Python退火算法在高次方程的应用

这里在组合优化问题，调度问题，最优排列问题，TSP问题上也是有一定的应用的，合理使用。

一，简介

退火算法不言而喻，就是钢铁在淬炼过程中失温而成稳定态时的过程，热力学上温度（内能）越高原子态越不稳定，而温度有一个向低温区辐射降温的物理过程，当物质内能不再降低时候该物质原子态逐渐成为稳定有序态，这对我们从随机复杂问题中找出最优解有一定借鉴意义，将这个过程化为算法，具体参见其他资料。

二，普通方法和退火算法

我们所要计算的方程是f(x) = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x- 9),是一个一元四次方程，我们称为高次方程，当然这个函数的开口是向上的，那么在一个无限长的区间内我们可能找不出最大值点，因此我们尝试在较短区间内解最小值点，我们成为最优解。

解法1：

毫无疑问，数学方法多次求导基本可以解出，但是这个过程较复杂，还容易算错，我就不赘述了，读者有时间自己可以尝试解一下。

解法二：

这个解法就是暴力解决了，我们这里只求解区间[-10,10]上的最优解，直接随机200个点，再除以10（这样可以得到非整数横坐标），再依此计算其纵坐标f（x），min一下，用list的index方法找出最小值对应位置就行了，然后画出图形大致瞄一瞄。

直接贴代码：

1importrandom

2importmatplotlib.pyplot as plt

3

4list_x = []

5# for i in range(1):

6# #print(random.randint(0,100))

7# for i inrange(0,100):

8# print("sss",i)

9#

10# list_x.append(random.randint(0,100))

11foriinrange(-100,100):

12list_x.append(i/10)

13

14print("横坐标为：",list_x)

15print(len(list_x))

16

17

18list_y = []

19forxinlist_x:

20# print(x)

21#y = x*x*x - 60*x*x -4*x +6

22y = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8)* (x - 9)

23list_y.append(y)

24print("纵坐标为：",list_y)

25

26#经验证，这里算出来的结果6.5和最优解1549都是对的

27print("最小值为：",min(list_y))

28num = min(list_y)

29print("最优解：",list_y.index(num)/10)

30print("第",list_y.index(num)/10-10,"个位置取得最小值")

31

32plt.plot(list_x, list_y, label='NM')

33#plt.plot(x2, y2,label='Second Line')

34plt.xlabel('X')#横坐标标题

35plt.ylabel('Y')#纵坐标标题

36#plt.title('InterestingGraph\nCheck it out',loc="right") #图像标题

37#plt.title('InterestingGraph\nCheck it out')

38plt.legend()#显示Fisrt Line和Second Line（label）的设置

39plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png')

40plt.show()

得到如下结果：

那么我们得出最优解的坐标是（6.5，-1549.6875），结果先放这里，接下来用退火算法看能不能解出。

解法三：

我们看一张图（解法二中的方法得出的图），然后讲讲退火算法的最核心的思想。

首先，先随机一个[-10.10]之间的随机解，作为初始解空间，比方说随机了一个位于[-2.5.2.5]中最高的那个点就是点1(横坐标为x1)，他有对于的纵坐标的值y1，这时候我们把这个点的横坐标随机加或者减去一个值（注意这个值的大小很重要，我们先叫他随机移动值），加或者减后得到新的横坐标的值x2，再算出这个横坐标的对应纵坐标（y2），对比之前的纵坐标的大小，这里设置

delta = y2-y1，发现无论怎样都是小于原先的纵坐标（前提是随机移动值足够小），这时候我们把新得到的x2赋值给x1，这时候现在的x2的值传给x1，x1是原先随机的值，这个过程可以重复iter_num次，大小就根据自己的区间来。

上述的整个过程是在一个温度下进行的，这个过程结束后我们用温度更新公式再次的更新温度，再去重复上述步骤。

温度更新我是用的常用的公式是T(t)=aT0(t-1)，其中0.85≦a≦0.99。也可用相应的热能衰减公式来计算，T(t)=T0/(1+lnt),t=1,2,3,...，这都是简单的状态更新方法。

