挑战程序竞赛系列(81):4.3 LCA(1)

挑战程序竞赛系列(81):4.3 LCA(1)

传送门:POJ 2763: Housewife Wind

题意:

XX村里有n个小屋,小屋之间有双向可达的道路相连,所构成的图是一棵树。通过连接aia_i号小屋和bib_i号小屋的道路i需要花费wiw_i的时间。你一开始在s号小屋。请处理以下Q个查询。 A:输出从当前位置移动到结点x所需要的时间。 B:将通过道路x所需的时间改为t。

所需知识点: RMQ, BIT 和 LCA,还好之前已经学过RMQ和BIT了,只需要了解了解LCA即可。

LCA : 最近公共祖先,如果是树形链表的表达结构,可以采用递归法,具体参考leetcode题: https://leetcode.com/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/

当然,如果给定邻接表该如何操作?《挑战》上给出了两种做法: 1. 基于二分搜索的算法,请自行参考《挑战》P328 2. 基于RMQ的算法

基于RMQ的算法

很容易理解,在dfs求解时,非叶子结点在vs中均出现了两次,这是因为非叶子结点在访问左孩子结束后,还需返回到当前结点,并继续搜索右孩子,利用上述性质,只需要知道任意两个结点首次被访问的时间戳,就可以求出它们的LCA,一定是在该区间内,深度最小的那个结点。

查询某个区间的最小值,可以使用RMQ实现log(n)\log(n)的查询。

此处,有些很重要的性质可以挖掘,比如vs的访问顺序已知,那么对于任意两个结点之间的路径,可以直接求出。

嘿,这就能够利用BIT高效更新了啊,VS中的每个结点与前一个结点可以看作是每一条边,那么完全可以把这些信息存入BIT中,那么每当要修改某条边时,能够快速查询到对应BIT的位置即可。而结点与结点之间的距离求解时,使用上述u,v之间的距离公式即可解决。

总结: RMQ用于求解LCA,有了LCA,可以快速算出u,v之间的距离(见代码),BIT能够快速更新每条边的值,且实现某区间内的求和。

代码如下:

import java.io.BufferedReader;
import java.io.File;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStream;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {

    String INPUT = "./data/judge/201709/P2763.txt";

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        new Main().run();
    }

    static final int MAX_V = 100001 + 16;
    int N, Q, S;
    int root;
    int[] w;
    List<Edge>[] g;

    class Edge {
        int id;
        int to;
        int cost;
        Edge(int id, int to, int cost){
            this.id   = id;
            this.to   = to;
            this.cost = cost;
        }
    }

    class BIT {
        static final int MAX_N  = MAX_V * 2 + 16;
        int[] BIT;
        int n;

        BIT(int n){
            this.n = n;
            BIT = new int[MAX_N];
        }

        void add(int i, int val) {
            while (i <= n) {
                BIT[i] += val;
                i += i & -i;
            }
        }

        long sum(int i) {
            long s = 0;
            while (i > 0) {
                s += BIT[i];
                i -= i & -i;
            }
            return s;
        }
    }

    class RMQ {

        int n_;
        int[] dat;
        int[] data;

        RMQ(int N){
            this.n_ = 1;
            while (n_ < N) n_ *= 2;
            dat = new int[2 * n_];
            for (int i = 0; i < 2 * n_ - 1; ++i) dat[i] = -1;
        }


        RMQ(int[] data, int N){
            this(N);
            this.data = data;
            for (int i = 0; i < N; ++i) {
                update(i, i);
            }
        }

        public void update(int k, int i) {
            k += (n_ - 1);
            dat[k] = i;
            while (k > 0) {
                k = (k - 1) / 2;
                dat[k] = min(dat[2 * k + 1], dat[2 * k + 2]);
            }
        }

        public int query(int k, int i, int j, int l, int r) {
            if (j <= l || i >= r) return -1;
            else if (i <= l && j >= r) {
                return dat[k];
            }
            else {
                int lch = 2 * k + 1;
                int rch = 2 * k + 2;
                int mid = (l + r) / 2;
                int lf = query(lch, i, j, l, mid);
                int rt = query(rch, i, j, mid, r);
                return min(lf, rt);
            }
        }

        public int min(int i, int j) {
            if (i == -1 && j != -1) return j;
            if (j == -1 && i != -1) return i;
            if (i == -1 && j == -1) return -1;
            return data[i] < data[j] ? i : j;
        }
    }

    void read() {
        N = ni();
        Q = ni();
        S = ni();
        g = new ArrayList[MAX_V];
        w = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; ++i) g[i] = new ArrayList<Edge>();
        for (int i = 0; i < N - 1; ++i) {
            int from = ni();
            int to   = ni();
            int cost = ni();
            from --;
            to   --;
            g[from].add(new Edge(i, to, cost));
            g[to].add(new Edge(i, from, cost));
            w[i] = cost;
        }

        root = N / 2;
        init(N);
        int v = S - 1;
        for (int i = 0; i < Q; ++i) {
            int type = ni();
            if (type == 0) {
                int u = ni();
                u --;
                int p = lca(u, v);
                out.println(bit.sum(id[v]) + bit.sum(id[u]) - bit.sum(id[p]) * 2);
                v = u;
            }
            else {
                int x = ni() - 1;
                int c = ni();
                bit.add(es[2 * x], c - w[x]);
                bit.add(es[2 * x + 1], w[x] - c);
                w[x] = c;
            }
        }
    }

