多元时间序列滚动预测：ARIMA、回归、ARIMAX模型分析

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如果这样的程序只做一次，那么这被称为 "固定原点 "评估。然而，时间序列可能包含离群值，一个差的模型可能比更合适的模型表现得更好。为了加强对模型的评估，我们使用了一种叫做 "滚动原点 "的方法。

滚动原点是一种预测方法，根据这种方法，预测原点被连续更新，预测是由每个原点产生的（Tashman 2000）。这种方法允许获得几个时间序列的预测误差，从而更好地了解模型的表现。

如何实现呢？

下图描述了滚动原点的基本思想。白色单元格对应的是样本内数据，而浅灰色单元格对应的是前三步的预测。该图中时间序列有25个观测值，预测从8个原点开始产生，从原点15开始。模型在每次迭代中都被重新估计，并产生预测结果。之后，在系列的末尾增加一个新的观测值，这个过程继续进行。当没有更多的数据需要添加时，这个过程就会停止。这可以被认为是一个滚动的原点，有一个固定的保留样本量。这个程序的结果是产生了8个一到三步的预测。在此基础上，我们可以计算出误差测量方法，并选择表现最好的模型。

从8个原点产生预测的另一个选择是，从原点17而不是15开始（见下图）。在这种情况下，程序一直持续到原点22，即产生最后一个三步超前预测的时候，然后继续以递减的预测范围进行。因此，两步预测从原点23产生，只有一步预测从原点24产生。因此，我们得到8个一步预测，7个两步预测和6个三步预测。这可以被认为是一个滚动的原点，有一个非固定的保留样本量。可用于在小样本的情况下，当我们没有多余的观测值的时候。

最后，在上述两种情况下，我们的样本量都在增加。然而对于某些研究目的，我们可能需要一个恒定的内样本。下图展示了这样一种情况。在这种情况下，在每次迭代中，我们在系列的末尾增加一个观察值，并从系列的开始删除一个观察值（深灰色单元）。

R实现：一元时间序列ARIMA案例

R实现了对任何函数的滚动原点估计，有一个预定义的调用，并返回预期的值。

我们从一个简单的例子开始，从正态分布生成序列。

x 

我们在这个例子中使用ARIMA(0,1,1)。

predict(arima(x=data,order=c(0,1,1)),n.ahead=h

调用包括两个重要元素：data和h。data指定了样本内值在我们要使用的函数中的位置。h将告诉我们的函数，在选定的函数中指定了预测的范围。在这个例子中，我们使用arima(x=data,order=c(0,1,1))，产生了一个想要的ARIMA(0,1,1)模型，然后我们使用predict(...,n. ahead=h)，从该模型产生一个预测。

还需要指定函数应该返回什么。可以是条件平均数（点预测），预测区间，模型的参数。然而，根据你使用的函数返回的内容，滚动预测返回的内容有一些不同。如果它是一个矢量，那么滚动预测将产生一个矩阵（列中有每个原点的值）。如果它是一个矩阵，那么就会返回一个数组。最后，如果它是一个列表，那么将返回一个列表的列表。

我们先从predict()函数中收集条件平均值。

我们可以使用滚动原点从模型中产生预测结果。比方说，我们想要三步预测和8个原点，所有其他参数的默认值。

predro(x, h , orig )

该函数返回一个列表，其中包含我们要求的所有数值，再加上保留样本的实际数值。我们可以根据这些值计算一些基本的误差指标，例如，按比例的平均绝对误差。

apply(abs(holdo - pred),1,mean) / mean(actual)

在这个例子中，我们使用apply()函数，区分不同的预测期，并了解模型在每个预测期的表现。以类似的方式，我们可以评估其他一些模型的性能，并与第一个模型产生的误差进行比较。这些数字本身并不能说明什么，但如果我们把这个模型的表现与另一个模型进行比较，那么我们就可以推断出一个模型是否比另一个模型更适合数据。

我们还可以绘制来自滚动原点的预测结果。

plot(Values1)

predro(x, h , ori )

plot(returned2)

"forecast(ets(data) ,level=95"

c("mean","lower","upper")

array(NA,c(3,2,3,8))

list(c(0,1,1), c(1,1,0))

"predict(arima(data,Models\[\[i\]\])ahead=h)"

for(j in 1:3)  for(i in 1:2)predro(data, h , or=8)

exp(mean(log(apply(Holdout - Fore  / apply(abs(Holdout - Fore ))

predict(lm(y~x1+x2+x3,xre),newdat

pred(y, h , ori  )

predict(lm( xreg ,new =xreg "

predro( $y, h , or  )

plot( Return)

ourCall 

"es(x=dat, xreg, h=h"