也就是说，不管你随机的是几我都能朝着优化的方向前进（前提是非最优点）。

其次，点2是同理的，区别在于他是局部最优解，那么跳出这个局部最优解的机制是什么呢？

若初始点是（x3,y3）,然后用上述方法得出（x4,y4），在点二处得到的delta肯定是大于的，那么怎么办呢？当大于的时候我们每次都有一定的概率来接受这个看起来不是最优的点，叫Metropolis准则，具体是这样的：

这里的E就是y，T就是当前温度，delta小于就是百分百接受新值，否者就是按照这个概率接受，当迭代多次的时候，每次向右移动的步长累加到点1时候他就有可能找到最终的最优解了，步长是累加的但是概率是累成的，意味着这个概率很小，但是一旦迭代次数多久一定会跑出来到最优解处。

最优，点3不解释了哈，和上面一样。

那么我们上代码：

1#自己改写的退火算法计算方程(x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)的计算方法

2#class没啥用

3importnumpy as np

4importmatplotlib.pyplot as plt

5frommatplotlibimportpyplot as plt

6

7

8#设置基本参数

9#T初始温度，T_stop，iter_num每个温度的迭代次数，Q温度衰减次数

10classTuihuo_alg():

11def__init__(self,T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x):

12self.T_start = T_start

13self.iter =iter_num

14self.T_stop = T_stop

15self.Q = Q

16self.xx = xx

17self.init_x = init_x

18# def cal_x2y(self):

19# return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)

20

21

22if__name__=='__main__':

23

24defcal_x2y(x):

25#print((x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9))

26return(x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)

27T_start = 1000

28iter_num = 1000

29T_stop = 1

30Q = 0.95

31K = 1

32l_boundary = -10

33r_boundary = 10

34#初始值

35xx = np.linspace(l_boundary,r_boundary, 300)

36yy = cal_x2y(xx)

38print("init_x:",init_x)

39

40t =Tuihuo_alg(T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x)

41

42val_list = [init_x]

43whileT_start>T_stop:

44foriinrange(iter_num):

45init_y =cal_x2y(init_x)

48ifl_boundary

49new_y =cal_x2y(new_x)

50#print("new_x:",new_x)

51#print('new_y:',new_y)

52delta = new_y -init_y#新减旧

53ifdelta

54init_x = new_x

55else:

56p =np.exp(-delta / (K * T_start))

58init_x =new_x

59#print("new_x:",new_x)

60#print("当前温度：",T_start)

61T_start = T_start * Q

62

63print("最优解x是：", init_x)#这里最初写的是new_x,所以结果一直不对

64print("最优解是：", init_y)

65#比如我加上new_x，真假之间的误差实际就是最后一次的赋值“init_x = new_x”

66print("假最优解x是：", new_x)#这里最初写的是new_x,所以结果一直不对

67print("假最优解是：", new_y)

68

69xx = np.linspace(l_boundary,r_boundary,300)

70yy = cal_x2y(xx)

71plt.plot(xx, yy, label='Tuihuo')

72#plt.plot(x2, y2,label='Second Line')

73plt.xlabel('Xfor tuihuo')#横坐标标题

74plt.ylabel('Yfor tuihuo')#纵坐标标题

75#plt.title('InterestingGraph\nCheck it out',loc="right") #图像标题

76#plt.title('InterestingGraph\nCheck it out')

77plt.legend()#显示Fisrt Line和Second Line（label）的设置

78plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png')

79plt.show()

这里用了class，发现并不需要，但是不想改了，就这样吧。

最优结果为：

得出的示意图为：

三，总结

退火算法的具体思想我没怎么讲，但是核心的点我都写出来了，经过验证发现退火算法得出了（6.551677228904226，-1548.933671426107）的最优解，看看解法二的（6.5，-1549.6875），我们发现，呵呵，差不多，误差来讲的话，能接受，当然读者也可以多跑几个数据出来验证。

我的实验环境是Python3.6，Numpy1.14.3，matplotlib2.2.2，64位win10，1709教育版，OS内核16299.547，就这样吧，尽量讲详细点。