R语言广义相加模型（GAMs）分析预测CO2时间序列数据

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这基本上就是具有 光滑函数的广义线性模型（GLM）的扩展 。当然，当您使用光滑项拟合模型时，可能会发生许多复杂的事情，但是您只需要了解基本原理即可。

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理论

让我们从高斯线性模型的方程开始 ：

GAM中发生的变化是存在光滑项：

这仅意味着对线性预测变量的贡献现在是函数f。从概念上讲，这与使用二次项（

）或三次项（）作为预测变量没什么不同。

在这里，我们将重点放在样条曲线上。在过去，它可能类似于分段线性函数。

例如，您可以在模型中包含线性项和光滑项的组合

或者我们可以拟合广义分布和随机效应

一个简单的例子

让我们尝试一个简单的例子。首先，让我们创建一个数据框，并创建一些具有明显非线性趋势的模拟数据，并比较一些模型对该数据的拟合程度。

尝试拟合普通的线性模型：

并使用 in 绘制带有数据的拟合线

查看图或 ，您可能会认为模型拟合得很好，但请查看残差图

显然，残差未均匀分布在x的值上，因此我们需要考虑一个更好的模型。

运行分析

在R中运行GAM。

要运行GAM，我们使用：

要提取拟合值，我们可以  ：

但是对于简单的模型，我们还可以利用中的  参数来 指定模型公式。

您可以看到该模型更适合数据，检查诊断信息。

快速简便地查看残差图。

对模型对象使用summary将为您提供光滑项（以及任何参数项）的意义，以及解释的方差。在这个例子中，非常合适。“edf”是估计的自由度——本质上，数量越大，拟合模型就越摇摆。大约为1的值趋向于接近线性项。

光滑函数项

如上所述，我们将重点介绍样条曲线，因为样条曲线是最常实现的光滑函数（非常快速且稳定）。那么，当我们指定时实际发生了什么 ？

好吧，这就是我们说要把y拟合为x个函数集的线性函数的地方。默认输入为薄板回归样条-您可能会看到的常见样条是三次回归样条。三次回归样条曲线具有 我们在谈论样条曲线时想到的传统 _结点_–在这种情况下，它们均匀分布在协变量范围内。

基函数

我们将从拟合模型开始，记住光滑项是一些函数的和，

首先，我们提取_基本函数_集  （即光滑项的bj（xj）部分）。然后我们可以画出第一和第二基函数。

现在，让我们绘制所有基函数的图，然后再将其添加到GAM（）的预测中。

现在，最容易想到这样-每条虚线都代表一个函数（bj），据此  估算系数（βj），将它们相加即可得出对应的f（x）的贡献（即先前的等式）。对于此示例而言，它很好且简单，因为我们仅根据光滑项对y进行建模，因此它是相当相关的。顺便说一句，您也可以只使用  绘制光滑项。

好的，现在让我们更详细地了解基函数的构造方式。您会看到函数的构造与因变量数据是分开的。为了证明这一点，我们将使用 。

现在证明您可以从基本函数和估计系数到拟合的光滑项。再次注意，这里简化了，因为模型只是一个光滑项。如果您有更多的项，我们需要将线性预测模型中的所有项相加。

请看下面的图，记住这  是基函数的矩阵。

通过  ，  光滑模型类型的所有选项，基本函数的构造方式（惩罚等），我们可以指定的模型类型（随机效应，线性函数，交互作用）。

真实例子

我们查看一些CO2数据，为数据拟合几个GAM，以尝试区分年度内和年度间趋势。

首先加载数据 。

我们想首先查看年趋势，因此让我们将日期转换为连续的时间变量（采用子集进行可视化）。

我们来绘制它，并考虑一个平稳的时间项。

我们为这些数据拟合GAM

它拟合具有单个光滑时间项的模型。我们可以查看以下预测值：

请注意光滑项如何减少到“普通”线性项的（edf为1）-这是惩罚回归样条曲线的优点。但如果我们检查一下模型，就会发现有些东西是混乱的。

残差图的上升和下降模式看起来很奇怪-显然存在某种依赖关系结构（我们可能会猜测，这与年内波动有关）。让我们再试一次，并引入一种称为周期光滑项。

周期性光滑项fintrannual（month）由基函数组成，与我们已经看到的相同，只是样条曲线的端点被约束为相等，这在建模时是有意义的周期性（跨月/跨年）的变量。

现在，我们将看到  用于选择光滑器类型的 参数和用于选择结数的 参数，因为三次回归样条曲线具有固定的结数。我们使用12结，因为有12个月。

让我们看一下拟合的光滑项：

从这两个光滑项来看，我们可以看到，月度光滑项检测到CO2浓度的月度上升和下降——从相对幅度（即月度波动与长期趋势）来看，我们可以看出消除时间序列成分是多么重要。让我们看看现在的模型诊断是怎样的：

好多了。让我们看一下季节性因素如何与整个长期趋势相对应。

结果

从本质上讲，您可以将GAM的模型结果表示为任何其他线性模型，主要区别在于，对于光滑项，没有单一系数可供推断（即负、正、效应大小等）。因此，您需要依靠视觉上解释光滑项（例如从对plot（gam_model）的调用）或根据预测值进行推断。当然，你可以在模型中包含普通的线性项（无论是连续的还是分类的，甚至在方差分析类型的框架中），并像平常一样从中进行推断。事实上，GAM对于解释一个非线性现象通常是有用的，这个非线性现象并不直接引起人们的兴趣，但在推断其他变量时需要加以解释。

您可以通过 在拟合的gam模型上调用函数来绘制局部效果 ，还可以查看参数项，也可以使用  函数。您可以 像本教程前面所述那样使用 简单的模型，但是对于更复杂的模型，最好知道如何使用数据 。