数据结构 Huffman树

Huffman 介绍

哈夫曼树又称最优二叉树,是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度,就是树中所有的叶结点权值乘上其到根结点的路径长度(若根结点为0层,叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数)。树的带权路径长度记为WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln),N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树,相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

什么是哈夫曼树呢?

样例解释

哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树,也称为最优二叉树。下面用一幅图来说明。

它们的带权路径长度分别为:

图a: WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54

图b: WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48

 设 根节点深度为 0

WPL

理解就是各个点的编码值和在哈夫曼生成树上的深度的乘积的和

可见,图b的带权路径长度较小,我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。

构建哈夫曼树 —————— 选集合中最小的两个(every)

三,哈夫曼编码

利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径,对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码,指向右子树的分支表示“1”码,取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码,即是哈夫曼编码。

就拿上图例子来说:

A,B,C,D对应的哈夫曼编码分别为:111,10,110,0

用图说明如下:

记住,设计电文总长最短的二进制前缀编码,就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树,由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码

1-1

对N(≥)个权值均不相同的字符构造哈夫曼树,则树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值。

正确:

哈夫曼树的构造特点,为了使得WPL值最小,那么越是值大的节点,他在哈夫曼生成树上的深度越小

可以根据上述公式证明

,假设WPL值是个定值,增加val(i),要保持WPL的值不改变,那么deep(i)必须相应的减少。

2-1

对N(N≥2)个权值均不相同的字符构造哈夫曼树。下列关于该哈夫曼树的叙述中,错误的是: 

1. 先去理解哈夫曼树的构造过程,优先队列,每次取两个val最小的点,进行组合,所以,Huffman树中不会存在度数为0的点

2.同理,下面会给出代码;

3.1-1已经证明

4.错误

n 个数值,进行编码,求解WPL值的代码,stl 优先队列实现

代码很重要,最好记下来

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long  
#define exp 1e-9  
#define MAXN 1000010          
using namespace std;  
  
int main( )    
{    
//  freopen("D:\\in.txt","r",stdin);  
    int n,i;  
    LL sum,tmp,q1,q2;  
    scanf("%d",&n);  
    priority_queue<LL,vector<LL>,greater<LL> > pq;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
        scanf("%lld",&tmp);  
        pq.push(tmp);  
    }  
    sum=0;  
    if(n==1)  
    {  
        printf("%lld\n",tmp);  
    }  
    else  
    {  
        while(!pq.empty())  
        {  
            q1=pq.top();  
            pq.pop();  
            if(pq.empty())  
            {  
                printf("%lld\n",sum);  
                break;  
            }  
            else  
            {  
                q2=pq.top();  
                pq.pop();  
                tmp=q1+q2;  
                pq.push(tmp);  
                sum+=tmp;  
            }  
        }  
    }  
    return 0;    
}    

2-5

已知字符集{ a, b, c, d, e, f, g, h }。若各字符的哈夫曼编码依次是 0100, 10, 0000, 0101, 001, 011, 11, 0001,则编码序列 0100011001001011110101 的译码结果是:

这种题目:枚举暴力尝试:

 C语言实现Huffman , 便于理解编码过程,做题推荐上面的代码,不推荐记忆;

#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string>
#include <iostream>

#define MAXBIT      100
#define MAXVALUE  10000
#define MAXLEAF     30
#define MAXNODE    MAXLEAF*2 -1

typedef struct 
{
    int bit[MAXBIT];
    int start;
} HCodeType;        /* 编码结构体 */
typedef struct
{
    int weight;
    int parent;
    int lchild;
    int rchild;
    char value;
} HNodeType;        /* 结点结构体 */

/* 构造一颗哈夫曼树 */
void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],  int n)
{ 
    /* i、j: 循环变量,m1、m2:构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值,
    x1、x2:构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/
    int i, j, m1, m2, x1, x2;
    /* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */
    for (i=0; i<2*n-1; i++)
    {
        HuffNode[i].weight = 0;//权值 
        HuffNode[i].parent =-1;
        HuffNode[i].lchild =-1;
        HuffNode[i].rchild =-1;
        HuffNode[i].value=' '; //实际值,可根据情况替换为字母  
    } /* end for */

    /* 输入 n 个叶子结点的权值 */
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        printf ("Please input char of leaf node: ", i);
        scanf ("%c",&HuffNode[i].value);

        getchar();
    } /* end for */
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        printf ("Please input  weight of leaf node: ", i);
        scanf ("%d",&HuffNode[i].weight);

        getchar();
    } /* end for */

    /* 循环构造 Huffman 树 */
    for (i=0; i<n-1; i++)
    {
        m1=m2=MAXVALUE;     /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */
        x1=x2=0;
        /* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点,并合并之为一颗二叉树 */
        for (j=0; j<n+i; j++)
        {
            if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
            {
                m2=m1; 
                x2=x1; 
                m1=HuffNode[j].weight;
                x1=j;
            }
            else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
            {
                m2=HuffNode[j].weight;
                x2=j;
            }
        } /* end for */
        /* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */
        HuffNode[x1].parent  = n+i;
        HuffNode[x2].parent  = n+i;
        HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
        HuffNode[n+i].lchild = x1;
        HuffNode[n+i].rchild = x2;

        printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight);  /* 用于测试 */
        printf ("\n");
    } /* end for */

} /* end HuffmanTree */

//解码 
void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
{
    int i,tmp=0,code[1024];
    int m=2*Num-1;
    char *nump;
    char num[1024];
    for(i=0;i<strlen(string);i++)
    {
        if(string[i]=='0')
            num[i]=0;        
        else
            num[i]=1;                    
    } 
    i=0;
    nump=&num[0];

    while(nump<(&num[strlen(string)]))
    {tmp=m-1;
    while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
    {
        if(*nump==0)
        {
            tmp=Buf[tmp].lchild ;          
        } 
        else tmp=Buf[tmp].rchild;
        nump++;

    } 
    printf("%c",Buf[tmp].value);                                  
    }
}

int main(void)
{

    HNodeType HuffNode[MAXNODE];            /* 定义一个结点结构体数组 */
    HCodeType HuffCode[MAXLEAF],  cd;       /* 定义一个编码结构体数组, 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */
    int i, j, c, p, n;
    char pp[100];
    printf ("Please input n:\n");
    scanf ("%d", &n);
    HuffmanTree (HuffNode, n);

    for (i=0; i < n; i++)
    {
        cd.start = n-1;
        c = i;
        p = HuffNode[c].parent;
        while (p != -1)   /* 父结点存在 */
        {
            if (HuffNode[p].lchild == c)
                cd.bit[cd.start] = 0;
            else
                cd.bit[cd.start] = 1;
            cd.start--;        /* 求编码的低一位 */
            c=p;                    
            p=HuffNode[c].parent;    /* 设置下一循环条件 */
        } /* end while */

        /* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */
        for (j=cd.start+1; j<n; j++)
        { HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}
        HuffCode[i].start = cd.start;
    } /* end for */

    /* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
        for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
        {
            printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
        }
        printf(" start:%d",HuffCode[i].start);

        printf ("\n");

    }
    printf("Decoding?Please Enter code:\n");
    scanf("%s",&pp);
    decodeing(pp,HuffNode,n);
    getchar();
    return 0;
}

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