数学建模算法汇编

数学的本质在于它的自由.

—— 康托尔(Cantor)

经过上次的飞航杯竞赛，君君对数学建模产生了十分浓厚的兴趣。今天君君要掏出底牌，给童鞋们分享下君君学习到的一些十分接地气的建模算法。

人工蜂群算法（ABC算法）

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人工蜂群算法(Artificial Bee Colony, ABC)是由Karaboga于2005年提出的一种新颖的基于群智能的全局优化算法，其直观背景来源于蜂群的采蜜行为，蜜蜂根据各自的分工进行不同的活动，并实现蜂群信息的共享和交流，从而找到问题的最优解。人工蜂群算法属于群智能算法的一种。

标准的ABC算法通过模拟实际蜜蜂的采蜜机制将人工蜂群分为3类:采蜜蜂、观察蜂和侦察蜂。整个蜂群的目标是寻找花蜜量最大的蜜源。

在标准的ABC算法中，

采蜜蜂利用先前的蜜源信息寻找新的蜜源并与观察蜂分享蜜源信息；

观察蜂在蜂房中等待并依据采蜜蜂分享的信息寻找新的蜜源；

侦查蜂的任务是寻找一个新的有价值的蜜源，它们在蜂房附近随机地寻找蜜源。

主要流程便是不断寻找蜜源的过程：

1.初始化；

2.重复以下过程：

1）将采蜜蜂与蜜源一一对应，根据上面第一个公式更新蜜源信息，同时确定蜜源的花蜜量；

2）观察蜂根据采蜜蜂所提供的信息采用一定的选择策略选择蜜源，根据第一个公式更新蜜源信息，同时确定蜜源的花蜜量；

3）确定侦查蜂，并根据第三个公式寻找新的蜜源；

记忆迄今为止最好的蜜源；

3.判断终止条件是否成立；

通过上面不断寻优的过程，最终算出区域中的最优解。

BP神经网络算法

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BP神经网络具有任意复杂的模式分类能力和优良的多维函数映射能力，解决了简单感知器不能解决的异或(Exclusive OR，XOR)和一些其他问题。从结构上讲，BP网络具有输入层、隐藏层和输出层；从本质上讲，BP算法就是以网络误差平方为目标函数、采用梯度下降法来计算目标函数的最小值。

BP神经网络是一种多层的前馈神经网络，其主要的特点是：信号是前向传播的，而误差是反向传播的。具体来说，对于如下的只含一个隐层的神经网络模型：

BP神经网络的过程主要分为两个阶段，第一阶段是信号的前向传播，从输入层经过隐含层，最后到达输出层；第二阶段是误差的反向传播，从输出层到隐含层，最后到输入层，依次调节隐含层到输出层的权重和偏置，输入层到隐含层的权重和偏置。

目前，在人工神经网络的实际应用中，绝大部分的神经网络模型都采用BP网络及其变化形式。它也是前向网络的核心部分，体现了人工神经网络的精华。

进化算法

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进化算法，或称“演化算法” (evolutionary algorithms, EAS) 是一个“算法簇”，尽管它有很多的变化，有不同的遗传基因表达方式，不同的交叉和变异算子，特殊算子的引用，以及不同的再生和选择方法，但它们产生的灵感都来自于大自然的生物进化。进化计算具有自组织、自适应、自学习的特性，能够不受问题性质的限制，有效地处理传统优化算法难以解决的复杂问题。

进化计算包括遗传算法(Genetic Algorithms)、遗传规划（Genetic Programming）、进化策略(Evolution Strategies)和进化规划(Evolution Programming)4种典型方法。

以遗传算法为例，其工作步骤可概括为：

（1） 对工作对象——字符串用二进制的0/1或其它进制字符编码。

（2） 根据字符串的长度L，随即产生L个字符组成初始个体。

（3） 计算适应度。适应度是衡量个体优劣的标志，通常是所研究问题的目标函数。

（4） 通过复制，将优良个体插入下一代新群体中，体现“优胜劣汰”的原则。

（5） 交换字符，产生新个体。交换点的位置是随机决定的

（6） 对某个字符进行补运算，将字符1变为0，或将0变为1，这是产生新个体的另一种方法，突变字符的位置也是随机决定的。

（7） 遗传算法是一个反复迭代的过程，每次迭代期间，要执行适应度计算、复制、交换、突变等操作，直至满足终止条件。

蚁群算法

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蚁群算法是一种用来寻找优化路径的概率型算法。它由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中提出，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为。

这种算法具有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，本质上是进化算法中的一种启发式全局优化算法。

将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：

用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

该算法的规则如下：

(1)感知范围

蚂蚁观察到的范围是一个方格世界，相关参数为速度半径，一般为3，可观察和移动的范围为3x3方格。

(2)环境信息

蚂蚁所在环境中有障碍物、其他蚂蚁、信息素，其中信息素包括食物信息素(找到食物的蚂蚁留下的)、窝信息素(找到窝的蚂蚁留下的)，信息素以一定速率消失。

(3)觅食规则

蚂蚁在感知范围内寻找食物，如果感知到就会过去；否则朝信息素多的地方走，每只蚂蚁会以小概率犯错误，并非都往信息素最多的方向移动。蚂蚁找窝的规则类似，仅对窝信息素有反应。

(4)移动规则

蚂蚁朝信息素最多的方向移动，当周围没有信息素指引时，会按照原来运动方向惯性移动。而且会记住最近走过的点，防止原地转圈。

(5)避障规则

当蚂蚁待移动方向有障碍物时，将随机选择其他方向；当有信息素指引时，将按照觅食规则移动。

(6)散发信息素规则

在刚找到食物或者窝时，蚂蚁散发的信息素最多；当随着走远时，散发的信息素将逐渐减少。

君君粗略的讲解或许不能满足大噶对于学习狂热的激情，但足以引导大家学习的方向。

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