专栏首页红色石头的机器学习之路中国台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记8 -- Noise and Error

中国台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记8 -- Noise and Error

上一节课,我们主要介绍了VC Dimension的概念。如果Hypotheses set的VC Dimension是有限的,且有足够多N的资料,同时能够找到一个hypothesis使它的Ein≈0E_{in}\approx 0,那么就能说明机器学习是可行的。本节课主要讲了数据集有Noise的情况下,是否能够进行机器学习,并且介绍了假设空间H下演算法A的Error估计。

一、Noise and Probablistic target

上节课推导VC Dimension的数据集是在没有Noise的情况下,本节课讨论如果数据集本身存在Noise,那VC Dimension的推导是否还成立呢?

首先,Data Sets的Noise一般有三种情况:

  • 由于人为因素,正类被误分为负类,或者负类被误分为正类;
  • 同样特征的样本被模型分为不同的类;
  • 样本的特征被错误记录和使用。

之前的数据集是确定的,即没有Noise的,我们称之为Deterministic。现在有Noise了,也就是说在某点处不再是确定分布,而是概率分布了,即对每个(x,y)出现的概率是P(y|x)。

因为Noise的存在,比如在x点,有0.7的概率y=1,有0.3的概率y=0,即y是按照P(y|x)分布的。数学上可以证明如果数据集按照P(y|x)概率分布且是iid的,那么以前证明机器可以学习的方法依然奏效,VC Dimension有限即可推断E{in}和E{out}是近似的。

P(y|x)称之为目标分布(Target Distribution)。它实际上告诉我们最好的选择是什么,同时伴随着多少noise。其实,没有noise的数据仍然可以看成“特殊”的P(y|x)概率分布,即概率仅是1和0.对于以前确定的数据集: P(y|x)=1,for \space y=f(x) P(y|x)=0,for \space y\neq f(x)

在引入noise的情况下,新的学习流程图如下所示:

二、ERROR Measure

机器学习需要考虑的问题是找出的矩g与目标函数f有多相近,我们一直使用E_{out}进行误差的估计,那一般的错误测量有哪些形式呢?

我们介绍的矩g对错误的衡量有三个特性:

  • out-of-sample:样本外的未知数据
  • pointwise:对每个数据点x进行测试
  • classification:看prediction与target是否一致,classification error通常称为0/1 error

PointWise error实际上就是对数据集的每个点计算错误并计算平均,E{in}和E{out}的pointwise error的表达式为:

pointwise error是机器学习中最常用也是最简单的一种错误衡量方式,未来课程中,我们主要考虑这种方式。pointwise error一般可以分成两类:0/1 error和squared error。0/1 error通常用在分类(classification)问题上,而squared error通常用在回归(regression)问题上。

Ideal Mini-Target由P(y|x)和err共同决定,0/1 error和squared error的Ideal Mini-Target计算方法不一样。例如下面这个例子,分别用0/1 error和squared error来估计最理想的mini-target是多少。0/1 error中的mini-target是取P(y|x)最大的那个类,而squared error中的mini-target是取所有类的加权平方和。

有了错误衡量,就会知道当前的矩g是好还是不好,并会让演算法不断修正,得到更好的矩g,从而使得g与目标函数更接近。所以,引入error measure后,学习流程图如下所示:

三、Algorithmic Error Measure

Error有两种:false accept和false reject。false accept意思是误把负类当成正类,false reject是误把正类当成负类。 根据不同的机器学习问题,false accept和false reject应该有不同的权重,这根实际情况是符合的,比如是超市优惠,那么false reject应该设的大一些;如果是安保系统,那么false accept应该设的大一些。

机器学习演算法A的cost function error估计有多种方法,真实的err一般难以计算,常用的方法可以采用plausible或者friendly,根据具体情况而定。

引入algorithm error measure之后,学习流程图如下:

四、Weighted Classification

实际上,机器学习的Cost Function即来自于这些error,也就是算法里面的迭代的目标函数,通过优化使得Error(Ein)不断变小。 cost function中,false accept和false reject赋予不同的权重,在演算法中体现。对不同权重的错误惩罚,可以选用virtual copying的方法。

五、总结

本节课主要讲了在有Noise的情况下,即数据集按照P(y|x)概率分布,那么VC Dimension仍然成立,机器学习算法推导仍然有效。机器学习cost function常用的Error有0/1 error和squared error两类。实际问题中,对false accept和false reject应该选择不同的权重。

注明:

文章中所有的图片均来自中国台湾大学林轩田《机器学习基石》课程。

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