线性回归的信赖区间

让回归方程式变得精确

上次课我们学过了如何从一堆数据中，找到一个线性回归的方程式，就是酱紫的：

那么这个方程式呢，一般是拟合的样本数据，而非整个母体数据，因此用回归方程式做估计或预测样本之外的值时，难免会有一些误差。

我们前面学过了信赖区间的概念，知道在某个信赖水平下，均值μ（或其他指标）落在这个信赖区间内的概率是非常大的。

我们也可以运用这种思想，把直线方程的系数—b0和b1，也做一个信赖水平的估计，

我们可以这么说：

在95%的信赖水平下，b0取值在1.5和3之间，b1取值在5和9之间。

这样测算出来的Y值就会有个误差范围，因此就可以最大限度的让线性回归方程式达到精确。

回归方程式的信赖区间

真实的母体数据构成的线性回归方程式应该是酱紫的：

而用样本估计的方程式是酱紫的：

真实母体的线性回归方程式系数β0和β1，就是我们需要推断的值。

斜率β1的信赖区间（估计区间）是酱紫的：

在特定的某点X=x0的情况下，Y0的信赖区间（估计区间）是酱紫的：

在特定的X=x0的情况下，预测第n+1个新观察值Yn+1的信赖区间（预测区间）是酱紫的：

神马？你又忘了MSE是什么啦？

好吧，我这里把各项值都列一遍好啦：

这下各个式子代表啥都清楚了吧？

这里我们不做过多推导论证，大家只要记住结论会用就行。

答疑解惑

问题1：

估计区间和预测区间的区别？

估计区间是已发生的，就是在已知的母体数据中抽取一个样本，从而测算母体的某个已知量，比如产品质检；而预测区间是未发生的，是在已知的母体数据中抽取一个样本，从而预测某个未知量，比如股价预测。

问题2：

系数β0的信赖区间？

系数β0的信赖区间暂时不用管，因为Y的区间既然已经给出了，它也就没啥用了。

那为啥要给出斜率β1的信赖区间呢？

以上节课温度和含有率的题目为例，斜率代表的是：

每上升（或下降）1摄氏度时，含有率就上升（或下降）多少。

假设你是试验者，这个参数还是蛮有用的。

举个栗子

假设某产品的某种成分含有率，会随着温度的变化而变化。工程师现做了12次的实验，得到资料如下：

试找出线性回归方程式，并预测在95%的信赖水平下，当温度是199摄氏度时，其含有率是多少？

解：

第一步：计算基本数据。

第二步：计算回归方程式。

第三步：预测值。