　241

6.1.2　扰动线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法　242

6.1.3　基于摄动级数展开法的扰动线性哈密顿系统的辛结构　243

6.1.4　数值算例　246

6.1.5　本节小结　254

6.2　非保守线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法及其应用　254

6.2.1　引言　255

6.2.2　非保守线性非齐次哈密顿系统　255

6.2.3　非保守线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法　256

6.2.4　基于摄动级数展开法的非保守线性哈密顿系统的辛结构　258

6.2.5　结构动力响应问题的非保守线性哈密顿系统表示　260

6.2.6　数值算例　261

6.2.7　本节小结　266

6.3　随机和区间非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法及其应用　266

6.3.1　引言　267

6.3.2　含扰动非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法　267

6.3.3　随机非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法　269

6.3.4　区间非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法　272

6.3.5　随机和区间非齐次线性哈密顿系统结果比较　275

6.3.6　数值算例　277

6.3.7　本节小结　282

6.4　随机和区间哈密顿系统的保辛同伦摄动法及其应用　282

6.4.1　引言　283

6.4.2　含扰动确定性哈密顿系统的保辛同伦摄动法　283

6.4.3　随机哈密顿系统的保辛同伦摄动法　285

6.4.4　区间哈密顿系统的保辛同伦摄动法　288

6.4.5　随机和区间哈密顿系统计算结果比较　290

6.4.6　数值算例　290

6.4.7　本节小结　302

6.5　线性Birkhoff方程的不确定性保辛参数摄动法及其应用　302

6.5.1　引言　302

6.5.2　扰动线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法　303

6.5.3　随机线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法　304

6.5.4　区间线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法　306

6.5.5　随机方法与区间方法的对比　308

6.5.6　数值算例　311

6.5.7　本节小结　318

6.6　基于生成函数法的结构动力响应问题的保辛算法　318

6.6.1　引言　319

6.6.2　基于结构动力学方程构建Birkhoff系统　319

6.6.3　结构动力学方程的生成函数法　320

6.6.4　数值算例　323

6.6.5　本节小结　324

6.7　结构静力问题的增减维保辛摄动级数方法　325

6.7.1　引言　325

6.7.2　结构静力问题迭代格式的一般构建方法.326

6.7.3　结构静力问题保辛迭代格式的构建方法.326

6.7.4　数值算例　333

6.7.5　本节小结　336

6.8　微分方程的增减维保辛摄动级数方法及其应用337

6.8.1　引言　337

6.8.2　偶数维一阶常微分方程保辛格式的构建方法　338

6.8.3　奇数维一阶常微分方程的增减维摄动级数法　340

6.8.4　数值算例　342

6.8.5　本节小结　345

参考文献　347

（本期编辑：王芳）