台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记6 -- Theory of Generalization

上一节课,我们主要探讨了当M的数值大小对机器学习的影响。如果M很大,那么就不能保证机器学习有很好的泛化能力,所以问题转换为验证M有限,即最好是按照多项式成长。然后通过引入了成长函数m_H(N)和dichotomy以及break point的概念,提出2D perceptrons的成长函数m_H(N)是多项式级别的猜想。这就是本节课将要深入探讨和证明的内容。

一、Restriction of Break Point

我们先回顾一下上节课的内容,四种成长函数与break point的关系:

下面引入一个例子,如果k=2,那么当N取不同值的时候,计算其成长函数m_H(N)是多少。很明显,当N=1时,m_H(N)=2,;当N=2时,由break point为2可知,任意两点都不能被shattered(shatter的意思是对N个点,能够分解为2^N种dichotomies);m_H(N)最大值只能是3;当N=3时,简单绘图分析可得其m_H(N)=4,即最多只有4种dichotomies。

所以,我们发现当N>k时,break point限制了m_H(N)值的大小,也就是说影响成长函数m_H(N)的因素主要有两个:

  • 抽样数据集N
  • break point k(这个变量确定了假设的类型)

那么,如果给定N和k,能够证明其m_H(N)的最大值的上界是多项式的,则根据霍夫丁不等式,就能用m_H(N)代替M,得到机器学习是可行的。所以,证明m_H(N)的上界是poly(N),是我们的目标。

二、Bounding Function: Basic Cases

现在,我们引入一个新的函数:bounding function,B(N,k)。Bound Function指的是当break point为k的时候,成长函数m_H(N)可能的最大值。也就是说B(N,k)m_H(N)的上界,对应m_H(N)最多有多少种dichotomy。那么,我们新的目标就是证明: B(N,k)\leq poly(N)

这里值得一提的是,B(N,k)的引入不考虑是1D postive intrervals问题还是2D perceptrons问题,而只关心成长函数的上界是多少,从而简化了问题的复杂度。

求解B(N,k)的过程十分巧妙:

  • 当k=1时,B(N,1)恒为1。
  • 当N < k时,根据break point的定义,很容易得到B(N,k)=2^N
  • 当N = k时,此时N是第一次出现不能被shatter的值,所以最多只能有2^N-1个dichotomies,则B(N,k)=2^N-1

到此,bounding function的表格已经填了一半了,对于最常见的N>k的情况比较复杂,推导过程下一小节再详细介绍。

三、Bounding Function: Inductive Cases

N > k的情况较为复杂,下面给出推导过程:

以B(4,3)为例,首先想着能否构建B(4,3)与B(3,x)之间的关系。

首先,把B(4,3)所有情况写下来,共有11组。也就是说再加一种dichotomy,任意三点都能被shattered,11是极限。

对这11种dichotomy分组,目前分成两组,分别是orange和purple,orange的特点是,x1,x2和x3是一致的,x4不同并成对,例如1和5,2和8等,purple则是单一的,x1,x2,x3都不同,如6,7,9三组。

将Orange去掉x4后去重得到4个不同的vector并成为α,相应的purple为β。那么B(4,3) = 2\alpha + \beta,这个是直接转化。紧接着,由定义,B(4,3)是不能允许任意三点shatter的,所以由α和β构成的所有三点组合也不能shatter(alpha经过去重),即\alpha + \beta\leq B(3,3)

另一方面,由于α中x4是成对存在的,且α是不能被任意三点shatter的,则能推导出α是不能被任意两点shatter的。这是因为,如果α不能被任意两点shatter,而x4又是成对存在的,那么x1、x2、x3、x4组成的α必然能被三个点shatter。这就违背了条件的设定。这个地方的推导非常巧妙,也解释了为什么会这样分组。此处得到的结论是\\alpha \leq B(3,2)

由此得出B(4,3)与B(3,x)的关系为:

最后,推导出一般公式为:

根据推导公式,下表给出B(N,K)

根据递推公式,推导出B(N,K)满足下列不等式:

上述不等式的右边是最高阶为k-1的N多项式,也就是说成长函数m_H(N)的上界B(N,K)的上界满足多项式分布poly(N),这就是我们想要得到的结果。

得到了m_H(N)的上界B(N,K)的上界满足多项式分布poly(N)后,我们回过头来看看之前介绍的几种类型它们的m_H(N)与break point的关系:

我们得到的结论是,对于2D perceptrons,break point为k=4m_H(N)的上界是N^{k-1}。推广一下,也就是说,如果能找到一个模型的break point,且是有限大的,那么就能推断出其成长函数m_H(N)有界。

四、A Pictorial Proof

我们已经知道了成长函数的上界是poly(N)的,下一步,如果能将m_H(N)代替M,代入到Hoffding不等式中,就能得到E_{out}\approx E_{in}的结论:

实际上并不是简单的替换就可以了,正确的表达式为:

该推导的证明比较复杂,我们可以简单概括为三个步骤来证明:

这部分内容,我也只能听个大概内容,对具体的证明过程有兴趣的童鞋可以自行研究一下,研究的结果记得告诉一下我哦。

最终,我们通过引入成长函数m_H,得到了一个新的不等式,称为Vapnik-Chervonenkis(VC) bound:

对于2D perceptrons,它的break point是4,那么成长函数m_H(N)=O(N^3)。所以,我们可以说2D perceptrons是可以进行机器学习的,只要找到hypothesis能让E_{in}\approx0,就能保证E_{in}\approx E_{out}

五、总结

本节课我们主要介绍了只要存在break point,那么其成长函数m_H(N)就满足poly(N)。推导过程是先引入m_H(N)的上界B(N,k),B(N,k)的上界是N的k-1阶多项式,从而得到m_H(N)的上界就是N的k-1阶多项式。然后,我们通过简单的三步证明,将m_H(N)代入了Hoffding不等式中,推导出了Vapnik-Chervonenkis(VC) bound,最终证明了只要break point存在,那么机器学习就是可行的。

注明:

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程。

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