数据结构 Huffman树
Huffman 介绍
哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。
什么是哈夫曼树呢？
样例解释
哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树。下面用一幅图来说明。
它们的带权路径长度分别为：
图a： WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54
图b： WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48
设 根节点深度为 0
WPL
理解就是各个点的编码值和在哈夫曼生成树上的深度的乘积的和
可见，图b的带权路径长度较小，我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。
构建哈夫曼树 —————— 选集合中最小的两个（every）
三，哈夫曼编码
利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径，对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码，即是哈夫曼编码。
就拿上图例子来说：
A，B，C，D对应的哈夫曼编码分别为：111，10，110，0
用图说明如下：
记住，设计电文总长最短的二进制前缀编码，就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树，由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码
1-1
对N（≥）个权值均不相同的字符构造哈夫曼树，则树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值。
正确：
哈夫曼树的构造特点，为了使得WPL值最小，那么越是值大的节点，他在哈夫曼生成树上的深度越小
可以根据上述公式证明
，假设WPL值是个定值，增加val（i），要保持WPL的值不改变，那么deep(i)必须相应的减少。
2-1
对N（N≥2）个权值均不相同的字符构造哈夫曼树。下列关于该哈夫曼树的叙述中，错误的是：
1. 先去理解哈夫曼树的构造过程，优先队列，每次取两个val最小的点，进行组合，所以，Huffman树中不会存在度数为0的点
2.同理，下面会给出代码；
3.1-1已经证明
4.错误
n 个数值，进行编码，求解WPL值的代码，stl 优先队列实现
代码很重要，最好记下来
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define exp 1e-9
#define MAXN 1000010
using namespace std;
int main( )
{
// freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
int n,i;
LL sum,tmp,q1,q2;
scanf("%d",&n);
priority_queue<LL,vector<LL>,greater<LL> > pq;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&tmp);
pq.push(tmp);
}
sum=0;
if(n==1)
{
printf("%lld\n",tmp);
}
else
{
while(!pq.empty())
{
q1=pq.top();
pq.pop();
if(pq.empty())
{
printf("%lld\n",sum);
break;
}
else
{
q2=pq.top();
pq.pop();
tmp=q1+q2;
pq.push(tmp);
sum+=tmp;
}
}
}
return 0;
} 2-5
已知字符集{ a, b, c, d, e, f, g, h }。若各字符的哈夫曼编码依次是 0100, 10, 0000, 0101, 001, 011, 11, 0001，则编码序列 0100011001001011110101 的译码结果是：
这种题目：枚举暴力尝试：
C语言实现Huffman ， 便于理解编码过程，做题推荐上面的代码，不推荐记忆；
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string>
#include <iostream>
#define MAXBIT 100
#define MAXVALUE 10000
#define MAXLEAF 30
#define MAXNODE MAXLEAF*2 -1
typedef struct
{
int bit[MAXBIT];
int start;
} HCodeType; /* 编码结构体 */
typedef struct
{
int weight;
int parent;
int lchild;
int rchild;
char value;
} HNodeType; /* 结点结构体 */
/* 构造一颗哈夫曼树 */
void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE], int n)
{
/* i、j： 循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值，
x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/
int i, j, m1, m2, x1, x2;
/* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */
for (i=0; i<2*n-1; i++)
{
HuffNode[i].weight = 0;//权值
HuffNode[i].parent =-1;
HuffNode[i].lchild =-1;
HuffNode[i].rchild =-1;
HuffNode[i].value=' '; //实际值，可根据情况替换为字母
} /* end for */
/* 输入 n 个叶子结点的权值 */
for (i=0; i<n; i++)
{
printf ("Please input char of leaf node: ", i);
scanf ("%c",&HuffNode[i].value);
getchar();
} /* end for */
for (i=0; i<n; i++)
{
printf ("Please input weight of leaf node: ", i);
scanf ("%d",&HuffNode[i].weight);
getchar();
} /* end for */
/* 循环构造 Huffman 树 */
for (i=0; i<n-1; i++)
{
m1=m2=MAXVALUE; /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */
x1=x2=0;
/* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */
for (j=0; j<n+i; j++)
{
if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
{
m2=m1;
x2=x1;
m1=HuffNode[j].weight;
x1=j;
}
else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
{
m2=HuffNode[j].weight;
x2=j;
}
} /* end for */
/* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */
HuffNode[x1].parent = n+i;
HuffNode[x2].parent = n+i;
HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
HuffNode[n+i].lchild = x1;
HuffNode[n+i].rchild = x2;
printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight); /* 用于测试 */
printf ("\n");
} /* end for */
} /* end HuffmanTree */
//解码
void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
{
int i,tmp=0,code[1024];
int m=2*Num-1;
char *nump;
char num[1024];
for(i=0;i<strlen(string);i++)
{
if(string[i]=='0')
num[i]=0;
else
num[i]=1;
}
i=0;
nump=&num[0];
while(nump<(&num[strlen(string)]))
{tmp=m-1;
while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
{
if(*nump==0)
{
tmp=Buf[tmp].lchild ;
}
else tmp=Buf[tmp].rchild;
nump++;
}
printf("%c",Buf[tmp].value);
}
}
int main(void)
{
HNodeType HuffNode[MAXNODE]; /* 定义一个结点结构体数组 */
HCodeType HuffCode[MAXLEAF], cd; /* 定义一个编码结构体数组， 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */
int i, j, c, p, n;
char pp[100];
printf ("Please input n:\n");
scanf ("%d", &n);
HuffmanTree (HuffNode, n);
for (i=0; i < n; i++)
{
cd.start = n-1;
c = i;
p = HuffNode[c].parent;
while (p != -1) /* 父结点存在 */
{
if (HuffNode[p].lchild == c)
cd.bit[cd.start] = 0;
else
cd.bit[cd.start] = 1;
cd.start--; /* 求编码的低一位 */
c=p;
p=HuffNode[c].parent; /* 设置下一循环条件 */
} /* end while */
/* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */
for (j=cd.start+1; j<n; j++)
{ HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}
HuffCode[i].start = cd.start;
} /* end for */
/* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */
for (i=0; i<n; i++)
{
printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
{
printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
}
printf(" start:%d",HuffCode[i].start);
printf ("\n");
}
printf("Decoding?Please Enter code:\n");
scanf("%s",&pp);
decodeing(pp,HuffNode,n);
getchar();
return 0;
}