机器学习套路：线性回归

线性回归可以说是机器学习中最简单，最基础的机器学习算法，它是一种监督学习方法，可以被用来解决回归问题。它用一条直线(或者高维空间中的平面)来拟合训练数据，进而对未知数据进行预测。

基本套路

机器学习方法，无外乎三点：模型，代价函数，优化算法。

首先找到一个模型用于预测未知世界，然后针对该模型确定代价函数，以度量预测错误的程度，最后使用优化算法在已有的样本数据上不断地优化模型参数，来最小化代价函数。

通常来说，用的最多的优化算法主要是梯度下降或拟牛顿法(L-BFGS或OWL-QN)，计算过程都需要计算参数梯度值，下面仅从模型、代价函数以及参数梯度来描述一种机器学习算法。

基本模型

代价函数

参数梯度

上述描述是按照常规的机器学习方法来描述线性回归，模型参数一般是通过梯度下降或拟牛顿法优化迭代得到。

其实线性回归问题是可解的，只是在样本维度较大时很难求解才使用优化迭代的方法来逼近，如果样本维度并不是很大的情况下，是可以解方程一次性得到样本参数。

最小二乘

加权最小二乘

应用套路

在实际应用时，基于上述基本套路可能会有些小变化，下面首先还是从模型、代价函数以及参数梯度来描述。

正则化

为了防止过拟合，一般会在代价函数上增加正则项，常见的正则方法有：

加上正则项后，代价函数变成如下形式：

由于L1正则项不可导，如果 α 不为0，那么不能简单的套用梯度下降或 L-BFGS，需要采用借助软阈值(Soft Thresholding)函数解决，如果是使用拟牛顿法，可以采用OWL-QN，它是基于L-BFGS算法的可用于求解L1正则的算法。基于上述代价函数，下面仅列出包含L2正则项时的参数梯度：

实际上，使用L2正则，是将前面所述的最小二乘方程改成如下形式:

标准化

一般来说，一个特征的值可能在区间 (0,1)之间，另一特征的值可能在区间(−∞,∞)，这就是所谓的样本特征之间量纲不同，这样会导致优化迭代过程中的不稳定。

当参数有不同初始值时，其收敛速度差异性较大，得到的结果可能也有较大的差异性，如下图所示，可以看到X和Y这两个变量的变化幅度不一致，如果直接使用梯度下降来优化迭代，那么量纲较大的特征信息量会被放大，量纲较小的特征信息量会被缩小。

所以一般要对数据作无量纲化处理，通常会采用标准化方法 (x−u)/σ ，得到如下数据分布，这样无论从哪个点开始，其迭代方向的抖动都不会太大，每个特征的信息也不至于被放大和缩小。

总结

虽然线性回归现在可能很少用于解决实际问题，但是因为其简单易懂，学习它有助于对机器学习有个入门级的初步掌握，了解机器学习的套路等。

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