基于线性SVM的CIFAR-10图像集分类

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之前我用了六篇文章来详细介绍了支持向量机SVM的算法理论和模型，链接如下：

实际上，支持向量机SVM确实是机器学习中一个非常重要也是非常复杂的模型。关于SVM的详细理论和推导，本文不再阐述，读者可以直接阅读上面的六篇文章。

学习完了复杂的理论知识，很多朋友可能非常想通过一个实际的例子，动手编写出一个SVM程序，应用到实际中。那么本文就将带领大家动手写出自己的SVM程序，并且应用到图像的分类问题中。我们将在经典的CIFAR10图像数据集上进行SVM程序验证。

话不多说，正式开始！

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SVM的基本思想

简单来说，支持向量机SVM就是在特征空间中找到一条最佳的分类超平面，能够让正、负样本距离该超平面的间隔（margin）最大化。

以二维平面为例，确定一条直线对正负样本进行分类，如下图所示：

很明显，虽然分类线H1、H2、H3都能够将正负样本完全分开，但是毫无疑问H3更好一些。原因是正负样本距离H3都足够远，即间隔「margin」最大。这就是SVM的基本思想：尽量让所有样本距离分类超平面越远越好。

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线性分类与得分函数

在线性分类器算法中，输入为x，输出为y，令权重系数为W，常数项系数为b。我们定义得分函数s为：

这是线性分类器的一般形式，得分函数s所属类别值越大，表示预测该类别的概率越大。

以图像识别为例，共有3个类别「cat，dog，ship」。令输入x的特征维度为4「即包含4个像素值」，W的维度是3x4，b的维度是3x1。在W和b确定后，得到各个类别的得分函数s为：

由上图可知，因为总有3个类别，得分函数s是3x1的向量。其中，cat score=-96.8，dog score=437.9，ship score=61.95。从s的值来说，dog score最高，cat score最低，则预测为狗的概率更大一些。而该图片真实标签是一只猫，显然，从得分函数s上来看，该线性分类器的预测结果是错误的。

通常为了简化计算，我们直接将W和b整合成一个矩阵，同时将x额外增加一个全为1的维度。这样，得分函数s的表达式得到了简化：

示例图如下：

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优化策略与损失函数

通常来说，SVM的优化策略是样本到分类超平面的距离最大化。也就是说尽量让正负样本距离分类超平面有足够宽的间隔，这是基于距离的衡量优化方式。针对上文提到的例子，图片真实标签是一只猫，但是得到的s值却是最低的，显然这不是我们希望看到的。最好的情况应该是cat score最高。这样才能保证预测cat的概率更大。此时，利用SVM的间隔最大化的思想，就要求cat score不仅仅要大于其它类别的s值，而且要达到一定的程度，可以说有个最低阈值。

因此，这种新的SVM优化策略可以这样理解：正确类别对应的得分函数s应该比其它类别的得分函数s大一个阈值 Δ：

接下来，我们就可以根据这种思想定义SVM的损失函数：

‍‍‍‍‍‍其中，yi表示正确的类别，j表示错误类别。从Li的表达式可以看出，只有当syi比sj大超过阈值 Δ 时，Li才为零，否则Li大于零。这种策略类似于距离最大化策略。

举个例子来解释Li的计算过程：例如得分函数s=[-1, 5, 4]，y1是真实样本，令Δ=3，则：

该损失函数由两部分组成：y1与y，y1与y2。由于y1与y的差值大于阈值 Δ，则其损失函数为0；虽然y1比y2大，但差值小于阈值 Δ，则计算得到其损失函数为2。总的损失函数即为2。

这类损失函数的表达式一般称作合页损失函数「Hinge Loss Function」：

显然，只有当sj- syi+Δ

这种合页损失函数的优点是体现了SVM距离最大化的思想；而且，损失函数大于零时，是线性函数，便于梯度下降算法求导。

除了这种线性hinge loss SVM之外，还有squared hinge loss SVM，即采用平方的形式：

这种squared hinge loss SVM与linearhinge loss SVM相比较，特点是对违背间隔阈值要求的点加重惩罚，违背的越大，惩罚越大。某些实际应用中，squared hinge loss SVM的效果更好一些。具体使用哪个，可以根据实际问题，进行交叉验证再确定。

对于超参数阈值 Δ，一般设置 Δ = 1。因为，权重系数W是可伸缩的，直接影响着得分函数s的大小。所以说，Δ = 1 或 Δ = 10，实际上没有差别，对W的伸缩完全可以抵消掉 Δ 的数值影响。因此，通常把 Δ 设置为1即可。此时的损失函数为：

SVM中，为了防止模型过拟合，可以使用正则化「Regularization」方法。例如使用L2正则化：

引入正则化项之后的损失函数为：

其中，N是训练样本个数，λ 是正则化参数，可调。一般来说，λ 越大，对权重W的惩罚越大；λ 越小，对权重W的惩罚越小。λ 实际上是权衡损失函数第一项和第二项之间的关系：λ 越大，对W的惩罚更大，牺牲正负样本之间的间隔，可能造成欠拟合「underfit」；λ 越小，得到的正负样本间隔更大，但是W数值会变大，可能造成过拟合「overfit」。实际应用中，可通过交叉验证，选择合适的正则化参数λ。

常数项b是否需要正则化？其实一般b是否正则化对模型的影响很小。可以对b进行正则化，也可以选择不。实际应用中，通常只对权重系数W进行正则化。

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线性SVM实战

首先，简单介绍一下我们将要用到的经典数据集：CIFAR-10。

CIFAR-10数据集由60000张3×32×32的 RGB 彩色图片构成，共10个分类。50000张训练，10000张测试（交叉验证）。这个数据集最大的特点在于将识别迁移到了普适物体，而且应用于多分类，是非常经典和常用的数据集。

这个数据集网上可以下载，我直接给大家下好了，放在云盘里，需要的自行领取。

链接：

https://pan.baidu.com/s/1iZPwt72j-EpVUbLKgEpYMQ

密码：vy1e

下面的代码是随机选择每种类别下的5张图片并显示：

接下来，就是对SVM计算hinge loss，包含L2正则化，代码如下：

计算W梯度的代码如下：

根据SGD算法，每次迭代后更新W：

训练过程中，使用交叉验证的方法选择最佳的学习因子 learning_rate 和正则化参数 reg，代码如下：

训练结束后，选择最佳的学习因子 learning_rate 和正则化参数 reg，在测试图片集上进行验证，代码如下：

>> linear SVM on raw pixels final test set accuracy: 0.384000

最后，有个比较好玩的操作，我们可以将训练好的权重W可视化：

可以明显看出，由W重构的图片具有所属样本类别相似的地方，这正是线性SVM学习到的东西。

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总结

本文讲述的线性SVM利用距离间隔最大的思想，利用hinge loss的优化策略，来构建一个机器学习模型，并将这个简单模型应用到CIFAR-10图片集中进行训练和测试。实际测试的准确率在40%左右。准确率虽然不是很高，但是此SVM是线性模型，没有引入核函数构建非线性模型，也没有使用AlexNet，VGG，GoogLeNet，ResNet等卷积网络。测试结果比随机猜测10%要好很多，是一个不错的可实操的有趣模型。