从零推导神经网络之入门篇

没错，鸽了这么久我心里波澜不惊。

有任何问题可以找我，不过记得先请我吃饭。

写完这篇，我不会再用word编写公式了

从零推导神经网络之入门篇

什么是神经网络？

可以先看逼乎这个问题下的答案：（https://www.zhihu.com/question/22553761）。

在有了基本概念后（没有也ojbk），我们往下走。

为了实现上述分类功能，我们可以采用如下的一种模型：

假设输入向量为，我们让输出为y=1或y=0（二分类问题）

以垃圾邮件识别为例，输入向量即为每个词汇出现的次数（频率），让输出y=1为垃圾邮件，为普通邮件。

【Tips：这种分类模型可以使用感知器或者逻辑回归（感兴趣的可以看历史文章了解更多）】

这种单个的模型，我们将其称为神经元，模型所使用的方法，称为激活函数。通过激活函数对输入向量的计算，我们就能得到分类结果（第二部分有解释）。

单个神经元能应付很多日常的问题，但是，有时候，单独的一个神经元并不能实现某些功能，如。

然而机智的人们发现，用两个神经元拼接起来就能实现这个功能。

进一步的，多个神经元，很多个神经元，非常多个神经元，当一家人整整齐齐团团圆圆时，我们虽然不知道发生了什么，但他们就是可以实现很神奇的功能。

所以，神经网络就引入了出来。

同样的输入，同样的输出，只不过过程变得复杂，让很多个神经元一起工作，其中一些神经元为另一些神经元服务罢了。

·神经网络的基础函数

1、Sigmoid函数

在神经网络中，我们一般采用Sigmoid函数作为激活函数。

Sigmoid函数也称为Logistic函数，它可以将数字转换到区间（0,1）之间，并且具有可求导等良好的数学特征。

【TIPS：感兴趣的可以看Logistic Regression逻辑回归】

函数公式：

函数图像：

然后，我们来看看PPT的这张图（emmm，其实画的挺好的）。这是一个神经元的计算例子：

具体点的例子，仍然是上面那个孤独的神经元：（两张图片是等价的）

每个神经元发生了两步：

每一层的神经元都这样计算一遍~

这就是前向传播，简单的1b，套公式就行：

这就是前向传播。

额外的，Sigmoid函数求导（后面要用）：

2、损失函数

在一般模型中，我们都会定义一个Cost Function损失函数。

这样的模型中，最优化问题最小化损失函数。

【TIPS：感兴趣的可以看看Gradient Descent梯度下降

Convex optimization凸优化】

为了方便计算，神经网络中，我们定于Cost Function为

【TIPS：真的只是为了方便计算，因为平方误差对于逻辑回归是非凸的）】

（损失函数可以理解为真实值与预测值的差，故只看输出层）

·后项传播推导

Emmm，是这样的，我们站在宏观上来看，如果要使一个模型尽量好，那么我们认为可以调节的只有参数，所以后向传播是“用来调整参数的值”从而“提高模型精度”。

比如：

PPT的这个ANN中，InputVector输入向量已经确定了，为（1,0,1），我们要做的就是调整

这些玩意儿，从而使输出和预期的一样。

开始推导：

单个神经元如下：

我们来看看，对于一个神经元（PPT中的神经元6），他的输入我们当成是Z（PPT中为I），（bias跟着别人跑路了，就不管他了），通过激活函数，那么输出是。

时刻记住，后向传播本质只是链式求导

我们定义每个结点的误差（the error at each node），也就是PPT中的Err为

（Z=PPT中的I）。

【这就是Err的数学来源】

这么做1是因为，方便后续计算，2是因为对输入求导符合直观理解。

以输出层为例子：神经元j（可以直接替换成j=6）Err6的来源：

同样的，各个隐藏层也是这么推导的

对于神经元4，就是神经元4的输入（）：

推导出来后，那么对各个参数的导数就很容易得到啦~比如：

，一阶求导就是答案

最后，就是更新权重（即w家族了）

PPT上直接更新了参数值：l是步长；

为什么这么做呢，感兴趣的查查看梯度下降法，我就不多讲了，不感兴趣的知道公式为：

即可。

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GG，看到这，也大概知道放弃了吧！