为什么极坐标比笛卡尔坐标更受欢迎？

在今天的这个故事中，我们将探讨为什么笛卡尔坐标系（x，y，z）——空间中的三个方向并不总是一个好的选择。

接下来，我将介绍几个其他的坐标系，它们可以更有效地解决某些类型的问题。

首先，什么是坐标？坐标是用来表示空间中某个点的位置的数值。它们通常由一组两个或三个数字表示，具体取决于空间的维数。我们选择一个任意点作为起点或“原点”，然后确定空间中任何一点距离该原点有多远。例如，在三维空间中，坐标通常表示为 (x,y,z)，其中 x 表示点的水平位置，y 表示点的垂直位置，z 表示点的深度。此外，这些 x、y 和 z 方向通常彼此成直角，形成所谓的三维正交坐标系。

图 1

2D 和 3D 坐标系

笛卡尔坐标使用 x 和 y 坐标表示平面上的点，是描述许多几何形状和物理系统的一种非常常见且有用的方法。然而，在某些情况下，极坐标是更自然和方便的选择。

笛卡尔坐标与极坐标

图 2

笛卡尔坐标与极坐标

笛卡尔坐标是一种使用一组数值来表示平面或三维空间中点的系统。该系统以法国数学家兼哲学家勒内·笛卡尔 (1596-1650) 的名字命名，他于 17 世纪创建了该系统。

在二维空间中，笛卡尔坐标用两个数字表示，记为（x，y），分别用来表示平面中某个点的水平和垂直位置。x轴和y轴相交的点称为原点，记为（0，0）。

平面上的任何点都可以通过指定其 x 坐标和 y 坐标来定位。例如，点 (3,4) 表示位于原点右侧 3 个单位、上方 4 个单位的点。

相比之下，极坐标是一种描述平面或三维空间中的点的方法，其中每个点由一个角度和与称为原点的固定点的距离表示。

在二维空间中，一个点用 (r,θ) 表示，其中 r 是从原点到该点的距离，θ 是固定参考方向（通常是正 x 轴）与连接原点和该点的线之间的角度。

在一些情况下，使用极坐标比使用笛卡尔坐标更方便。一个常见的例子是描述涉及圆形或旋转对称的场景，例如扁平的旋转圆盘、球体或土星环中的同心圆。

在上述任何一种情况下，如果我们使用笛卡尔坐标系，我们可以为各个点分配 x 和 y 坐标。然而，这并不能有效地表达问题的对称性。

例如，如果我们考虑圆上的两个点，并用 (r,θ) 表示它们，我们可以轻松确定它们与原点的距离相等，因为半径在整个圆上是恒定的。此信息对于解决某些问题很重要。

另一方面，如果我们将它们表示为笛卡尔坐标，例如图 1 中的点 (1.1,1.9) 或圆上的任何其他点，这个关键事实可能不会立刻显现出来。

图 3 作者供图

另外，在描述行星绕恒星运动时，极坐标可以简单地用来描述行星与恒星的距离以及连接两者的线与固定参考方向的夹角。

图 4

圆柱对称物体的坐标

如果遇到如图 2 所示的圆柱对称形状，即水桶或哑铃，我们可以通过在笛卡尔坐标系中引入 z 轴形式的第三维来扩展我们的坐标系。通过这种调整，我们可以使用 (r,θ,z) 坐标以直接的方式描述圆柱对称物体。这些被称为圆柱极坐标。

如果物体具有圆柱对称性，则绕空间中任何一点的 z 轴旋转都不会影响物体的整体形状。

还有另一种对称性，称为球对称性，即绕原点的任意轴旋转都会产生相同的形状。

在这种情况下，圆柱坐标可以很好地工作，但它肯定不是一个合适的选择。为了解决这个问题，我们可以引入另一个角度，表示为φ，它是z轴和连接我们点和原点的线之间的角度。通过这样做，我们可以使用球面极坐标 (r,θ,φ)来描述球对称区域。

总而言之，虽然笛卡尔坐标是描述许多几何形状和物理系统最常用、最强大、用途最广泛的工具，但在某些情况下，这些坐标会导致更复杂的方程和计算。

因此，极坐标可以成为描述圆形、球形和圆柱系统的更有效、更方便的选择。