快速傅里叶变换中“补零”有何意义？

从时域到频域

这里以快速傅里叶变换（FFT）为对象举实例进行解释，并附上全部MATLAB代码。

另外，说明一下，用MATLAB做FFT并不要求数据点个数必须为以2为基数的整数次方。之所以很多资料上说控制数据点数为以2为基数的整数次方，是因为这样就能采用以2为基的FFT算法，提升运算性能。

如果数据点数不是以2为基数的整数次方，处理方法有两种，一种是在原始数据开头或末尾补零，即将数据补到以2为基数的整数次方，这是“补零”的一个用处；第二种是采用以任意数为基数的FFT算法。

而MATLAB的 fft(x,N) 函数在参数 N 正好就是数据 x 的长度，但又不是以2为基数的整数次方时，并不会采用补零的方法，而应该是采用以任意数为基数的FFT算法（说“应该”是因为帮助文档里没有明确说明），这样也能得到很好的结果，只不过速度要稍稍慢了一些，以通常的计算量是体现不出来的。

快速傅里叶变换 FFT

比如，现在有一个信号，这个信号中仅包含两个正（余）弦波，一个是 1 MHz ，一个是 1.05 MHz ，即 x = cos(2π×1000000 t) + cos(2π×1050000 t) 。设定采样频率为 Fs=100 MHz，如果采 1000 个点，那么时域信号的时长就有 10 μs。

图1. 1000个数据点

如果，直接对这1000个数据点做快速傅里叶变换，将得到频谱图：

图2. 1000个数据点做FFT的频谱

可以发现，频谱点稀疏，在1MHz附近根本无法将1 MHz 和1.05 MHz 的两个频率分开。

频率分辨率

发现频率成分无法被区分开来，第一反应应该就是：频率分辨率不够。那么，如何提高频率分辨率呢？首先要清楚，这里存在两种类型的频率分辨率。

一种叫波形分辨率，其由原始数据的时间长度决定：

另一种可以称之为视觉分辨率或FFT分辨率，其由采样频率和参与FFT的数据点数决定[1]：

之所以要区分，就是因为后面要进行“补零”的操作。如果不补零，直接对原始数据做FFT，那么这两种分辨率是相等的。

例如上面，有：

补零

那么，如果现在在原始数据点后补零会有什么效果呢？假设在这 1000 个原始数据点后面再补充零达到 6000 个点，那么数据变成了：

图3. 7000个补零后数据点

此时对其做快速傅里叶变换，结果如下：

图4. 7000个补零后数据点做FFT的频谱

可以发现，频谱点密集了不少，但是在 1MHz 附近依然无法将 1MHz 和 1.05MHz 的两个频率成分分开。这是因为从式 (1) 可以看出，波形分辨率只与原始数据的时长T有关，而与参与FFT的数据点数无关。虽然补了很多零，但波形分辨率依然为1/10μs= 100 kHz，该分辨率大于1MHz 和 1.05MHz 这两个频率成分之间的距离50 kHz 。这就好比用筛子分黄豆和大米，分辨率就好像是筛子上孔的大小，如果筛子的孔太大了，就没有办法把这两者分开。

而“时域补零相当于频域插值”[2]，也就是说，补零操作增加了频域的插值点数，让频域曲线看起来更加光滑，也就是增加了FFT频率分辨率，注意式(2) 所示，这是“补零”的另一个原因。

频谱泄漏

显然，根据上面的分析可知，在采样频率不变的情况下，要想将1MHz 和 1.05MHz这两个频率成分分析出来，光靠“补零”是不够的，必须要改变波形分辨率，也就是要延长原始数据的时长。现在以相同的采样频率对信号采 7000个点作为原始信号：

图5. 7000个数据点

对其做快速傅里叶变换，结果如下：

图6. 7000个数据点做FFT的频谱

因为此时的波形分辨率为：1/70μs≈14kHz ，小于1MHz 和 1.05MHz这两个频率成分之间的距离50 kHz，所以可以看出有两个明显的峰值。

但是会发现1MHz对应的幅值为1，与原始信号中该频率成分的幅值一致，但1.05MHz对应的幅值明显低于1，但是其周边的点上却都有不小的幅值，这就是所谓的频谱泄露，因为数据点的个数影响，使得在1MHz处有谱线存在，但在1.05MHz处没有谱线存在，使测量结果偏离实际值 ,同时在实际频率点的能量分散到两侧的其它频率点上，并出现一些幅值较小的假谱。

为了解决这个问题，可以设法使得谱线同时经过1MHz 和 1.05MHz这两个频率点，找到他们的公约数。

如果原始数据不变，在后面再补充 1000 个零点：

图7. 8000个补零后数据点

那么FFT分辨率就是 12.5kHz ，是这两个频率的公约数， 1MHz=80×12.5kHz ；1.05MHz=84×12.5kHz ，所以谱线同时经过1MHz 和 1.05MHz这两个频率点。

对其做快速傅里叶变换，结果如下：

图8. 8000个补零后数据点做FFT的频谱

会发现1MHz 和 1.05MHz对应的幅值均为1，与原始信号一致。这也是一种补零操作带来的影响。

图8 中会有一些旁瓣出现，这是因为补零影响了原始信号，如果，直接采8000个点作为原始数据，即将程序中的L0改为8000，那么有：

图9. 8000个数据点

并对其做FFT，结果如下

图10. 8000个数据点做FFT的频谱

这样也就不存在补零带来的误差了。

参考

Zero Padding http://www.bitweenie.com/listings/fft-zero-padding/

ZeroPaddingTheorem https://ccrma.stanford.edu/~jos/dft/Zero_Padding_Theorem_Spectral.html