    BIT bit;
    RMQ rmq;
    void init(int N) {
        bit = new BIT(2 * N);
        // 预处理 vs, depth, id 和 es
        k = 0;
        dfs(root, -1, 0);
        rmq = new RMQ(depth, 2 * N);
    }

    int[] vs    = new int[MAX_V * 2 - 1]; //DFS访问的顺序,每个结点至多被访问两次
    int[] depth = new int[MAX_V * 2 - 1]; //结点的深度
    int[] id    = new int[MAX_V];         //各个顶点在vs中首次出现的下标
    int[] es    = new int[MAX_V * 2 - 1]; //边的下标(i * 2 + (叶子方向:0,根方向:1))

    int k; // 当前访问的位置
    void dfs(int v, int p, int d) {
        id[v] = k;
        vs[k] = v;
        depth[k++] = d;
        for (Edge e : g[v]) {
            if (e.to != p) {
                bit.add(k, e.cost);
                es[e.id * 2] = k;
                dfs(e.to, v, d + 1);
                vs[k] = v;
                bit.add(k, -e.cost);
                es[e.id * 2 + 1] = k;
                depth[k++] = d;
            }
        }
    }

    int lca(int u, int v) {
        return vs[rmq.query(0, Math.min(id[u], id[v]), Math.max(id[u], id[v]) + 1, 0, rmq.n_)];
    }

    FastScanner in;
    PrintWriter out;

    void run() throws IOException {
        boolean oj;
        try {
            oj = ! System.getProperty("user.dir").equals("F:\\java_workspace\\leetcode");
        } catch (Exception e) {
            oj = System.getProperty("ONLINE_JUDGE") != null;
        }

        InputStream is = oj ? System.in : new FileInputStream(new File(INPUT));
        in = new FastScanner(is);
        out = new PrintWriter(System.out);
        long s = System.currentTimeMillis();
        read();
        out.flush();
        if (!oj){
            System.out.println("[" + (System.currentTimeMillis() - s) + "ms]");
        }
    }

    public boolean more(){
        return in.hasNext();
    }

    public int ni(){
        return in.nextInt();
    }

    public long nl(){
        return in.nextLong();
    }

    public double nd(){
        return in.nextDouble();
    }

    public String ns(){
        return in.nextString();
    }

    public char nc(){
        return in.nextChar();
    }

    class FastScanner {
        BufferedReader br;
        StringTokenizer st;
        boolean hasNext;

        public FastScanner(InputStream is) throws IOException {
            br = new BufferedReader(new InputStreamReader(is));
            hasNext = true;
        }

        public String nextToken() {
            while (st == null || !st.hasMoreTokens()) {
                try {
                    st = new StringTokenizer(br.readLine());
                } catch (Exception e) {
                    hasNext = false;
                    return "##";
                }
            }
            return st.nextToken();
        }

        String next = null;
        public boolean hasNext(){
            next = nextToken();
            return hasNext;
        }

        public int nextInt() {
            if (next == null){
                hasNext();
            }
            String more = next;
            next = null;
            return Integer.parseInt(more);
        }

        public long nextLong() {
            if (next == null){
                hasNext();
            }
            String more = next;
            next = null;
            return Long.parseLong(more);
        }

        public double nextDouble() {
            if (next == null){
                hasNext();
            }
            String more = next;
            next = null;
            return Double.parseDouble(more);
        }

        public String nextString(){
            if (next == null){
                hasNext();
            }
            String more = next;
            next = null;
            return more;
        }

        public char nextChar(){
            if (next == null){
                hasNext();
            }
            String more = next;
            next = null;
            return more.charAt(0);
        }
    }

    static class D{

        public static void pp(int[][] board, int row, int col) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int i = 0; i < row; ++i) {
                for (int j = 0; j < col; ++j) {
                    sb.append(board[i][j] + (j + 1 == col ? "\n" : " "));
                }
            }
            System.out.println(sb.toString());
        }

        public static void pp(char[][] board, int row, int col) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int i = 0; i < row; ++i) {
                for (int j = 0; j < col; ++j) {
                    sb.append(board[i][j] + (j + 1 == col ? "\n" : " "));
                }
            }
            System.out.println(sb.toString());
        }
    }

    static class ArrayUtils {

        public static void fill(int[][] f, int value) {
            for (int i = 0; i < f.length; ++i) {
                Arrays.fill(f[i], value);
            }
        }

        public static void fill(int[][][] f, int value) {
            for (int i = 0; i < f.length; ++i) {
                fill(f[i], value);
            }
        }

        public static void fill(int[][][][] f, int value) {
            for (int i = 0; i < f.length; ++i) {
                fill(f[i], value);
            }
        }
    }

    static class Num{
        public static <K> void inc(Map<K, Integer> mem, K k) {
            if (!mem.containsKey(k)) mem.put(k, 0);
            mem.put(k, mem.get(k) + 1);
        }
    }
}

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